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摘 要：众所周知，数学语言是学习和理解数学知识的重要工具，学生对知识的理解掌握、学习能力的培养，都有赖于对数学语言的认知。卡尔纳普认为：“数学也是一门具备语形和语义的语言。”在数学发展中形成了数学语言，数学语言也在促进数学发展。学习数学和研究数学都需要数学语言。因此，在课堂教学中，要重视数学语言的教学，加强教学语言的训练。
关键词：数学语言 特征 分类 应用
中学数学教学的一个重要目的，是要培养学生的逻辑思维能力，而逻辑思维能力的主要形式是概念、判断、推理等。数学中的概念、判断及推理等是通过数学语言来表述的，但由于其抽象性和逻辑性，许多学生望而生畏，这就造成学生对数学语言不够重视、望而却步，教学质量的提高也就无从谈起。因此，在数学课堂中，教师如何将抽象、严密的逻辑推理过程直观形象地表现出来，还需要共同探究。
一、数学语言特征
数学不仅是一门科学，也是一种语言。数学语言具有形式化、精确性、逻辑严谨和应用文字等特征，它通过抽象的术语名词等文字、抽象的符号、图形来阐释数学概念，进行数学中的计算、推理、证明、作图等。而现行中学《数学》教材，由于考虑到学生的年龄特征、理解能力和教学实际需要，在数学语言的科学性、严谨性方面的要求相应有所降低，因此在教材编排上对教学语言既无专门的语言训练，又没有系统的语言研究，这也就造成了数学语言教学的困难，师生对数学语言都不够重视。厘清中学数学语言的特征，对它进行系统研究显得特别重要。
中学数学语言的特征可归纳为：1.精确性与非精确性，两种数学语言并存；2.初步形式化，即形式语言和文字语言共存；3.阐释原始概念的“元语言”的运用。这就是说，在中学数学语言中除了有大量的精确性、形式化、明确性语言之外，在教学中还有一些非精确性的语言、文字、符号、图形并用的语言和“不加定义、解说的概念和不予证明的事实”的“元语言”。这是由于一方面受限于自然语言的影响，以及中学教学的限制，另一方面也是科学的数学语言的确存在的语言。“元语言”中点线、面、自然数学概念，就是只能依靠直观和原有的经验去想象和理解的原始概念。
二、数学语言的分类
中学数学语言可有不同标准的分类，如可分代数语言和几何语言，也可分为文字语言，符号语言和图形语言，但从整体功能上看，归纳如下。
概括型语言：以简洁的文字形式反映的知识，它或以文字形式或以简单的符号，或以图表的语言，反映数学知识。它有利于表达运算，直观地、有规律地反映对象的形式或元素间的关系。
阐释型语言：以通俗的语言和其他手法对抽象程度较高的概念，进行解释、阐述，以易于学生接受。从某种程度上说，也是对原有叙述的改造或翻译，它可以使用类比、诱导、说理性的语言进行阐释。
推理型语言：用于推理和论证，其特点是逻辑性强，层次分明，条理清楚。常见的是三段论推进语言，但它常以非常规语言来表述，这在几何证明中随处可见。
作图型语言：作图中作法常用的规范和作图语句，课标和考试上要求不高，其语言只限于几何作图题或添加辅助线时才用。
三、数学语言教学中的要求
要使学生能够独立获取新知识，就必须让学生具备数学语言的认知能力，并提高学生运用数学语言分析问题和解决问题的能力，教师在教学中不能只限于文字解释，应深刻领会数学语言的实质和深刻含义，要善于抓住语言的主流，不迷恋于表面现象。当然，这就首先要求教自己先在数学语言的造诣上下功夫，谙练用不同的数学语言表示的信息之间的转换方式，并从实际问题中抽象出教学模型。因此，在教学中教师的语言也应做到：通俗易懂，语言严谨，前后连贯，以理服人。从初一开始，教师就应当要求学生改变不准确的语言习惯，并逐步懂得语言精确化的必要性，进而使学生的数学语言丰富起来，并能熟悉掌握和运用数学语言。
