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摘 要：随着科技的迅速发展，数学建模越来越多地出现在生产生活和社会活动中。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学和科学之间转化的主要途径。把培养应用数学的意识落实在平时的教学过程中，以教材为载体，以改革教学方法为突破口，通过对教学内容的科学加工、处理和再创造，在学中用、用中学，进一步培养学生应用数学的意识以及分析、解决实际问题的能力。
关键词：数学建模；lingo程序；课程评价
一、问题的提出
目前，社会上对数学的评价是多方面的。一方面，有的人说数学是科学的女王，“大哉数学之为用”，将数学看作是人类文明的火车头；有的人认为“数学好玩”，称其具有和谐美、对称美和奇异美，歌颂数学家拥有“美丽的心灵”。另一方面，许多学生说数学没用，一辈子也碰不到一个函数，解不了一个方程，连相声也在讽刺“一边向水池注水，一边放水”的算术题是瞎折腾。
数学建模是将实际问题转化成数学问题，用数学模型解决复杂的实际问题，让学生懂得学习数学的意义。数学建模使学生品味数学的奧秘，理解数学的智慧，领悟学习数学建模的真谛，把数学建模当作一种文化来看待。
随着素质教育的推广，新课程下开展多样化的教学是一个趋势，把握好时机，抓住机遇，适时进行研究也是教师的职业使命。开设数学建模选修课是当前中学数学教育改革的必然选择。我校专门开设了中学数学建模校本课程，该校本课程于2014年获第五届杭州市精品课程，同年获得第五届浙江省网络精品课程和第三届浙江省中小学精品课程。
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二、开设数学建模选修课的目的和意义
数学建模选修课旨在引导学生走出课本，走出传统的习题演练，进入实际的生产生活中，用学习的数学知识解决实际问题。通过实践应用，学生能从中体会到数学的实际应用价值，体验到所学知识的用途和益处。这样有利于学生在建模过程中综合应用基础知识，提高分析推理能力和自学能力，提升应用意识和创新水平。
例1 哥尼斯堡七桥问题
18世纪，欧洲东普鲁士（现为俄罗斯的加里宁格勒）的哥尼斯堡市近郊有一条河，这条河流有两条支流，在城中心汇成大河，中间是岛区。两个岛与河两岸建有七座桥，将它们连接起来（如图1所示）。
图1哥尼斯堡的大学生提出一个这样的问题：一个人能否以任何一处为出发点，一次相继走遍这七座桥，且每桥只能走一次，然后重返到起点。此问题即七桥问题。大学生现场进行了多次步行尝试，无一人取得成功。于是他们就写信给当时著名的大数学家欧拉，请他帮助解决这个问题。
欧拉并没有跑到哥尼斯堡去走走，他把这个难题进行了简化：把两岸和小岛缩成一点，桥化为边，于是“七桥问题”就等价于图2中的一笔画问题了，这幅图如果能够一笔画成的话，对应的“七桥问题”也就解决了。
图2经过研究，欧拉发现了一笔画的规律。他认为，能一笔画的图形必须是连通图。连通图是指一个图形各部分总是有边相连的，这道题中的图就是连通图。
欧拉引出了奇点（与奇数条边相连的点）与偶点（与偶数条边相连的点）的概念，并且发现偶点既可以是起点，又可以是终点，还可以是中间点。但奇点只可能是出点或者是入点。欧拉是这样思考的：既然问题是要找一条不重复地经过7座桥的路线，而4块陆地无非是桥梁的连接点，那么，不妨把4块陆地看作4个点，把7座桥画成7条线。这样的话七桥问题就简化为：能否一笔画这7条线段和4个交点组成的几何图形。
欧拉的这个考虑非常重要，非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的技巧。把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”，这种研究方法就是数学建模方法，是解决难题的关键。在这一点上，欧拉显示出了他超群的数学才能。
