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[摘 要] “慢”教育与“快”教育相对而生，慢教育的本质是用“过程”来刻画的。叩问其“有效性”是历史的必然、现实的需要、长远的关键。实践证明，慢教育能在过程中改善学生的“数学现实”、助推学生的“数学理解”，能在过程中促进教师的“专业发展”。
[关键词] 数学教育；慢的价值；有效教学
“你在桥上看风景，楼上看风景的人在看你。” ——卞之琳
“慢教育”在“快教育”被置于“顶层”的哲学时代“破土而出”，叩问其“有效性”是历史的必然、现实的需要、长远的关键。慢教育的表征是用“慢”来概括的，但其本质却是用“过程”来刻画的，“过程”意味着经历、体验和发展，在过程中改善“数学现实”、在过程中助推“数学理解”、在过程中促进“专业发展”。而这些过程的结果正是慢教育“为什么而出发”的理由。文前、文后镶嵌的诗句，旨在对慢教育“过程有效”的折射和隐喻。
一、慢的教育可以有效地改善学生的“数学现实”
20世纪最伟大的数学教育家弗赖登塔尔曾经提出过“数学现实”，即每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、它的运算方法、规律和有关的数学知识结构。《义务教育数学课程标准（2011年版）》也指出，随着数学学习的深入，学生积累的数学知识和方法就成为学生的“数学现实”。而慢教育就是以改善“数学现实”为出发点的过程性教育，因此这就在理论层面反映慢教育的有效性。
改善“数学现实”的过程，就是让每一位学生经历数学知识的产生和发展过程以及认识结果的价值意义，揭示相关知识之间的内在关联，从整体上理解数学，构建数学认知结构。采用现代企业管理元素来分析，就是用规划的结构序列之力促进活动（事件）的深层次展开。
（一）慢的教育有助于内容组织结构化，帮助学生感受知识体系
慢教育注重知识的“生长点”和“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中。教师在组织教学内容时，通过左右勾连式的内容把握，充分考虑学习内容与目标之间的联系，合理规划，给学生广阔的自主求探时空，让学生在梯级递进式学习中渐次感受外在的学习过程，感知内在知识的整体性。
以“分式”概念教学“开端”为例，上课伊始，笔者首先出示学习目标：了解分式的概念，能确定分式有意义的条件；在探索分式概念和分式有意义条件的过程中，发展类比思想和模型意识。让学生清楚这节课我的“数学现实”与“课时目标”的距离，从而激发内在的平衡需求。然后给充足的时间“悦读”课本，让学生自己提炼本节课待学的主干内容，这样，就能让学生明白本节课内容之间的逻辑关联（概念 实际意义 有意义的条件）。添加这一“组块式”活动，一方面锻炼了学生的整体概括力；另一方面激发了后续学习的内需状态，引动概念结构体系的关联。这基于“结构化”的组织过程，有利于个体认知结构渐次良好，很好地落实了改善数学现实的初衷。
（二）慢的教育有助于过程推进结构化，帮助学生积累活动经验
以核心内容为课堂推进主体是慢教育数学课堂呈现的显著特征。学与教的慢教育过程需要让学生经历并不断思考，以促成其核心能力的阶段发展。尤其是要关注过程推进的层次，即由平行匀速走向逐层递进的动态匀速。
以“分式”教学的过程性重建为例，逻辑流程是关键，问题是核心。分式概念的建立抓住三点展开：（1）分式是什么？呈现一组含有分数、整式和分式的代数式，让学生类比分数的特征积累分式概念的形式化活动经验；比照整式建构分式的意义。（师：在这些式子中，圈出你熟悉的代数式，说明其归属类型，并提炼不熟悉代数式的共同特征；你能再写出一些具有类似特征的式子吗？）（2）分式有意义的条件是什么？借助“去杂”思想，从研究分式无意义入手确定分式有意义的条件（分式的分母不为零）；（3）分式的几何背景和实际意义的解释，从直观的生活体验入手，让学生明白分式的来龙去脉。（师：请写出一个简单的分式并让你的同伴解释其实际意义或揭示其几何背景。）在上述三个核心问题的推进中，让学生经历丰富的思考与实践过程，在慢节奏中，积累活动经验，改善数学现实。