这就一方面要求学生能准确地理解教材中的精确叙述，另一方面能准确运用数学语言叙述教材中的结论，叙述解题过程。同时要克服畏难心理，力求语言简练精确、规范，避免日常流行而不太准确的习惯语言出现，要杜绝用日常用语（自然语言）代替教学专门术语，或乱写不规范的符号。
四、数学语言教学中的应用
要理解、掌握好数学语言，就必须对教材中出现的数学语言进行系统的研究、专门的训练。特别是对一些重要的数学概念，数学方法和数学思想，更要好好地利用数学语言阐述、以利于数学思维能力的培养和提高。
如在绝对值的概念教学中，用文字叙述为“一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”，即一个数a的绝对值就是数轴上a点到原点的距离。教学过程中可以发现，一个概念可由不同的语言形式表达，教师不仅要教学生对三种形式加以区分、认识，更要注重这三种语言形式的互译，以利于学生对概念加深理解，并能形成一种思维习惯，只有这样才能对其加以掌握，并能灵活运用。在教材处理上，特别是复习绝对值概念时，不妨从判断“|a|=a”，■=a（a>0）是否正确开始，并给出题组来进行练习。
通过练习，教会学生深刻领会绝对值概念的内涵、外延，学会用分类思想（零点分化法）进行操作解题，并进一步解决如绝对值方程，绝对值不等式等问题。从中也可以发现数学语言应用到教学过程中所具备的功能。
1.表达功能：用语言（符号）形式表达数学问题，并在关系、式子和议程中使用这些符合表达式。
2.操作功能：用语言符号的语言符号形式和选择适当的方法解决用符号形式表达的问题。
3.解释功能：用语言符号系统推理得出结论，并检验这些结果的准确性和合理性。
4.翻译功能：实现用不同语言表示的数学信息的相互交换。
数学是描述模式的语言，和其他工具学科一样，数学语言有它的基本单位——词汇、基本句型以及词法、句法，只有用其符号和句法、词汇，数学语言才能成为交流关系和模式通用工具。正因为数学语言是数学交流的载体，教学交流同样可以通过听、说、读、写（包括作图、画图）和译等五种方式进行，其中“听”“读”是吸收数学信息的，“说”“写”“译”是输出数学信息的。因此，数学语言是一种每个人都必须学习使用的语言，而发展使用符号和其他抽象名称（几何、代数、算法）的能力必须是中学数学教学的中心目的。
数学的言语表达能力使新观念更精细、清晰、明确，并可增加数学思想的意义和迁移的可能性，同时也可帮助学生建立新旧知识间实质性联系。因此，在讲新课前，教师就应有“准备题”作过渡，让其在学生原有认知结构和新知识起“认知桥梁”的作用。如在有关“弦切角”一节的教学中，教材给出定义、定理、例题过于突然，学生一下子难以接受，在处理上，不妨借助几何画板用运动变化的观念，揭示弦切角与圆周角的关系，上课时不妨把圆规张开，演示其中的变化过程，这就很自然会得出弦切角。
五、教学中存在常见问题及解决方法
中学数学的教学，就应当激发学生学习兴趣，充分调动学生的积极性，教师在言语表达方面应做到：用词准确，叙述精练，前后连贯，逻辑性强，说理充足，词简意明。除此之外，还要注意学生的言语表达，注意培养学生数学语言的准确性，不拘泥于表面文字，不搞强记硬背的“机械学习”，要教会学生能用自己的话来阐述概念、原理、原则，使其清晰而有条理。这无论是对知识的掌握，智力的发展，还是创造性思维和言语能力的发展都是很有利的。
