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一、起疑：提出设想
学校五年级数学组在进行“多边形的面积”单元（苏教版五年级上册）集体备课时，有教师提出这样的设想：可以先教学三角形的面积，再教学平行四边形和梯形的面积，其理由是多边形中最简单、最基本的是三角形，任意多边形都可以分割成若干个三角形，如果知道了三角形的面积公式，那么就可以通过分割求和的方式推导出平行四边形和梯形的面积公式。这样的想法在逻辑上是可行的，但问题是现行教材中都是先教学平行四边形的面积公式，再依据其推导出三角形的面积公式。能否跳过平行四边形的面积先教学三角形的面积呢？
二、慎思：可行性分析
数学史对于学生的数学学习有着重要的指导作用，学生学习数学知识的过程可以看作数学史的浓缩。以史为鉴，从数学史的角度对上述问题进行分析，能够让教师对一些问题获得更为透彻的理解。
史宁中教授在其所著的《数学思想概论（第2辑）》中提到：几何学是古埃及人发明的，因为实际需要，他们创造了一套有效的计算土地面积的方法，其中包括三角形、长方形和梯形的面积公式，还包括圆面积的近似公式，这些公式被记录在公元前1700年左右的莱茵德纸草书上。古埃及人用来计算长方形面积的方法为“长乘宽”，古埃及人还知道，直角三角形的面积为长方形面积的一半。显然，古埃及人是依据长方形的面积计算方法得到直角三角形的面积计算方法的。
公元1世纪左右，我国第一部数学专著《九章算术》中也记载了三角形的面积计算方法，人教版教材和苏教版教材中（如图1）都以“你知道吗”栏目向学生介绍了这种计算方法。学生从“你知道吗”中了解我国古代数学家是通过“以盈补虚”的方法将三角形等积转化成长方形，并得到三角形的面积计算方法“半广以乘正从”。
公元5世纪，古印度的著名数学家阿耶波多在其所著的《阿里亚哈塔历书》一书中记载了一般三角形的面积公式。在该书“算术篇”第6回中，阿耶波多准确地给出了一般三角形的面积公式“对于一个三角形，底的一半与高的乘积即为其面积”，显然这个公式也是依据长方形的面积公式推导而来的。
从数学史可以看到，古人是依据长方形的面积公式得到三角形的面积公式的，并不是依据平行四边形的面积公式推导出三角形的面积公式的，所以教师完全可以先教学三角形的面积。
三、明辨：价值叩问
通过上述分析，教师发现先教学三角形的面积公式是可行的。但有教师提出疑问：依据平行四边形的面积公式推导三角形的面积公式极其简单，学生很容易理解，而依据长方形的面积公式推导三角形的面积公式在思维上有一定的难度，学生学起来比较困难。放着简单的路不走，偏走一条困难的路，有价值吗？确实，没有价值的教学创新是没有必要的，因此需要对这两种不同教学思路的价值进行分析。
（一）“简单”未必简单
苏教版教材在“三角形的面积”一课中安排了两个例题，例4让学生计算三个放置于平行四边形中的三角形的面积（如图2），从中学生初步发现三角形的面积公式，例5则依据两个完全一样的三角形与拼成的平行四边形之间的关系推导并确定三角形的面积公式，其他版本教材中的教學思路与之大致相同。
如果仅从知识获得的角度来看，按照教材中的步骤进行教学确实简单、高效。但学生的数学学习不仅要获得知识、技能，更要在获得知识的过程中感悟数学思想方法、积累数学活动经验、发展思维能力。从这个角度来看，在依据平行四边形的面积公式推导三角形的面积公式的过程中，最为重要、最为关键的是学生怎么能够想到将三角形转化成平行四边形，怎样将三角形转化成平行四边形。教材中的处理方式是直接将最为关键的方法呈现给学生，这样学生完成剩下的探究任务当然不存在任何困难，但在这样的探究过程中学生充当的只是操作工的角色，难以获得深刻的感悟，并发展思维能力。