这个实例让学生从中得到了乐趣，激发了学生学习数学的兴趣和热情，提高了他们研究数学的积极性。同时，也让他们明白了学习数学建模乃至数学学科的意义。
三、数学建模选修课开设的操作措施
在新课改背景下，开展多样化的教学是一个必然趋势和重要目标。这就需要增加综合性和应用性的内容，重视联系学生生活实际和社会实践。数学建模选修课的开设能够逐步提高学生的分析能力和综合能力，让学生把学习当作一种乐趣，提高数学素质教育的成效。
一门选修课的开发和实施应结合学生现有的学情，逐步推进，不断加入一些与课堂教学相配套的数学模型，具体可以分以下三个阶段来实施。
1.第一阶段
该阶段主要是提高学生的学习兴趣和积极性，培养他们的自学能力。具体实施中，以应用题为突破口，让学生自己尝试构建数学模型，体会学习数学的价值及数学应用的广泛性，增强他们学好数学的信心。为此，在教学时应该选取一些贴近教材内容，贴近学生认知水平，贴近现实生活和经济发展趋势的内容。同时，在教学时应该以学生为本，让他们独立思考，或者相互讨论。教师应该在思想动员的基础之上指导学生寻找等量关系或函数关系，将实际问题数学化，让他们了解建立数学模型的基本方法和理论；多鼓励学生主动地去发现生活中潜在的数学模型，体会数学的实用性。这一阶段主要是以简单数学模型为主，下面举例说明。
例2 商人如何安全过河
现在3个商人及3个随从需要渡过一条河，只有一条小船，并且最多可乘坐2人，随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是乘船渡河的方案由商人决定，商人们怎样才能安全过河？
图3问题分析：
这是一个多步决策过程，从问题中的一些关联条件出发，常辅之以表格、图形、坐标图等形式，通过分析，找出解题的突破口。在安全的前提下（两岸的随从数不比商人多），如何决定每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）船上的人员，经有限步使全体人员过河。 模型构成
设xk为第k次渡河前此岸的商人数，设yk为第k次渡河前此岸的随从数，
xk，yk=0，1，2，3，k=1，2，…
Sk=（xk，yk）：过程的状态；S：允许状态集合
S={（x，y）|x=0
y=0，1，2，3，或x=1
y=1，或x=2
y=2，或x=3
y=0，1，2，3}
设ak为第k次渡船上的商人数，设bk为第k次渡船上的随从数，
ak，bk=0，1，2，k=1，2，…
dk=（ak，bk）：决策
D={（a，b）|a+b=1，2}：允许决策集合
Sk+1=Sk+（-1）k·dk：状态转移律
多步决策问题：求dk∈D（k=1，2，…，n），使Sk∈S
按转移律
由S1=（3，3）到达Sn+1=（0，0）
模型求解
这个问题较复杂，关系比较多，要理清关系，可以通过建立直角坐标系的方法加以解决。
图4状态S=（x，y）表示图中的16个格点。
允许状态S表示图中10个用“o”表示的格点。
允许决策d表示在图中的格点每次只能移动1或2格。
当k为奇数时，由于是此岸到彼岸，人员在减少，所以格点移动的方向为左下；当k为偶数时，由于是彼岸到此岸，人员在增加，所以格点移动的方向是右上。
按照上面的要求，在图中画出了决策中的每一步，其中实线表示奇数步的决策，虚线表示偶数步的决策。d1，…d11给出安全渡河方案。
2.第二阶段
数学建模实质上是一个去粗取精、去伪存真的过程，它不仅要培养抽象概括能力，还要培养数学检索能力、分析能力、归纳能力等。在这一阶段，教师应结合教材内容精心挑选典型案例，有计划地让学生参与建模过程，使他们初步掌握代数法建模、图解法建模、直（曲）线拟合法建模等适合中学阶段的数学建模方法，进一步激发学生学习数学的积极性和主动性，拓宽学生的视野，提高他们的学习兴趣，促进学生素质的全面提高。同时，在教师的指导下，让学生更广泛地接触社会，自觉、主动地运用数学知识进行建模，提出问题，分析问题，解决问题。该阶段主要以落实典型案例为教学目标，下面举例说明。