（三）慢的教育有助于思维回流结构化，帮助学生领悟思想方法
慢教育最显著的特征就是借助简捷的“问题链”进行元认知（反思）。梅克（J.Maker）、斯克维（Schiever）在剖析问题的分类中，提出“问题连续体”的概念，即一种开放的、连续的、序列的问题体系。而“结课”是问题链上最为重要的一环，从结构的视角审视其运行价值，让每一位学生在慢节奏中进行思维回流，隐藏在具体知识背后的思想方法，就能通过个体（群体）“做”中反思、“用”中回顾，实现由隐到明、由内而外，渐次得以领悟并升华为一种“通体相关”的行事能力。
例如“分式”教学中的结课，教师的视角不局限于知识简单堆砌（通过这节课学习，你有哪些收获？）而是关注“形而上”的能力，让学生陈述本节课研究分式的方法（类比），并追问以前用这种方法研究了哪些内容？（类比一元一次方程学习一元一次不等式和二元一次方程组、类比一次函数学习反比例函数）类比分数的学习，我们还应该研究分式哪些方面的内容？（分式的约分和通分，分式的加减和乘除运算）这些基于“结构”的螺旋上升式的追问和叩问，让学生在思想方法的平台上进行思维追溯，使新旧知识得以链接，思想方法得以迁移，知识体系上下贯通，立体目标群自然层次性达成。在此基础上，学习者的认识结构明显向好，数学现实得以层次性改善，这就是慢教育在认知层面做出的最大贡献。
慢教育课堂追求不止于数学现实的改善，研究其对数学理解的帮助更有意义。
二、慢的教育可以有效地助推学生的“数学理解”
我不知道生命的花能开多久，但我从不放弃等候；我不知道游荡的魂能飘多远，但我从不停止追求；因为，既然选择了远方，便只顾风雨兼程。“等候、追求、风雨兼程”这些饱含期待的文字丛林，浓缩了慢教育过程的“揪心”！就诗意的侧面看，则是对慢教育背景下“数学理解”过程化的一种理解反映和情绪信念。 比如，转化思想是一种重要的思想方法，依附在具体知识的背后，在研究教材整体性的平台上，就能获悉章节阶段性线索。在小学就孕育了转化思想的萌芽，在此基础上，以“有理数”“整式的加减”等内容为载体，通过不断地渗透和滴灌，让学生不断地感受和领悟这一思想。在学有理数时，要让学生了解有理数运算实际上是借助引入绝对值的概念，将它转化为算术运算；借助相反数和倒数概念的引入，将有理数的减法和除法转化为加法和乘法运算；在整式加减时，让学生认识到其实质就是通过同类项的概念转化为有理数的加减，即化式的运算为数的运算。事实上，多元方程和高次方程最终要转化为一元一次方程来解决。可见，转化思想穿插在初中教材的背后，在高中教材中内层继续行走。经历这样的慢教育反思和审视，教师驾驭教材就有了线性高度，对学生施加的学科影响就不再是知识而是行事观，既引领学生的生态行走，也成就了教师的专业能力。
（二）慢的教育驱使教师研究教学的思想性
教学思想是个体在教学过程中彰显的个性风格。有的教师直奔主题、有的教师立足于烧中段、有的教师关注两头、有的教师以考代讲等等，当这些教学行为上升到理论高度，便是教学风格的雏形。每一位教师都有独特的教学风格，只是有些人没有提炼而已，抑或尚未成熟。我的教学主张就是数学慢教育，慢教育来源于教学实践。实践证明，“慢”教育比“快”教育更有效，慢教育是尊重学生“数学现实”的具体表现，实现“人”的上位发展。
慢教育的教学思想是“自由做学”、教学境界是“学有所乐”。“自由做学”意味着下放时空、压缩容量、浓缩知识精华，需要教师简约教学、删繁就简的能力；而“学有所乐”意味着内在兴趣的驱动。因此每节课都要精心选材、精当安排，方能让质量饱和弥补容量不足的思考缺位。比如，“平行四边形”性质教学，仅在“最近发展区”内设置两个问题，就让平行四边形的性质通体透明。问题再现：（1）请你在展板上用小木棒拼出平行四边形，并度量其边、角、对角线，你有什么发现？（2）请从平行四边形的定义出发证明你的发现。这样的容量在“快餐课堂”是不能容忍的，但在慢教育课堂却意味着效益，学生拼得开心、量得快乐、证得兴趣，这种“大思维、小动笔”正是慢课堂的魂。教师站住这样的课堂，研究久了，专业素养由内而外自然提升。慢教育成就了儿童自然生长，也成就了教师的专业发展。