如果不给学生提供关键方法，会怎样呢？于是，教师选择了一个班进行调研。先在这个班教学平行四边形的面积，随后直接出示一个三角形，让学生探寻其面积。结果，学生能够想到的方法是将三角形沿高剪成两个三角形，并打算将其拼成长方形，这样的想法源自将平行四边形转化成长方形时获得的经验。在探究未果后，教师提醒学生想想其他方法，但学生还是千方百计地想要将三角形等积转化成长方形，甚至还有学生发现沿高剪拼的方法能够将等腰三角形等积转化成长方形，就是没有学生想到用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。
可见，如果教材不做安排，想要让学生自发地想到用两个完全一样的三角形去拼成一个平行四边形是非常困难的，“简单”未必简单。
（二）困难，但有价值
无论是先学习平行四边形的面积，还是先学习三角形的面积，本单元第一课时必然承载着让学生感悟转化思想的教学目标。如果选择困难的方式，让学生先学习三角形的面积，有没有独特的价值呢？
1.统一转化方法，完善认知结构
如果按照教材中的顺序进行教学，学生在学完本单元后，头脑中留下的知识结构如图3所示，即多边形的面积公式中最先学习的是长方形的面积，正方形、平行四边形的面积公式与长方形的面积公式直接相关，而三角形、梯形的面积公式则与长方形的面积公式间接相关。虽然在学习平行四边形、三角形、梯形的面积公式时都运用了转化的方法，但它们转化的方式是不一样的，平行四边形转化成长方形是等积转化，而三角形、梯形转化成平行四边形是加倍转化。
当先教学三角形的面积，让学生感悟“以盈补虚”的思想方法后，再让学生学习平行四边形、梯形的面积时，他们完全能通过“以盈补虚”的方法将平行四边形和梯形等积转化成长方形。这样不仅在转化方法上统一了，而且学生还可以对多边形的面积形成新的知识结构图（如图4）。在这个知识结构图中，长方形的面积公式处于中心位置，其他四个图形的面积公式都与长方形的面积公式直接相关，从而使面积公式教学紧扣度量的本质（度量的本质是用单位去测量）。从中学生还能感悟到在探寻图形的面积时，对于长方形和正方形这样“方”的图形可以用面积单位直接度量，对于其他“不方”的图形可将其“化斜为方”后，再用面积单位去度量，同时，学生在后续学习圆的面积时自然会想到“化圆为方”，从而统一了转化方法，完善了认知结构。 2.重走发现之路，感悟数学文化
数学文化是数学学习的重要组成部分，数学文化可以滋养学生的数学素养、生长学生的智慧。在数学课中渗透数学文化是很有必要的，但现在的数学课中更多的是将数学文化作为一种点缀，而没有将数学文化真正地融入数学学习过程之中。比如“三角形的面积”一课中，教师一般在得到三角形的面积公式后，会让学生阅读教材中的“你知道吗”中的内容（如图1），从中让学生感悟数学文化。但《九章算术》中涉及的转化方法与教材中让学生运用的转化方法完全不一样，并且课堂上没有足够的时间让学生去思考、感悟这种方法，学生往往只是匆匆一瞥，不能体会到其价值，更谈不上从中汲取智慧。
当我们先教学三角形的面积公式时，学生依据对面积单位的认识以及在学习长方形和正方形的面积公式时获得的经验，会想到将三角形转化成长方形求其面积，这就与古人探寻三角形的面积公式的方向一致了，当得到三角形的面积公式后，再呈现《九章算术》中的相关内容，学生的感悟是大不一样的，他们能够深入地理解“以盈补虚”的内涵，并感悟到古人的智慧，同时也能自觉地将“以盈补虚”的思想方法运用于平行四边形、梯形的面积公式的探究过程之中。
经过以上思考，教师发现不仅可以先教学三角形的面积计算公式，而且可以让学生重走古人发现公式之路，在“再创造”中学数学，并从中感悟数学思想方法，积累数学活动经验。
四、笃行：实践检验
经过上述分析，虽说从理论上完全能够先教学三角形的面积公式，但是否可行还需要在实践中检验。
（一）复习旧知，激活经验
师：三年级时我们学过长方形、正方形的面积公式，大家还记得吗？我们是怎么得到长方形的面积公式的？正方形呢？