例3 节约燃气问题
现在许多家庭都以燃气为烧水做饭的燃料，节约用气是非常现实的问题。节约燃气是降低生活能耗的重要途径。现在研究的内容是：取一壶水，希望在不更换水壶，且不能对壶中的水进行其他处理的情况下，只通过控制燃气阀门改变气流量，使烧开一壶水所使用燃气量最小。
问题分析：
首先需要收集一些數据，但烧水或做饭过程中影响燃气使用量的因素很多，比如在烧水过程中，可以先烧开半壶水，再加入半壶凉水，使水壶内有满壶水再烧开，这时所用燃气量就会与一次性烧开一壶水的用量就不同。
模型假设：
（1）为了便于研究问题，这里只考虑一次性烧开一壶水，且烧开一壶水期间不改变燃气阀门大小。
（2）在收集数据时，燃气灶旋钮恰好旋在18°、36°、54°、72°和90°，燃气关闭时，燃气旋钮位置为竖直方向，我们把这个位置定为0°，燃气开到最大时旋钮转了90°。
图5（3）在做实验时，每次烧水前的水壶温度相同，并且不考虑烧水过程中的热量散失。
模型构成：
当燃气灶旋钮恰好旋在18°、36°、54°、72°和90°的位置时，分别记录烧开一壶水所需的时间和所用的燃气量，得到一组实验数据，如表1。
模型方法：
在本问题中，应以旋转角度为自变量，用掉的燃气量为应变量，应找到二者之间的关系，再找到一个恰当的函数进行拟合。拟合模型的组建主要是处理好观测数据的误差，使用数学表达式从数量上近似表达因果变量之间的关系。该模型是通过对有关变量的测量数据的观察、分析，选择恰当的数学表达方式得到的，其实质是数据拟合的精度和数学表达式简化度间的一个折中，折中方案的选择将取决于实际问题的需求。另外也要分析拟合系数R2，一般R2的值越大，拟合程度越高，当R2>095时，我们就认为拟合程度高。
在求拟合函数时，可以通过常规计算来进行，先建立直角坐标系，在坐标系中做出这样的点函数，然后观察，用什么样的函数进行拟合，设出相应的函数，再用待定系数法来进行求解。在数学建模时，计算机的使用是必不可少的，这个模型可以选择学生熟悉的excel软件来进行拟合。
模型求解：
（1）启动excel后，在表格中输入下表中的数据，
（2）点击图表向导，点击图表类型的“XY散点图”，点击“下一步”，拖选电子表格x，y以及下方数据所在区域为“数据区域”，“系列产生在”点选“列”选项，点击“下一步”，观察图形中的散点图，无误后单击“完成”，数据点图即嵌入当前工作表中。之后可对此图进行必要的格式处理，如删除网格线，修改X、Y轴的刻度单位、字体、字号调整到合适大小等，做出的图形如图6所示。
图6（3）从图6中可以看出，5个点显示出随着旋钮的角度逐渐增大，燃气用量有一个从大到小，又从小到大的变化过程。在我们学习过的函数图象中，一元二次函数图象与之最接近，可以用一元二次函数近似地表示这种变化。在excel嵌入的表格中，点击离散的点，再点右键“添加趋势线（R）”，选择“多项式（P）”，在“阶数（D）”选择2，再点上方中的“选项”，将“显示公式（E）”与“显示R平方值（R）”前方框中打钩，点“确定”，调整数据至合适位置，如图7所示。
图7说明：“1E-05”含义是：1×10-5，所以，由图7可知，拟合函数是：y=10-5x2-00007x+01366，R2=09647>095，所以拟合程度高。 求最小用气量：即求函数y=10-5x2-00007x+01366的最小值点x0。
所以x0=--000072×10-5=35
即燃气用量最少时的旋钮位置是旋转35°的位置，这时的用气量：
y0=10-5×352-00007×35+01366=012345。
此外，模型需要经过进一步检验和改进，才能更完整、合理，更贴合实际生活，而每一种改进都需要新的函数进行拟合。这就要求学生具备扎实的数学功底。
3.第三阶段