正确区别概念，认清概念之内涵、外延，挖掘其中隐含条件，沟通知识的内在联系，掌握数学语言代表的具体内容及约束条件，掌握自然语言与数学语言的互译，以及教学语言不同类型的互译，是每个学生都必须具备的能力，教师也应注意帮助学生纠正常见的错误。
（作者单位：江西省南昌市青山湖区湖坊学校）
□责任编辑：刘 林
关键词：数学语言 特征 分类 应用
中学数学教学的一个重要目的，是要培养学生的逻辑思维能力，而逻辑思维能力的主要形式是概念、判断、推理等。数学中的概念、判断及推理等是通过数学语言来表述的，但由于其抽象性和逻辑性，许多学生望而生畏，这就造成学生对数学语言不够重视、望而却步，教学质量的提高也就无从谈起。因此，在数学课堂中，教师如何将抽象、严密的逻辑推理过程直观形象地表现出来，还需要共同探究。
一、数学语言特征
数学不仅是一门科学，也是一种语言。数学语言具有形式化、精确性、逻辑严谨和应用文字等特征，它通过抽象的术语名词等文字、抽象的符号、图形来阐释数学概念，进行数学中的计算、推理、证明、作图等。而现行中学《数学》教材，由于考虑到学生的年龄特征、理解能力和教学实际需要，在数学语言的科学性、严谨性方面的要求相应有所降低，因此在教材编排上对教学语言既无专门的语言训练，又没有系统的语言研究，这也就造成了数学语言教学的困难，师生对数学语言都不够重视。厘清中学数学语言的特征，对它进行系统研究显得特别重要。
中学数学语言的特征可归纳为：1.精确性与非精确性，两种数学语言并存；2.初步形式化，即形式语言和文字语言共存；3.阐释原始概念的“元语言”的运用。这就是说，在中学数学语言中除了有大量的精确性、形式化、明确性语言之外，在教学中还有一些非精确性的语言、文字、符号、图形并用的语言和“不加定义、解说的概念和不予证明的事实”的“元语言”。这是由于一方面受限于自然语言的影响，以及中学教学的限制，另一方面也是科学的数学语言的确存在的语言。“元语言”中点线、面、自然数学概念，就是只能依靠直观和原有的经验去想象和理解的原始概念。
二、数学语言的分类
中学数学语言可有不同标准的分类，如可分代数语言和几何语言，也可分为文字语言，符号语言和图形语言，但从整体功能上看，归纳如下。
概括型语言：以简洁的文字形式反映的知识，它或以文字形式或以简单的符号，或以图表的语言，反映数学知识。它有利于表达运算，直观地、有规律地反映对象的形式或元素间的关系。
阐释型语言：以通俗的语言和其他手法对抽象程度较高的概念，进行解释、阐述，以易于学生接受。从某种程度上说，也是对原有叙述的改造或翻译，它可以使用类比、诱导、说理性的语言进行阐释。
推理型语言：用于推理和论证，其特点是逻辑性强，层次分明，条理清楚。常见的是三段论推进语言，但它常以非常规语言来表述，这在几何证明中随处可见。
作图型语言：作图中作法常用的规范和作图语句，课标和考试上要求不高，其语言只限于几何作图题或添加辅助线时才用。
三、数学语言教学中的要求
要使学生能够独立获取新知识，就必须让学生具备数学语言的认知能力，并提高学生运用数学语言分析问题和解决问题的能力，教师在教学中不能只限于文字解释，应深刻领会数学语言的实质和深刻含义，要善于抓住语言的主流，不迷恋于表面现象。当然，这就首先要求教自己先在数学语言的造诣上下功夫，谙练用不同的数学语言表示的信息之间的转换方式，并从实际问题中抽象出教学模型。因此，在教学中教师的语言也应做到：通俗易懂，语言严谨，前后连贯，以理服人。从初一开始，教师就应当要求学生改变不准确的语言习惯，并逐步懂得语言精确化的必要性，进而使学生的数学语言丰富起来，并能熟悉掌握和运用数学语言。