（设计意图：课始让学生回忆长方形和正方形的面积公式及得到公式的过程，能够帮助学生激活已有经验，为探寻三角形的面积公式做准备。）
（二）分类研究，归纳公式
1.从特例入手，研究直角三角形的面积
师：今天我们来研究三角形的面积。在这张方格纸中，每个小正方形的面积都是1平方厘米，老师在上面画了一个直角三角形（如图5），你能求出它的面积吗？
（1）学生自主研究。
（2）交流反馈。
①通过数方格直接得到三角形面积。
②除了直接数出这个直角三角形的面积之外，你还有什么方法？
逐步呈现学生的其他想法：
用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形（如图6），并算出面积。
将直角三角形横着或竖着剪拼成一个长方形（如图7、图8），并算出面积。
师：这三种方法中，都将这个直角三角形转化成了长方形，它们有什么不一样？
在交流中明确：第一种方法是将这个直角三角形转化成面积是其2倍的长方形，第二、三种方法是将这个直角三角形转化成与之面积相等的长方形。
师：第二、三种方法中，怎样剪才能保证拼成的是一个长方形？如果不经过这条斜着的边的中点剪行不行？如果不垂直剪行不行？
通过反例让学生明确：要经过斜边的中点剪开，才能保证斜边被分成的两部分能够拼合上;要从斜边中点向直角边垂直剪，才能剪出直角，并将直角边平分成两部分，最终才能拼成长方形。
（设计意图：教师出示一个放置于方格图中的直角三角形，并引领学生从度量的起点——数方格出发，逐步过渡到运用转化的方法直接计算求得其面积，让学生从中初步感悟转化的思想方法，为进一步探究一般直角三角形的面积公式做准备。）
2.从特殊到一般，得到直角三角形的面积公式
师：从刚才的研究中我们发现，只要将这个直角三角形转化成长方形，就能算出它的面积，其他的直角三角形是否也可以这样呢？
（1）学生自主研究。
（2）交流反馈。
①展示在方格图中画直角三角形的方法。
②在方格图中画图，只能说明这一个直角三角形能够转化成长方形，怎样才能说明所有直角三角形都能转化成长方形呢？
引导学生用字母a和h分别表示直角三角形的底和高，将直角三角形一般化，并运用三种方法将直角三角形转化成长方形，再得到与之相对应的面积公式（如图9）。
师：这三种方法在转化时要注意什么？三个公式中的除以2分别表示什么意思？
在交流中明确：第一种方法必须用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形，第二、三种方法必须过斜边的中点向直角边作垂线;第一个公式中的除以2是因为原来直角三角形面积是长方形面积的一半，第二个公式中的除以2是因为底变成原来的一半，第三个公式中的除以2是因为高变成原来的一半。
（设计意图：通过用字母表示直角三角形的底和高，将直角三角形一般化，接着运用在研究方格图中的直角三角形的面积而获得的转化经验研究一般直角三角形的面积，学生不仅得到了直角三角形的面积公式，而且加深了对转化思想方法的感悟。）
3.運用类比推理，得到锐角、钝角三角形的面积公式
师：直角三角形的面积我们会计算了，锐角三角形、钝角三角形的面积可以怎么算呢？
学生猜测也可以用直角三角形的面积公式去计算，并用作业纸上标注好a和h的多个锐角三角形和钝角三角形进行研究，验证自己的猜想。之后教师呈现学生的想法（如图10）。
师：将锐角三角形、钝角三角形转化成长方形与将直角三角形转化成长方形之间有什么联系？
在交流中明确：锐角三角形和钝角三角形都可以沿着高分成两个直角三角形，在转化时只需要将分成的两个直角三角形分别转化成长方形就行了。
小结：通过研究，我们确定锐角三角形和钝角三角形也可以用直角三角形的面积公式计算它们的面积。 4.通过完全归纳，得到一般三角形的面积公式
师：前面我们分别研究了直角三角形、锐角三角形、钝角三角形，并得到了它们的面积计算公式，现在你能计算一个三角形的面积吗？