（三）慢的教育促使教师研究教法的完备性
“教无定法，学无定式”是一种文化美。研究教法是个常研常新的课题，但追求教法的完备性却是个亘古不变的主题。慢教育最大的优势就是在研究教法中收获“低耗”“高效”。这是慢教育背景下孩子们能舒展笑容、开心求探的原因，也是慢教育渐次成为热词的本质归因。慢教育课堂拒绝题海、拒绝标签、拒绝说教，而要“以一当十”“举一反三”，“会一题、通一类、连一片”需要完备的教法来保驾护航，方能赢得事半功倍的效益。
教学需要从心灵出发去分析，关注主观、内在的情感及心灵的力量。这是帕克·帕尔默对教学法的深刻理解，也是慢教育对完备教学法的本真追求。来自心灵的力量是巨大的，慢教育就是在情感感召下释放教学法的力量。这里完备的教法是一种研究过程，而非结果，意味着活动让学生伸手可够；问题让学生踮脚可触；思维让学生“跳一跳，够到桃”。这些发展性的系统元素，使得教师在不断的研究中获得专业发展的契机。比如，上述分式游戏活动的设置，“拼分式”是每一位学生都能够得着的数学活动，其间包含设计学生的成就感体验；而“判断分式”活动是检阅学生概念意义理解的密码；“判断分式有意义”命题是分析思维水平的校验码。这样一组活动呈现看似无为，却融通设计者教法的完备意识，起到左右连一片，上下穿一线的“形散神聚”的效应。 明月装饰了你的窗子，你装饰了别人的梦（卞之琳）。这是慢教育为教师专业发展做出的精神层面的贡献.
[参 考 文 献]
[1]杨孝如.“更好的教育”：基础教育发展的时代命题——专访江苏省委组织部副部长、中国教育学会副会长胡金波[J].江苏教育研究，2015（9A）.
[2]朱桂凤.从容行走于“慢”与“不慢”之间[J].中学数学（下半月），2014（8）.
[3]格劳斯.数学教与学研究手册[M].陈昌平，译.上海：上海教育出版社，1999.
[4]李士锜.数学教育心理[M].上海：华东师范大学出版社，2001.
[5]张奠宙，唐瑞芬.数学教育国际透视[M].杭州：浙江教育出版社，1995.
（责任编辑：张华伟）
[关键词] 数学教育；慢的价值；有效教学
“你在桥上看风景，楼上看风景的人在看你。” ——卞之琳
“慢教育”在“快教育”被置于“顶层”的哲学时代“破土而出”，叩问其“有效性”是历史的必然、现实的需要、长远的关键。慢教育的表征是用“慢”来概括的，但其本质却是用“过程”来刻画的，“过程”意味着经历、体验和发展，在过程中改善“数学现实”、在过程中助推“数学理解”、在过程中促进“专业发展”。而这些过程的结果正是慢教育“为什么而出发”的理由。文前、文后镶嵌的诗句，旨在对慢教育“过程有效”的折射和隐喻。
一、慢的教育可以有效地改善学生的“数学现实”
20世纪最伟大的数学教育家弗赖登塔尔曾经提出过“数学现实”，即每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、它的运算方法、规律和有关的数学知识结构。《义务教育数学课程标准（2011年版）》也指出，随着数学学习的深入，学生积累的数学知识和方法就成为学生的“数学现实”。而慢教育就是以改善“数学现实”为出发点的过程性教育，因此这就在理论层面反映慢教育的有效性。
改善“数学现实”的过程，就是让每一位学生经历数学知识的产生和发展过程以及认识结果的价值意义，揭示相关知识之间的内在关联，从整体上理解数学，构建数学认知结构。采用现代企业管理元素来分析，就是用规划的结构序列之力促进活动（事件）的深层次展开。
（一）慢的教育有助于内容组织结构化，帮助学生感受知识体系
慢教育注重知识的“生长点”和“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中。教师在组织教学内容时，通过左右勾连式的内容把握，充分考虑学习内容与目标之间的联系，合理规划，给学生广阔的自主求探时空，让学生在梯级递进式学习中渐次感受外在的学习过程，感知内在知识的整体性。