这一阶段是对数学综合能力的应用，培养学生联系实际，全面考虑问题的能力。它涉及文字理解能力，相关知识的掌握程度，实际问题转化为数学模型的能力，创造能力、创新能力和实践能力等。同时，计算机强大的信息处理能力和图像处理功能，使它在数学教学中得到广泛的应用。可以说，没有哪一门学科能像数学这样，计算机的介入使其教学发生了飞跃性的变化。在数学教学中，计算机可以帮助学生从一些烦琐、枯燥和重复性的习题中解脱出来，使他们有更多的机会动手、动脑，思考和探索，这极大地改变了数学教学的现状。高中生的主要任务是学习一些简单的软件，一方面，让学生对数学建模有初步的了解，知道复杂的数学建模应如何完成；另一方面，通过学习一种简单易学的软件lingo，从中了解数学与计算机是密不可分的，提高学生学习数学建模的积极性。
例4 生产进度问题
某企业计划生产甲、乙两种产品（单位：公斤），这两种产品均需经A、B、C、D四种不同设备加工，按工艺资料规定，在各种不同设备上的加工时间及设备加工能力（单位：公斤）、单位产品利润（单位：万元）如表3所示。问：如何安排产品的生产计划，才能使企业获利最大？
模型构成：
设生产甲产品的数量为x1公斤，生产乙产品的数量为x2公斤，获利为f。
第一，分析目标函数，数量为x1公斤的甲产品产生的利润为2x1万元；数量为x2公斤的乙产品产生的利润为3x2万元，因此：f=2x1+3x2万元。
第二，分析约束条件，由A的加工能力：2x1+2x2≤12；由B的加工能力：x1+2x2≤8；由C的加工能力：4x1≤16；由D的加工能力：4x2≤12。
建模方法：
由于生产产品的公斤数是任意可分的，可以假定决策变量在实数范围内取值，所以这是一个连续规划。建立连续性规划模型为：
模型求解：
使用lingo软件可以很容易求解连续线性规划模型，求解程序如下：
由于lingo软件默认为变量连续且非负，所以此处关于xj≥0（j=1，2，3，4）限制条件在lingo程序软件中可以省略不写。
执行“求解”命令，计算结果见下：
即：x1=4，x2=2，f=14
最后，结论是生产甲产品数量为4公斤，生产乙产品数量为2公斤，获利最大，为14万元。
四、开设数学建模选修课的课程评价
数学建模的教与学中，科学、人性化的评价是培养学生自信心的有效途径。
传统课程评价模式中，目标是评价过程的核心和关键，评价的依据是对学生行为的考察，评价主旨是通过信息反馈，促使教学活动能够尽可能地逼近教育目标，在这种评价观之下，学生的学习被理解为一系列目标的达成，教师的任务就是如何使目标更有效地达成，提高教学的效能。评价则是为了反馈学生的学习效果，了解学生正在學什么，还没有学到什么，对知识的遗忘程度等，从而改进教学过程。具体操作时主要以各科的成绩为主要评价内容，这使得教育评价过于功利化。
在中学数学建模课程实践中，笔者既看重过程，又看重结果。在过程方面，将学生参与学习的积极性作为考核学生的一个指标。同时关注自主合作、探究学习等方面。将学生的个性、特长潜力激发起来，让学生的行为、思想逐步成熟，考试不过是其中一小部分，要尽量使评价成为促进学生学习的动力源泉。
对一些学业成绩不出色的学生来说，数学建模可以成为他们建立自信心的一个好机会。这些学生在课堂学习中由于各种原因，如基础知识、个人兴趣、家庭环境等，造成了他们的成绩分化，但考试成绩不一定是学生能力的全面体现。不同的学生具有不同的能力结构。数学建模往往可以为不同能力结构的学生提供展示才能的机会。
在笔者设计的评价体系中，教师不仅是评价的参与者，还是评价改革的创新者和实践者，要创造更多、更全面的评价学生的方式，需要考虑除了分数之外还应该关心什么。良好的评价是重要的手段，我们应该把评价看成学生成长和教学提高过程中的一个催化剂，找出更多的方法来推进评价改革，从而引导学生主动地学习，提高教育成效。
五、结语
综上所述，培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。从适应科学技术发展的需要和培养实用性人才出发，在中学开设数学建模选修课是具有实际意义的。
参考文献：
[1]郭培俊.高职数学建模[M].杭州：浙江大学出版社，2010.
[2]黄忠裕.初等数学建模[M].成都：四川大学出版社，2004.