大家通过研究得到了三种不同的三角形面积公式，这三个公式之间有什么联系呢？
交流中明确：依据积的变化规律，两个数相乘，不管哪个因数除以2，其积必然也除以2，所以这三个公式的计算结果是一样的，我们一般用S=a×h÷2来计算（如图11）。
师：回顾一下研究的过程，我们是怎么得到三角形的面积公式的？
小结：我们先研究了一个方格图中的直角三角的面积，在研究中我们初步感悟到可以将一个直角三角形转化成长方形并算出它的面积。接着，我们将转化的方法运用到一般直角三角形的面积研究之中，并得到了直角三角形的面积公式，然后我们将这个公式类推到锐角三角形、钝角三角形之中，最后归纳出了三角形的面积公式。
（三）巩固练习，运用公式（略）
（四）回顾反思，拓展延伸
师：通过今天的学习，你有哪些体会？（生答略）
师：今天，我们依据长方形的面积公式得到了三角形的面积公式。想知道古人是怎么得到三角形的面积公式的吗？请阅读书中的“你知道吗”，读完后说说你的体会。
交流中明确：我们研究三角形面积的思路与古人的思路是一致的，其中第二、第三种方法就是“以盈补虚”。
结合图形与公式S=a÷2×h让学生理解“以盈补虚”和“半广以乘正从”的意义（如图12）。
师：以后我们还会研究平行四边形、梯形的面积，你们打算怎么研究呢？
学生提出可以用“以盈补虚”的方法将它们转化成长方形，并尝试转化。
（设计意图：课的最后让学生阅读“你知道吗”，不仅让学生感悟到古人的智慧，同时也能够让学生将探究过程中所使用的方法与“以盈补虚”建立联系，从中感悟转化的思想方法，并积累数学活动经验。）
经过实践发现，先教学三角形的面积，学生不仅能够独立地发现结论，还能从中感悟到“以盈補虚”的数学思想方法，并能将其迁移到平行四边形和梯形面积的探究之中。由于学生探究三角形面积公式的过程与古人发现公式的过程正好吻合，能够从中受到数学文化的熏陶，感悟古人的智慧与创造。
（江苏省高邮实验小学东校区
学校五年级数学组在进行“多边形的面积”单元（苏教版五年级上册）集体备课时，有教师提出这样的设想：可以先教学三角形的面积，再教学平行四边形和梯形的面积，其理由是多边形中最简单、最基本的是三角形，任意多边形都可以分割成若干个三角形，如果知道了三角形的面积公式，那么就可以通过分割求和的方式推导出平行四边形和梯形的面积公式。这样的想法在逻辑上是可行的，但问题是现行教材中都是先教学平行四边形的面积公式，再依据其推导出三角形的面积公式。能否跳过平行四边形的面积先教学三角形的面积呢？
二、慎思：可行性分析
数学史对于学生的数学学习有着重要的指导作用，学生学习数学知识的过程可以看作数学史的浓缩。以史为鉴，从数学史的角度对上述问题进行分析，能够让教师对一些问题获得更为透彻的理解。
史宁中教授在其所著的《数学思想概论（第2辑）》中提到：几何学是古埃及人发明的，因为实际需要，他们创造了一套有效的计算土地面积的方法，其中包括三角形、长方形和梯形的面积公式，还包括圆面积的近似公式，这些公式被记录在公元前1700年左右的莱茵德纸草书上。古埃及人用来计算长方形面积的方法为“长乘宽”，古埃及人还知道，直角三角形的面积为长方形面积的一半。显然，古埃及人是依据长方形的面积计算方法得到直角三角形的面积计算方法的。
公元1世纪左右，我国第一部数学专著《九章算术》中也记载了三角形的面积计算方法，人教版教材和苏教版教材中（如图1）都以“你知道吗”栏目向学生介绍了这种计算方法。学生从“你知道吗”中了解我国古代数学家是通过“以盈补虚”的方法将三角形等积转化成长方形，并得到三角形的面积计算方法“半广以乘正从”。
公元5世纪，古印度的著名数学家阿耶波多在其所著的《阿里亚哈塔历书》一书中记载了一般三角形的面积公式。在该书“算术篇”第6回中，阿耶波多准确地给出了一般三角形的面积公式“对于一个三角形，底的一半与高的乘积即为其面积”，显然这个公式也是依据长方形的面积公式推导而来的。
