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摘 要：因式分解是初中数学的重点和难点，也是初中数学竞赛中重要的组成部分，为了对学生进行思维训练，激发学生对数学学习的兴趣，本文通过一些数学竞赛的具体实例对竞赛中因式分解方法分类讨论。
关键词：初中数学竞赛;因式分解方法;数学思想
1、因式分解的重要性
数学竞赛所涉及到的知识源于教材，也是教材内容的延伸与拓展，其中渗透的一些数学思想，对学生有着重要的启发作用。对于因式分解的学习，大多数学生在练习竞赛题时，只在不停地重复做题，一味的套公式背口诀，而不能总结因式分解方法，更不能发现其中蕴含的数学思想[1]，导致学生在遇到新的题型时，不能做到举一反三。因此只有理解其中的含义，将思想方法总结到位，才能更易掌握因式分解的内容。
2、竞赛中因式分解方法
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解[2]。因式分解与整式乘法互为逆变形：
其中，m为公因式，可以表示单项式或多项式。以下就是一些常用的因式分解方法。
2.1 提取公因式法
例1 分解因式（x-y）2n+1+2（x-y）2n（y-z）-（x-z）（x-y）2n
分析：注意到（y-x）2n=）（x-y）2n，
原式=）（x-y）2n [）（x-y）+2（y-z）-（x-z）] =（x-y）2n（y-z）。本题考查的是提公因式法，将（x-y）2n作为公因式提取出来，要注意的是括号中要化到最简。
2.2 公式法
因式分解中的公式法是应用最广泛的方法之一，公式应用得当，能使解题变得游刃有余。因式分解中的常用公式有平方差公式、完全平方公式、三项和完全平方公式、完全立方公式、立方和公式、立方差公式等[3]。许多竞赛题中，会将两种及以上的公式结合进行考察，这就要求学生熟练掌握公式的用法。
例2 分解因式：a6-b6
分析：解法一：先平方差，再立方差。
原式=（a3 ）2-（b3 ）2=（a3-b3 ）（a3+b3 ）=（a-b）（a2+ab+b2 ）（a+b）（a2-ab+b2 ）=（a-b）（a+b）（a2+ab+b2 ）（a2-ab+b2 ）
解法二：先立方差，再平方差
原式=（a2 ）3-（b2 ）3=（a2-b2 ）（a4+a2 b2+b4 ）=（a2-b2 ）（a4+2a2 b2+b4-a2 b2 ）=（a-b）（a+b）[（a2+b2 ）2-a2 b2 ]=（a-b）（a+b）（a2+ab+b2 ）（a2-ab+b2 ）
就本题而言，解法一明显优于解法二，对于很多学生来说，他们会认为a4+a2 b2+b4是不能再进行因式分解的，因此因式分解的方法可能会不相同。
例3 已知248-1可以被60到70之间的某两个数整除，则这两个数分别是 和 。
分析：248-1=248-12=（224+1）（224-1）=（224+1）（212+1）（212-1）=（224+1）（212+1）（26+1）（26-1）=（224+1）（212+1）（26+1）（26-1）（23+1）（23-1）.将题中的式子因式分解后发现（26+1）、（26-1）这两项恰好在60到70之间，因此248-1可以被65和63整除，本题的答案为65和63。题目所要用到的公式并不复杂，这题的关键在于要将因式分解到底，随后找出数值符合题意的因式。
2.3 （双）十字相乘法
例4 分解因式：x2-2xy-8y2-x-14y-6
分析：
原式=（x-4y-3）（x+2y+2）
对于常见的二次六项式，可以利用雙十字相乘法将各平方项系数和常数项分解，十字相乘的得交叉项系数，注意需要同时确保三个十字都能满足对应的交叉项。
2.4 主元法
当题目中含有多个字母时，可选择一个作为主要的“元”，将其他字母看作常数，并按之降幂排列，然后再用十字相乘法[4]。上一节中例4也可以利用主元法进行因式分解。
例4解法二：原式=x2+（2y+1）x-8y2-14y-6=x2-（2y+1）x-2（4y+3）（y+1）=（x-4y-3）（x+2y+2）.
2.5 分组分解法
对于只含有四项的因式而言，可以采用“两两分组”和“三一分组”两种方法进行分解。
例5 分解因式：ax2 （y3+b3 ）+by（bx2+a2 y）.
分析：原式= axy3+ab3 y+b2 x2 y+a2 by2=xy（ay2+b2 x）+ab）（ay2+b2 x）=（ab+xy）（ay2+b2 x）
本题采用的是两两分组的方法，对于项数较多的题，首先要观察各项系数，把系数相同或有规律的项结合分组，问题往往能迎刃而解。
例6 分解因式1+a+b+c+ab+ac+bc+abc.
分析：原式=（ab+a+b+1）c+a+b+c+1=（ab+a+b+1）（c+1）=[a（b+1）+b+1]（c+1）=（a+1）（b+1）（c+1）
2.6 换元法
如果题目中含有一些重复的单元，那么可以尝试使用换元法，可使题目整体变得简洁易解。
例7 分解因式：（6x-1）（4x-1）（3x-1）（x-1）+9x4
分析：原式=[（6x-1）（4x-1）] [（3x-1）（x-1）]+9x4=（6x2-7x+1）（12x2-7x+1）+9x4.