[3]张思明.理解数学[M].福州：福建教育出版社，2012.
[4]吴长江，等.高中数学应用性问题[M].上海：上海大学出版社，2001.
[5]伊库纳契夫.数学的奥妙[M].北京：北京燕山出版社，2007.
关键词：数学建模；lingo程序；课程评价
一、问题的提出
目前，社会上对数学的评价是多方面的。一方面，有的人说数学是科学的女王，“大哉数学之为用”，将数学看作是人类文明的火车头；有的人认为“数学好玩”，称其具有和谐美、对称美和奇异美，歌颂数学家拥有“美丽的心灵”。另一方面，许多学生说数学没用，一辈子也碰不到一个函数，解不了一个方程，连相声也在讽刺“一边向水池注水，一边放水”的算术题是瞎折腾。
数学建模是将实际问题转化成数学问题，用数学模型解决复杂的实际问题，让学生懂得学习数学的意义。数学建模使学生品味数学的奧秘，理解数学的智慧，领悟学习数学建模的真谛，把数学建模当作一种文化来看待。
随着素质教育的推广，新课程下开展多样化的教学是一个趋势，把握好时机，抓住机遇，适时进行研究也是教师的职业使命。开设数学建模选修课是当前中学数学教育改革的必然选择。我校专门开设了中学数学建模校本课程，该校本课程于2014年获第五届杭州市精品课程，同年获得第五届浙江省网络精品课程和第三届浙江省中小学精品课程。
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二、开设数学建模选修课的目的和意义
数学建模选修课旨在引导学生走出课本，走出传统的习题演练，进入实际的生产生活中，用学习的数学知识解决实际问题。通过实践应用，学生能从中体会到数学的实际应用价值，体验到所学知识的用途和益处。这样有利于学生在建模过程中综合应用基础知识，提高分析推理能力和自学能力，提升应用意识和创新水平。
例1 哥尼斯堡七桥问题
18世纪，欧洲东普鲁士（现为俄罗斯的加里宁格勒）的哥尼斯堡市近郊有一条河，这条河流有两条支流，在城中心汇成大河，中间是岛区。两个岛与河两岸建有七座桥，将它们连接起来（如图1所示）。
图1哥尼斯堡的大学生提出一个这样的问题：一个人能否以任何一处为出发点，一次相继走遍这七座桥，且每桥只能走一次，然后重返到起点。此问题即七桥问题。大学生现场进行了多次步行尝试，无一人取得成功。于是他们就写信给当时著名的大数学家欧拉，请他帮助解决这个问题。
欧拉并没有跑到哥尼斯堡去走走，他把这个难题进行了简化：把两岸和小岛缩成一点，桥化为边，于是“七桥问题”就等价于图2中的一笔画问题了，这幅图如果能够一笔画成的话，对应的“七桥问题”也就解决了。
图2经过研究，欧拉发现了一笔画的规律。他认为，能一笔画的图形必须是连通图。连通图是指一个图形各部分总是有边相连的，这道题中的图就是连通图。
欧拉引出了奇点（与奇数条边相连的点）与偶点（与偶数条边相连的点）的概念，并且发现偶点既可以是起点，又可以是终点，还可以是中间点。但奇点只可能是出点或者是入点。欧拉是这样思考的：既然问题是要找一条不重复地经过7座桥的路线，而4块陆地无非是桥梁的连接点，那么，不妨把4块陆地看作4个点，把7座桥画成7条线。这样的话七桥问题就简化为：能否一笔画这7条线段和4个交点组成的几何图形。
欧拉的这个考虑非常重要，非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的技巧。把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”，这种研究方法就是数学建模方法，是解决难题的关键。在这一点上，欧拉显示出了他超群的数学才能。
这个实例让学生从中得到了乐趣，激发了学生学习数学的兴趣和热情，提高了他们研究数学的积极性。同时，也让他们明白了学习数学建模乃至数学学科的意义。
三、数学建模选修课开设的操作措施