从数学史可以看到，古人是依据长方形的面积公式得到三角形的面积公式的，并不是依据平行四边形的面积公式推导出三角形的面积公式的，所以教师完全可以先教学三角形的面积。
三、明辨：价值叩问
通过上述分析，教师发现先教学三角形的面积公式是可行的。但有教师提出疑问：依据平行四边形的面积公式推导三角形的面积公式极其简单，学生很容易理解，而依据长方形的面积公式推导三角形的面积公式在思维上有一定的难度，学生学起来比较困难。放着简单的路不走，偏走一条困难的路，有价值吗？确实，没有价值的教学创新是没有必要的，因此需要对这两种不同教学思路的价值进行分析。
（一）“简单”未必简单
苏教版教材在“三角形的面积”一课中安排了两个例题，例4让学生计算三个放置于平行四边形中的三角形的面积（如图2），从中学生初步发现三角形的面积公式，例5则依据两个完全一样的三角形与拼成的平行四边形之间的关系推导并确定三角形的面积公式，其他版本教材中的教學思路与之大致相同。
如果仅从知识获得的角度来看，按照教材中的步骤进行教学确实简单、高效。但学生的数学学习不仅要获得知识、技能，更要在获得知识的过程中感悟数学思想方法、积累数学活动经验、发展思维能力。从这个角度来看，在依据平行四边形的面积公式推导三角形的面积公式的过程中，最为重要、最为关键的是学生怎么能够想到将三角形转化成平行四边形，怎样将三角形转化成平行四边形。教材中的处理方式是直接将最为关键的方法呈现给学生，这样学生完成剩下的探究任务当然不存在任何困难，但在这样的探究过程中学生充当的只是操作工的角色，难以获得深刻的感悟，并发展思维能力。
如果不给学生提供关键方法，会怎样呢？于是，教师选择了一个班进行调研。先在这个班教学平行四边形的面积，随后直接出示一个三角形，让学生探寻其面积。结果，学生能够想到的方法是将三角形沿高剪成两个三角形，并打算将其拼成长方形，这样的想法源自将平行四边形转化成长方形时获得的经验。在探究未果后，教师提醒学生想想其他方法，但学生还是千方百计地想要将三角形等积转化成长方形，甚至还有学生发现沿高剪拼的方法能够将等腰三角形等积转化成长方形，就是没有学生想到用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。
可见，如果教材不做安排，想要让学生自发地想到用两个完全一样的三角形去拼成一个平行四边形是非常困难的，“简单”未必简单。
（二）困难，但有价值
无论是先学习平行四边形的面积，还是先学习三角形的面积，本单元第一课时必然承载着让学生感悟转化思想的教学目标。如果选择困难的方式，让学生先学习三角形的面积，有没有独特的价值呢？
1.统一转化方法，完善认知结构
如果按照教材中的顺序进行教学，学生在学完本单元后，头脑中留下的知识结构如图3所示，即多边形的面积公式中最先学习的是长方形的面积，正方形、平行四边形的面积公式与长方形的面积公式直接相关，而三角形、梯形的面积公式则与长方形的面积公式间接相关。虽然在学习平行四边形、三角形、梯形的面积公式时都运用了转化的方法，但它们转化的方式是不一样的，平行四边形转化成长方形是等积转化，而三角形、梯形转化成平行四边形是加倍转化。
当先教学三角形的面积，让学生感悟“以盈补虚”的思想方法后，再让学生学习平行四边形、梯形的面积时，他们完全能通过“以盈补虚”的方法将平行四边形和梯形等积转化成长方形。这样不仅在转化方法上统一了，而且学生还可以对多边形的面积形成新的知识结构图（如图4）。在这个知识结构图中，长方形的面积公式处于中心位置，其他四个图形的面积公式都与长方形的面积公式直接相关，从而使面积公式教学紧扣度量的本质（度量的本质是用单位去测量）。从中学生还能感悟到在探寻图形的面积时，对于长方形和正方形这样“方”的图形可以用面积单位直接度量，对于其他“不方”的图形可将其“化斜为方”后，再用面积单位去度量，同时，学生在后续学习圆的面积时自然会想到“化圆为方”，从而统一了转化方法，完善了认知结构。 2.重走发现之路，感悟数学文化