这就一方面要求学生能准确地理解教材中的精确叙述，另一方面能准确运用数学语言叙述教材中的结论，叙述解题过程。同时要克服畏难心理，力求语言简练精确、规范，避免日常流行而不太准确的习惯语言出现，要杜绝用日常用语（自然语言）代替教学专门术语，或乱写不规范的符号。
四、数学语言教学中的应用
要理解、掌握好数学语言，就必须对教材中出现的数学语言进行系统的研究、专门的训练。特别是对一些重要的数学概念，数学方法和数学思想，更要好好地利用数学语言阐述、以利于数学思维能力的培养和提高。
如在绝对值的概念教学中，用文字叙述为“一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”，即一个数a的绝对值就是数轴上a点到原点的距离。教学过程中可以发现，一个概念可由不同的语言形式表达，教师不仅要教学生对三种形式加以区分、认识，更要注重这三种语言形式的互译，以利于学生对概念加深理解，并能形成一种思维习惯，只有这样才能对其加以掌握，并能灵活运用。在教材处理上，特别是复习绝对值概念时，不妨从判断“|a|=a”，■=a（a>0）是否正确开始，并给出题组来进行练习。
通过练习，教会学生深刻领会绝对值概念的内涵、外延，学会用分类思想（零点分化法）进行操作解题，并进一步解决如绝对值方程，绝对值不等式等问题。从中也可以发现数学语言应用到教学过程中所具备的功能。
1.表达功能：用语言（符号）形式表达数学问题，并在关系、式子和议程中使用这些符合表达式。
2.操作功能：用语言符号的语言符号形式和选择适当的方法解决用符号形式表达的问题。
3.解释功能：用语言符号系统推理得出结论，并检验这些结果的准确性和合理性。
4.翻译功能：实现用不同语言表示的数学信息的相互交换。
数学是描述模式的语言，和其他工具学科一样，数学语言有它的基本单位——词汇、基本句型以及词法、句法，只有用其符号和句法、词汇，数学语言才能成为交流关系和模式通用工具。正因为数学语言是数学交流的载体，教学交流同样可以通过听、说、读、写（包括作图、画图）和译等五种方式进行，其中“听”“读”是吸收数学信息的，“说”“写”“译”是输出数学信息的。因此，数学语言是一种每个人都必须学习使用的语言，而发展使用符号和其他抽象名称（几何、代数、算法）的能力必须是中学数学教学的中心目的。
数学的言语表达能力使新观念更精细、清晰、明确，并可增加数学思想的意义和迁移的可能性，同时也可帮助学生建立新旧知识间实质性联系。因此，在讲新课前，教师就应有“准备题”作过渡，让其在学生原有认知结构和新知识起“认知桥梁”的作用。如在有关“弦切角”一节的教学中，教材给出定义、定理、例题过于突然，学生一下子难以接受，在处理上，不妨借助几何画板用运动变化的观念，揭示弦切角与圆周角的关系，上课时不妨把圆规张开，演示其中的变化过程，这就很自然会得出弦切角。
五、教学中存在常见问题及解决方法
中学数学的教学，就应当激发学生学习兴趣，充分调动学生的积极性，教师在言语表达方面应做到：用词准确，叙述精练，前后连贯，逻辑性强，说理充足，词简意明。除此之外，还要注意学生的言语表达，注意培养学生数学语言的准确性，不拘泥于表面文字，不搞强记硬背的“机械学习”，要教会学生能用自己的话来阐述概念、原理、原则，使其清晰而有条理。这无论是对知识的掌握，智力的发展，还是创造性思维和言语能力的发展都是很有利的。
正确区别概念，认清概念之内涵、外延，挖掘其中隐含条件，沟通知识的内在联系，掌握数学语言代表的具体内容及约束条件，掌握自然语言与数学语言的互译，以及教学语言不同类型的互译，是每个学生都必须具备的能力，教师也应注意帮助学生纠正常见的错误。
（作者单位：江西省南昌市青山湖区湖坊学校）
□责任编辑：刘 林