在新课改背景下，开展多样化的教学是一个必然趋势和重要目标。这就需要增加综合性和应用性的内容，重视联系学生生活实际和社会实践。数学建模选修课的开设能够逐步提高学生的分析能力和综合能力，让学生把学习当作一种乐趣，提高数学素质教育的成效。
一门选修课的开发和实施应结合学生现有的学情，逐步推进，不断加入一些与课堂教学相配套的数学模型，具体可以分以下三个阶段来实施。
1.第一阶段
该阶段主要是提高学生的学习兴趣和积极性，培养他们的自学能力。具体实施中，以应用题为突破口，让学生自己尝试构建数学模型，体会学习数学的价值及数学应用的广泛性，增强他们学好数学的信心。为此，在教学时应该选取一些贴近教材内容，贴近学生认知水平，贴近现实生活和经济发展趋势的内容。同时，在教学时应该以学生为本，让他们独立思考，或者相互讨论。教师应该在思想动员的基础之上指导学生寻找等量关系或函数关系，将实际问题数学化，让他们了解建立数学模型的基本方法和理论；多鼓励学生主动地去发现生活中潜在的数学模型，体会数学的实用性。这一阶段主要是以简单数学模型为主，下面举例说明。
例2 商人如何安全过河
现在3个商人及3个随从需要渡过一条河，只有一条小船，并且最多可乘坐2人，随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是乘船渡河的方案由商人决定，商人们怎样才能安全过河？
图3问题分析：
这是一个多步决策过程，从问题中的一些关联条件出发，常辅之以表格、图形、坐标图等形式，通过分析，找出解题的突破口。在安全的前提下（两岸的随从数不比商人多），如何决定每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）船上的人员，经有限步使全体人员过河。 模型构成
设xk为第k次渡河前此岸的商人数，设yk为第k次渡河前此岸的随从数，
xk，yk=0，1，2，3，k=1，2，…
Sk=（xk，yk）：过程的状态；S：允许状态集合
S={（x，y）|x=0
y=0，1，2，3，或x=1
y=1，或x=2
y=2，或x=3
y=0，1，2，3}
设ak为第k次渡船上的商人数，设bk为第k次渡船上的随从数，
ak，bk=0，1，2，k=1，2，…
dk=（ak，bk）：决策
D={（a，b）|a+b=1，2}：允许决策集合
Sk+1=Sk+（-1）k·dk：状态转移律
多步决策问题：求dk∈D（k=1，2，…，n），使Sk∈S
按转移律
由S1=（3，3）到达Sn+1=（0，0）
模型求解
这个问题较复杂，关系比较多，要理清关系，可以通过建立直角坐标系的方法加以解决。
图4状态S=（x，y）表示图中的16个格点。
允许状态S表示图中10个用“o”表示的格点。
允许决策d表示在图中的格点每次只能移动1或2格。
当k为奇数时，由于是此岸到彼岸，人员在减少，所以格点移动的方向为左下；当k为偶数时，由于是彼岸到此岸，人员在增加，所以格点移动的方向是右上。
按照上面的要求，在图中画出了决策中的每一步，其中实线表示奇数步的决策，虚线表示偶数步的决策。d1，…d11给出安全渡河方案。
2.第二阶段
数学建模实质上是一个去粗取精、去伪存真的过程，它不仅要培养抽象概括能力，还要培养数学检索能力、分析能力、归纳能力等。在这一阶段，教师应结合教材内容精心挑选典型案例，有计划地让学生参与建模过程，使他们初步掌握代数法建模、图解法建模、直（曲）线拟合法建模等适合中学阶段的数学建模方法，进一步激发学生学习数学的积极性和主动性，拓宽学生的视野，提高他们的学习兴趣，促进学生素质的全面提高。同时，在教师的指导下，让学生更广泛地接触社会，自觉、主动地运用数学知识进行建模，提出问题，分析问题，解决问题。该阶段主要以落实典型案例为教学目标，下面举例说明。
例3 节约燃气问题
现在许多家庭都以燃气为烧水做饭的燃料，节约用气是非常现实的问题。节约燃气是降低生活能耗的重要途径。现在研究的内容是：取一壶水，希望在不更换水壶，且不能对壶中的水进行其他处理的情况下，只通过控制燃气阀门改变气流量，使烧开一壶水所使用燃气量最小。