数学文化是数学学习的重要组成部分，数学文化可以滋养学生的数学素养、生长学生的智慧。在数学课中渗透数学文化是很有必要的，但现在的数学课中更多的是将数学文化作为一种点缀，而没有将数学文化真正地融入数学学习过程之中。比如“三角形的面积”一课中，教师一般在得到三角形的面积公式后，会让学生阅读教材中的“你知道吗”中的内容（如图1），从中让学生感悟数学文化。但《九章算术》中涉及的转化方法与教材中让学生运用的转化方法完全不一样，并且课堂上没有足够的时间让学生去思考、感悟这种方法，学生往往只是匆匆一瞥，不能体会到其价值，更谈不上从中汲取智慧。
当我们先教学三角形的面积公式时，学生依据对面积单位的认识以及在学习长方形和正方形的面积公式时获得的经验，会想到将三角形转化成长方形求其面积，这就与古人探寻三角形的面积公式的方向一致了，当得到三角形的面积公式后，再呈现《九章算术》中的相关内容，学生的感悟是大不一样的，他们能够深入地理解“以盈补虚”的内涵，并感悟到古人的智慧，同时也能自觉地将“以盈补虚”的思想方法运用于平行四边形、梯形的面积公式的探究过程之中。
经过以上思考，教师发现不仅可以先教学三角形的面积计算公式，而且可以让学生重走古人发现公式之路，在“再创造”中学数学，并从中感悟数学思想方法，积累数学活动经验。
四、笃行：实践检验
经过上述分析，虽说从理论上完全能够先教学三角形的面积公式，但是否可行还需要在实践中检验。
（一）复习旧知，激活经验
师：三年级时我们学过长方形、正方形的面积公式，大家还记得吗？我们是怎么得到长方形的面积公式的？正方形呢？
（设计意图：课始让学生回忆长方形和正方形的面积公式及得到公式的过程，能够帮助学生激活已有经验，为探寻三角形的面积公式做准备。）
（二）分类研究，归纳公式
1.从特例入手，研究直角三角形的面积
师：今天我们来研究三角形的面积。在这张方格纸中，每个小正方形的面积都是1平方厘米，老师在上面画了一个直角三角形（如图5），你能求出它的面积吗？
（1）学生自主研究。
（2）交流反馈。
①通过数方格直接得到三角形面积。
②除了直接数出这个直角三角形的面积之外，你还有什么方法？
逐步呈现学生的其他想法：
用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形（如图6），并算出面积。
将直角三角形横着或竖着剪拼成一个长方形（如图7、图8），并算出面积。
师：这三种方法中，都将这个直角三角形转化成了长方形，它们有什么不一样？
在交流中明确：第一种方法是将这个直角三角形转化成面积是其2倍的长方形，第二、三种方法是将这个直角三角形转化成与之面积相等的长方形。
师：第二、三种方法中，怎样剪才能保证拼成的是一个长方形？如果不经过这条斜着的边的中点剪行不行？如果不垂直剪行不行？
通过反例让学生明确：要经过斜边的中点剪开，才能保证斜边被分成的两部分能够拼合上;要从斜边中点向直角边垂直剪，才能剪出直角，并将直角边平分成两部分，最终才能拼成长方形。
（设计意图：教师出示一个放置于方格图中的直角三角形，并引领学生从度量的起点——数方格出发，逐步过渡到运用转化的方法直接计算求得其面积，让学生从中初步感悟转化的思想方法，为进一步探究一般直角三角形的面积公式做准备。）
2.从特殊到一般，得到直角三角形的面积公式
师：从刚才的研究中我们发现，只要将这个直角三角形转化成长方形，就能算出它的面积，其他的直角三角形是否也可以这样呢？
（1）学生自主研究。
（2）交流反馈。
①展示在方格图中画直角三角形的方法。