以“分式”概念教学“开端”为例，上课伊始，笔者首先出示学习目标：了解分式的概念，能确定分式有意义的条件；在探索分式概念和分式有意义条件的过程中，发展类比思想和模型意识。让学生清楚这节课我的“数学现实”与“课时目标”的距离，从而激发内在的平衡需求。然后给充足的时间“悦读”课本，让学生自己提炼本节课待学的主干内容，这样，就能让学生明白本节课内容之间的逻辑关联（概念 实际意义 有意义的条件）。添加这一“组块式”活动，一方面锻炼了学生的整体概括力；另一方面激发了后续学习的内需状态，引动概念结构体系的关联。这基于“结构化”的组织过程，有利于个体认知结构渐次良好，很好地落实了改善数学现实的初衷。
（二）慢的教育有助于过程推进结构化，帮助学生积累活动经验
以核心内容为课堂推进主体是慢教育数学课堂呈现的显著特征。学与教的慢教育过程需要让学生经历并不断思考，以促成其核心能力的阶段发展。尤其是要关注过程推进的层次，即由平行匀速走向逐层递进的动态匀速。
以“分式”教学的过程性重建为例，逻辑流程是关键，问题是核心。分式概念的建立抓住三点展开：（1）分式是什么？呈现一组含有分数、整式和分式的代数式，让学生类比分数的特征积累分式概念的形式化活动经验；比照整式建构分式的意义。（师：在这些式子中，圈出你熟悉的代数式，说明其归属类型，并提炼不熟悉代数式的共同特征；你能再写出一些具有类似特征的式子吗？）（2）分式有意义的条件是什么？借助“去杂”思想，从研究分式无意义入手确定分式有意义的条件（分式的分母不为零）；（3）分式的几何背景和实际意义的解释，从直观的生活体验入手，让学生明白分式的来龙去脉。（师：请写出一个简单的分式并让你的同伴解释其实际意义或揭示其几何背景。）在上述三个核心问题的推进中，让学生经历丰富的思考与实践过程，在慢节奏中，积累活动经验，改善数学现实。
（三）慢的教育有助于思维回流结构化，帮助学生领悟思想方法
慢教育最显著的特征就是借助简捷的“问题链”进行元认知（反思）。梅克（J.Maker）、斯克维（Schiever）在剖析问题的分类中，提出“问题连续体”的概念，即一种开放的、连续的、序列的问题体系。而“结课”是问题链上最为重要的一环，从结构的视角审视其运行价值，让每一位学生在慢节奏中进行思维回流，隐藏在具体知识背后的思想方法，就能通过个体（群体）“做”中反思、“用”中回顾，实现由隐到明、由内而外，渐次得以领悟并升华为一种“通体相关”的行事能力。
例如“分式”教学中的结课，教师的视角不局限于知识简单堆砌（通过这节课学习，你有哪些收获？）而是关注“形而上”的能力，让学生陈述本节课研究分式的方法（类比），并追问以前用这种方法研究了哪些内容？（类比一元一次方程学习一元一次不等式和二元一次方程组、类比一次函数学习反比例函数）类比分数的学习，我们还应该研究分式哪些方面的内容？（分式的约分和通分，分式的加减和乘除运算）这些基于“结构”的螺旋上升式的追问和叩问，让学生在思想方法的平台上进行思维追溯，使新旧知识得以链接，思想方法得以迁移，知识体系上下贯通，立体目标群自然层次性达成。在此基础上，学习者的认识结构明显向好，数学现实得以层次性改善，这就是慢教育在认知层面做出的最大贡献。
慢教育课堂追求不止于数学现实的改善，研究其对数学理解的帮助更有意义。
二、慢的教育可以有效地助推学生的“数学理解”
我不知道生命的花能开多久，但我从不放弃等候；我不知道游荡的魂能飘多远，但我从不停止追求；因为，既然选择了远方，便只顾风雨兼程。“等候、追求、风雨兼程”这些饱含期待的文字丛林，浓缩了慢教育过程的“揪心”！就诗意的侧面看，则是对慢教育背景下“数学理解”过程化的一种理解反映和情绪信念。 比如，转化思想是一种重要的思想方法，依附在具体知识的背后，在研究教材整体性的平台上，就能获悉章节阶段性线索。在小学就孕育了转化思想的萌芽，在此基础上，以“有理数”“整式的加减”等内容为载体，通过不断地渗透和滴灌，让学生不断地感受和领悟这一思想。