问题分析：
首先需要收集一些數据，但烧水或做饭过程中影响燃气使用量的因素很多，比如在烧水过程中，可以先烧开半壶水，再加入半壶凉水，使水壶内有满壶水再烧开，这时所用燃气量就会与一次性烧开一壶水的用量就不同。
模型假设：
（1）为了便于研究问题，这里只考虑一次性烧开一壶水，且烧开一壶水期间不改变燃气阀门大小。
（2）在收集数据时，燃气灶旋钮恰好旋在18°、36°、54°、72°和90°，燃气关闭时，燃气旋钮位置为竖直方向，我们把这个位置定为0°，燃气开到最大时旋钮转了90°。
图5（3）在做实验时，每次烧水前的水壶温度相同，并且不考虑烧水过程中的热量散失。
模型构成：
当燃气灶旋钮恰好旋在18°、36°、54°、72°和90°的位置时，分别记录烧开一壶水所需的时间和所用的燃气量，得到一组实验数据，如表1。
模型方法：
在本问题中，应以旋转角度为自变量，用掉的燃气量为应变量，应找到二者之间的关系，再找到一个恰当的函数进行拟合。拟合模型的组建主要是处理好观测数据的误差，使用数学表达式从数量上近似表达因果变量之间的关系。该模型是通过对有关变量的测量数据的观察、分析，选择恰当的数学表达方式得到的，其实质是数据拟合的精度和数学表达式简化度间的一个折中，折中方案的选择将取决于实际问题的需求。另外也要分析拟合系数R2，一般R2的值越大，拟合程度越高，当R2>095时，我们就认为拟合程度高。
在求拟合函数时，可以通过常规计算来进行，先建立直角坐标系，在坐标系中做出这样的点函数，然后观察，用什么样的函数进行拟合，设出相应的函数，再用待定系数法来进行求解。在数学建模时，计算机的使用是必不可少的，这个模型可以选择学生熟悉的excel软件来进行拟合。
模型求解：
（1）启动excel后，在表格中输入下表中的数据，
（2）点击图表向导，点击图表类型的“XY散点图”，点击“下一步”，拖选电子表格x，y以及下方数据所在区域为“数据区域”，“系列产生在”点选“列”选项，点击“下一步”，观察图形中的散点图，无误后单击“完成”，数据点图即嵌入当前工作表中。之后可对此图进行必要的格式处理，如删除网格线，修改X、Y轴的刻度单位、字体、字号调整到合适大小等，做出的图形如图6所示。
图6（3）从图6中可以看出，5个点显示出随着旋钮的角度逐渐增大，燃气用量有一个从大到小，又从小到大的变化过程。在我们学习过的函数图象中，一元二次函数图象与之最接近，可以用一元二次函数近似地表示这种变化。在excel嵌入的表格中，点击离散的点，再点右键“添加趋势线（R）”，选择“多项式（P）”，在“阶数（D）”选择2，再点上方中的“选项”，将“显示公式（E）”与“显示R平方值（R）”前方框中打钩，点“确定”，调整数据至合适位置，如图7所示。
图7说明：“1E-05”含义是：1×10-5，所以，由图7可知，拟合函数是：y=10-5x2-00007x+01366，R2=09647>095，所以拟合程度高。 求最小用气量：即求函数y=10-5x2-00007x+01366的最小值点x0。
所以x0=--000072×10-5=35
即燃气用量最少时的旋钮位置是旋转35°的位置，这时的用气量：
y0=10-5×352-00007×35+01366=012345。
此外，模型需要经过进一步检验和改进，才能更完整、合理，更贴合实际生活，而每一种改进都需要新的函数进行拟合。这就要求学生具备扎实的数学功底。
3.第三阶段
这一阶段是对数学综合能力的应用，培养学生联系实际，全面考虑问题的能力。它涉及文字理解能力，相关知识的掌握程度，实际问题转化为数学模型的能力，创造能力、创新能力和实践能力等。同时，计算机强大的信息处理能力和图像处理功能，使它在数学教学中得到广泛的应用。可以说，没有哪一门学科能像数学这样，计算机的介入使其教学发生了飞跃性的变化。在数学教学中，计算机可以帮助学生从一些烦琐、枯燥和重复性的习题中解脱出来，使他们有更多的机会动手、动脑，思考和探索，这极大地改变了数学教学的现状。高中生的主要任务是学习一些简单的软件，一方面，让学生对数学建模有初步的了解，知道复杂的数学建模应如何完成；另一方面，通过学习一种简单易学的软件lingo，从中了解数学与计算机是密不可分的，提高学生学习数学建模的积极性。