②在方格图中画图，只能说明这一个直角三角形能够转化成长方形，怎样才能说明所有直角三角形都能转化成长方形呢？
引导学生用字母a和h分别表示直角三角形的底和高，将直角三角形一般化，并运用三种方法将直角三角形转化成长方形，再得到与之相对应的面积公式（如图9）。
师：这三种方法在转化时要注意什么？三个公式中的除以2分别表示什么意思？
在交流中明确：第一种方法必须用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形，第二、三种方法必须过斜边的中点向直角边作垂线;第一个公式中的除以2是因为原来直角三角形面积是长方形面积的一半，第二个公式中的除以2是因为底变成原来的一半，第三个公式中的除以2是因为高变成原来的一半。
（设计意图：通过用字母表示直角三角形的底和高，将直角三角形一般化，接着运用在研究方格图中的直角三角形的面积而获得的转化经验研究一般直角三角形的面积，学生不仅得到了直角三角形的面积公式，而且加深了对转化思想方法的感悟。）
3.運用类比推理，得到锐角、钝角三角形的面积公式
师：直角三角形的面积我们会计算了，锐角三角形、钝角三角形的面积可以怎么算呢？
学生猜测也可以用直角三角形的面积公式去计算，并用作业纸上标注好a和h的多个锐角三角形和钝角三角形进行研究，验证自己的猜想。之后教师呈现学生的想法（如图10）。
师：将锐角三角形、钝角三角形转化成长方形与将直角三角形转化成长方形之间有什么联系？
在交流中明确：锐角三角形和钝角三角形都可以沿着高分成两个直角三角形，在转化时只需要将分成的两个直角三角形分别转化成长方形就行了。
小结：通过研究，我们确定锐角三角形和钝角三角形也可以用直角三角形的面积公式计算它们的面积。 4.通过完全归纳，得到一般三角形的面积公式
师：前面我们分别研究了直角三角形、锐角三角形、钝角三角形，并得到了它们的面积计算公式，现在你能计算一个三角形的面积吗？
大家通过研究得到了三种不同的三角形面积公式，这三个公式之间有什么联系呢？
交流中明确：依据积的变化规律，两个数相乘，不管哪个因数除以2，其积必然也除以2，所以这三个公式的计算结果是一样的，我们一般用S=a×h÷2来计算（如图11）。
师：回顾一下研究的过程，我们是怎么得到三角形的面积公式的？
小结：我们先研究了一个方格图中的直角三角的面积，在研究中我们初步感悟到可以将一个直角三角形转化成长方形并算出它的面积。接着，我们将转化的方法运用到一般直角三角形的面积研究之中，并得到了直角三角形的面积公式，然后我们将这个公式类推到锐角三角形、钝角三角形之中，最后归纳出了三角形的面积公式。
（三）巩固练习，运用公式（略）
（四）回顾反思，拓展延伸
师：通过今天的学习，你有哪些体会？（生答略）
师：今天，我们依据长方形的面积公式得到了三角形的面积公式。想知道古人是怎么得到三角形的面积公式的吗？请阅读书中的“你知道吗”，读完后说说你的体会。
交流中明确：我们研究三角形面积的思路与古人的思路是一致的，其中第二、第三种方法就是“以盈补虚”。
结合图形与公式S=a÷2×h让学生理解“以盈补虚”和“半广以乘正从”的意义（如图12）。
师：以后我们还会研究平行四边形、梯形的面积，你们打算怎么研究呢？
学生提出可以用“以盈补虚”的方法将它们转化成长方形，并尝试转化。
（设计意图：课的最后让学生阅读“你知道吗”，不仅让学生感悟到古人的智慧，同时也能够让学生将探究过程中所使用的方法与“以盈补虚”建立联系，从中感悟转化的思想方法，并积累数学活动经验。）
经过实践发现，先教学三角形的面积，学生不仅能够独立地发现结论，还能从中感悟到“以盈補虚”的数学思想方法，并能将其迁移到平行四边形和梯形面积的探究之中。由于学生探究三角形面积公式的过程与古人发现公式的过程正好吻合，能够从中受到数学文化的熏陶，感悟古人的智慧与创造。
（江苏省高邮实验小学东校区