关键词：初中数学竞赛;因式分解方法;数学思想
1、因式分解的重要性
数学竞赛所涉及到的知识源于教材，也是教材内容的延伸与拓展，其中渗透的一些数学思想，对学生有着重要的启发作用。对于因式分解的学习，大多数学生在练习竞赛题时，只在不停地重复做题，一味的套公式背口诀，而不能总结因式分解方法，更不能发现其中蕴含的数学思想[1]，导致学生在遇到新的题型时，不能做到举一反三。因此只有理解其中的含义，将思想方法总结到位，才能更易掌握因式分解的内容。
2、竞赛中因式分解方法
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解[2]。因式分解与整式乘法互为逆变形：
其中，m为公因式，可以表示单项式或多项式。以下就是一些常用的因式分解方法。
2.1 提取公因式法
例1 分解因式（x-y）2n+1+2（x-y）2n（y-z）-（x-z）（x-y）2n
分析：注意到（y-x）2n=）（x-y）2n，
原式=）（x-y）2n [）（x-y）+2（y-z）-（x-z）] =（x-y）2n（y-z）。本题考查的是提公因式法，将（x-y）2n作为公因式提取出来，要注意的是括号中要化到最简。
2.2 公式法
因式分解中的公式法是应用最广泛的方法之一，公式应用得当，能使解题变得游刃有余。因式分解中的常用公式有平方差公式、完全平方公式、三项和完全平方公式、完全立方公式、立方和公式、立方差公式等[3]。许多竞赛题中，会将两种及以上的公式结合进行考察，这就要求学生熟练掌握公式的用法。
例2 分解因式：a6-b6
分析：解法一：先平方差，再立方差。
原式=（a3 ）2-（b3 ）2=（a3-b3 ）（a3+b3 ）=（a-b）（a2+ab+b2 ）（a+b）（a2-ab+b2 ）=（a-b）（a+b）（a2+ab+b2 ）（a2-ab+b2 ）
解法二：先立方差，再平方差
原式=（a2 ）3-（b2 ）3=（a2-b2 ）（a4+a2 b2+b4 ）=（a2-b2 ）（a4+2a2 b2+b4-a2 b2 ）=（a-b）（a+b）[（a2+b2 ）2-a2 b2 ]=（a-b）（a+b）（a2+ab+b2 ）（a2-ab+b2 ）
就本题而言，解法一明显优于解法二，对于很多学生来说，他们会认为a4+a2 b2+b4是不能再进行因式分解的，因此因式分解的方法可能会不相同。
例3 已知248-1可以被60到70之间的某两个数整除，则这两个数分别是 和 。
分析：248-1=248-12=（224+1）（224-1）=（224+1）（212+1）（212-1）=（224+1）（212+1）（26+1）（26-1）=（224+1）（212+1）（26+1）（26-1）（23+1）（23-1）.将题中的式子因式分解后发现（26+1）、（26-1）这两项恰好在60到70之间，因此248-1可以被65和63整除，本题的答案为65和63。题目所要用到的公式并不复杂，这题的关键在于要将因式分解到底，随后找出数值符合题意的因式。
2.3 （双）十字相乘法
例4 分解因式：x2-2xy-8y2-x-14y-6
分析：
原式=（x-4y-3）（x+2y+2）
对于常见的二次六项式，可以利用雙十字相乘法将各平方项系数和常数项分解，十字相乘的得交叉项系数，注意需要同时确保三个十字都能满足对应的交叉项。
2.4 主元法
当题目中含有多个字母时，可选择一个作为主要的“元”，将其他字母看作常数，并按之降幂排列，然后再用十字相乘法[4]。上一节中例4也可以利用主元法进行因式分解。
例4解法二：原式=x2+（2y+1）x-8y2-14y-6=x2-（2y+1）x-2（4y+3）（y+1）=（x-4y-3）（x+2y+2）.
2.5 分组分解法
对于只含有四项的因式而言，可以采用“两两分组”和“三一分组”两种方法进行分解。
例5 分解因式：ax2 （y3+b3 ）+by（bx2+a2 y）.
分析：原式= axy3+ab3 y+b2 x2 y+a2 by2=xy（ay2+b2 x）+ab）（ay2+b2 x）=（ab+xy）（ay2+b2 x）
本题采用的是两两分组的方法，对于项数较多的题，首先要观察各项系数，把系数相同或有规律的项结合分组，问题往往能迎刃而解。
例6 分解因式1+a+b+c+ab+ac+bc+abc.
分析：原式=（ab+a+b+1）c+a+b+c+1=（ab+a+b+1）（c+1）=[a（b+1）+b+1]（c+1）=（a+1）（b+1）（c+1）
2.6 换元法
如果题目中含有一些重复的单元，那么可以尝试使用换元法，可使题目整体变得简洁易解。
例7 分解因式：（6x-1）（4x-1）（3x-1）（x-1）+9x4
分析：原式=[（6x-1）（4x-1）] [（3x-1）（x-1）]+9x4=（6x2-7x+1）（12x2-7x+1）+9x4.