例4 生产进度问题
某企业计划生产甲、乙两种产品（单位：公斤），这两种产品均需经A、B、C、D四种不同设备加工，按工艺资料规定，在各种不同设备上的加工时间及设备加工能力（单位：公斤）、单位产品利润（单位：万元）如表3所示。问：如何安排产品的生产计划，才能使企业获利最大？
模型构成：
设生产甲产品的数量为x1公斤，生产乙产品的数量为x2公斤，获利为f。
第一，分析目标函数，数量为x1公斤的甲产品产生的利润为2x1万元；数量为x2公斤的乙产品产生的利润为3x2万元，因此：f=2x1+3x2万元。
第二，分析约束条件，由A的加工能力：2x1+2x2≤12；由B的加工能力：x1+2x2≤8；由C的加工能力：4x1≤16；由D的加工能力：4x2≤12。
建模方法：
由于生产产品的公斤数是任意可分的，可以假定决策变量在实数范围内取值，所以这是一个连续规划。建立连续性规划模型为：
模型求解：
使用lingo软件可以很容易求解连续线性规划模型，求解程序如下：
由于lingo软件默认为变量连续且非负，所以此处关于xj≥0（j=1，2，3，4）限制条件在lingo程序软件中可以省略不写。
执行“求解”命令，计算结果见下：
即：x1=4，x2=2，f=14
最后，结论是生产甲产品数量为4公斤，生产乙产品数量为2公斤，获利最大，为14万元。
四、开设数学建模选修课的课程评价
数学建模的教与学中，科学、人性化的评价是培养学生自信心的有效途径。
传统课程评价模式中，目标是评价过程的核心和关键，评价的依据是对学生行为的考察，评价主旨是通过信息反馈，促使教学活动能够尽可能地逼近教育目标，在这种评价观之下，学生的学习被理解为一系列目标的达成，教师的任务就是如何使目标更有效地达成，提高教学的效能。评价则是为了反馈学生的学习效果，了解学生正在學什么，还没有学到什么，对知识的遗忘程度等，从而改进教学过程。具体操作时主要以各科的成绩为主要评价内容，这使得教育评价过于功利化。
在中学数学建模课程实践中，笔者既看重过程，又看重结果。在过程方面，将学生参与学习的积极性作为考核学生的一个指标。同时关注自主合作、探究学习等方面。将学生的个性、特长潜力激发起来，让学生的行为、思想逐步成熟，考试不过是其中一小部分，要尽量使评价成为促进学生学习的动力源泉。
对一些学业成绩不出色的学生来说，数学建模可以成为他们建立自信心的一个好机会。这些学生在课堂学习中由于各种原因，如基础知识、个人兴趣、家庭环境等，造成了他们的成绩分化，但考试成绩不一定是学生能力的全面体现。不同的学生具有不同的能力结构。数学建模往往可以为不同能力结构的学生提供展示才能的机会。
在笔者设计的评价体系中，教师不仅是评价的参与者，还是评价改革的创新者和实践者，要创造更多、更全面的评价学生的方式，需要考虑除了分数之外还应该关心什么。良好的评价是重要的手段，我们应该把评价看成学生成长和教学提高过程中的一个催化剂，找出更多的方法来推进评价改革，从而引导学生主动地学习，提高教育成效。
五、结语
综上所述，培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。从适应科学技术发展的需要和培养实用性人才出发，在中学开设数学建模选修课是具有实际意义的。
参考文献：
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[3]张思明.理解数学[M].福州：福建教育出版社，2012.
[4]吴长江，等.高中数学应用性问题[M].上海：上海大学出版社，2001.
[5]伊库纳契夫.数学的奥妙[M].北京：北京燕山出版社，2007.