在学有理数时，要让学生了解有理数运算实际上是借助引入绝对值的概念，将它转化为算术运算；借助相反数和倒数概念的引入，将有理数的减法和除法转化为加法和乘法运算；在整式加减时，让学生认识到其实质就是通过同类项的概念转化为有理数的加减，即化式的运算为数的运算。事实上，多元方程和高次方程最终要转化为一元一次方程来解决。可见，转化思想穿插在初中教材的背后，在高中教材中内层继续行走。经历这样的慢教育反思和审视，教师驾驭教材就有了线性高度，对学生施加的学科影响就不再是知识而是行事观，既引领学生的生态行走，也成就了教师的专业能力。
（二）慢的教育驱使教师研究教学的思想性
教学思想是个体在教学过程中彰显的个性风格。有的教师直奔主题、有的教师立足于烧中段、有的教师关注两头、有的教师以考代讲等等，当这些教学行为上升到理论高度，便是教学风格的雏形。每一位教师都有独特的教学风格，只是有些人没有提炼而已，抑或尚未成熟。我的教学主张就是数学慢教育，慢教育来源于教学实践。实践证明，“慢”教育比“快”教育更有效，慢教育是尊重学生“数学现实”的具体表现，实现“人”的上位发展。
慢教育的教学思想是“自由做学”、教学境界是“学有所乐”。“自由做学”意味着下放时空、压缩容量、浓缩知识精华，需要教师简约教学、删繁就简的能力；而“学有所乐”意味着内在兴趣的驱动。因此每节课都要精心选材、精当安排，方能让质量饱和弥补容量不足的思考缺位。比如，“平行四边形”性质教学，仅在“最近发展区”内设置两个问题，就让平行四边形的性质通体透明。问题再现：（1）请你在展板上用小木棒拼出平行四边形，并度量其边、角、对角线，你有什么发现？（2）请从平行四边形的定义出发证明你的发现。这样的容量在“快餐课堂”是不能容忍的，但在慢教育课堂却意味着效益，学生拼得开心、量得快乐、证得兴趣，这种“大思维、小动笔”正是慢课堂的魂。教师站住这样的课堂，研究久了，专业素养由内而外自然提升。慢教育成就了儿童自然生长，也成就了教师的专业发展。
（三）慢的教育促使教师研究教法的完备性
“教无定法，学无定式”是一种文化美。研究教法是个常研常新的课题，但追求教法的完备性却是个亘古不变的主题。慢教育最大的优势就是在研究教法中收获“低耗”“高效”。这是慢教育背景下孩子们能舒展笑容、开心求探的原因，也是慢教育渐次成为热词的本质归因。慢教育课堂拒绝题海、拒绝标签、拒绝说教，而要“以一当十”“举一反三”，“会一题、通一类、连一片”需要完备的教法来保驾护航，方能赢得事半功倍的效益。
教学需要从心灵出发去分析，关注主观、内在的情感及心灵的力量。这是帕克·帕尔默对教学法的深刻理解，也是慢教育对完备教学法的本真追求。来自心灵的力量是巨大的，慢教育就是在情感感召下释放教学法的力量。这里完备的教法是一种研究过程，而非结果，意味着活动让学生伸手可够；问题让学生踮脚可触；思维让学生“跳一跳，够到桃”。这些发展性的系统元素，使得教师在不断的研究中获得专业发展的契机。比如，上述分式游戏活动的设置，“拼分式”是每一位学生都能够得着的数学活动，其间包含设计学生的成就感体验；而“判断分式”活动是检阅学生概念意义理解的密码；“判断分式有意义”命题是分析思维水平的校验码。这样一组活动呈现看似无为，却融通设计者教法的完备意识，起到左右连一片，上下穿一线的“形散神聚”的效应。 明月装饰了你的窗子，你装饰了别人的梦（卞之琳）。这是慢教育为教师专业发展做出的精神层面的贡献.
[参 考 文 献]
[1]杨孝如.“更好的教育”：基础教育发展的时代命题——专访江苏省委组织部副部长、中国教育学会副会长胡金波[J].江苏教育研究，2015（9A）.
[2]朱桂凤.从容行走于“慢”与“不慢”之间[J].中学数学（下半月），2014（8）.
[3]格劳斯.数学教与学研究手册[M].陈昌平，译.上海：上海教育出版社，1999.
[4]李士锜.数学教育心理[M].上海：华东师范大学出版社，2001.
[5]张奠宙，唐瑞芬.数学教育国际透视[M].杭州：浙江教育出版社，1995.
（责任编辑：张华伟）