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在建筑设计中,根据建筑使用功能的需要,常将楼板控空作预留孔洞,在层高有限制的大开间楼盖结构设计中,常将梁格沿孔洞边布设成不规整的井字梁。如图1所示的楼盖结构型式。这种不规则井字梁不能直接套用图表。本文以井字梁计算理论为依据,根据平面交叉梁系梁格交点(节点)处变形协调条件,利用挠度平衡法进行内力分析及变形计算,最后根据叠加原理,求得均布荷载作用下不规则井字梁中各梁格的内力及变形。
图 2
1 结构计算分析
1.1 基本假定
1)不计杆件的轴向变形及剪切变形的影响。
2)井字梁节点处的作用力,只考虑等效节点荷载(即把恒载及活载均化为作用于节点处的节点集中荷载)。而不考虑梁间弯矩及扭矩作用。
3)根据变形条件协调性,诸梁格交叉点处各梁垂直方向的变位均相等。即各梁间在节点处的相互垂直方向的变位等于零。
1.2 各梁内力的协调分析及变形计算
1)建立位移典型方程。取节点竖向位移为基本未知量,在各个可能产生竖向位移的节点上加上虚拟铰(如图3中的1、2、3和4铰链均为虚拟铰),求出刚度系数,从而建立位移典程方程式。
图 3
以节i个节点处竖向位移Zi为未知量的位移典型方程为:
r11Z1 + r12Z2 + … + r1iZi + … + r1nZn + R1p=0
r21Z1 + r22Z2 + … + r2iZi + … + r2nZn + R2p=0
ri1Z1 + ri2Z2 + … +rijZj+ … + rinZn + Rip=0
rn1Z1 + rn2Z2 + … + rniZi + … + rnnZn + Rnp=0
写成矩阵形式为:[r-] [Z-]+{R}=0
式中,[r-]为n×n阶刚度矩阵,其中rij为第j号虚拟铰生产单位位移时在第i号虚拟铰产生的竖向反力。
[Z-]为1×n阶位移矩阵,其中Zi为i号节点竖向位移。
{R}为1×n阶荷载矩阵,其中Rip为节点何载在i号虚拟铰中产生的反力。
2)刚度系数Rij即为第j号虚拟铰产生单位竖向位移时在第i号虚拟铰中产生的反力值。如图4中1号虚拟铰产生单位位移时在1号虚拟铰中产生的竖向反力为r11。显然:
r11=QFE+QFG+QFJ+QFB
式中,QFE和QFG与QFB和QFJ分别为1号虚拟铰产生单位位移时,XL1与XL3在铰1中产生的力。
图 4
由于井字梁各节点处都设上一个虚拟铰,各条梁可以利用力矩分配法计算各梁中某节点产生单位位移时在各梁中引起的弯矩,求得各梁弯矩后,便可求得各梁端的剪力,从而求得虚拟铰中反力,即刚度系数。在求得位移方程刚度系数时,各节点分别产生单位位移时内力则已分别求出,最后它们的内力即为各节点位移之和与其相对应的节点产生单位位移时的内力乘积之和。
2 算例
如有一黄金冶炼厂厂房楼面,其平面图(见图1),结构平面图(见图2),井字梁截面尺寸为250×500,楼面恒载为g=3.5kN/M2活载为q=8.0kN/M2,砼为C20,EC=2.55×107kN/M2,试计算井字梁内力和位移。
解:考虑板对梁的刚度影响,梁的刚度取值分别为1.5EI(梁侧边有孔洞)和2.0EI(梁边无孔洞或者有孔洞且有翼缘板的梁)。
1)计算XL1梁,XL2梁,XL3梁,XL4梁内力及位移。①计算简图如下图5～图12:
②XL1梁由于支座F和G产生单位位移(即Z—1=1和Z—2=1)时力矩分配计算内力见下表1、表2。
③XL2梁支座B、C产生单位位移(即Z—3=1和Z—1=1)时力矩分配计算内力见下表3、表4。
④XL3梁支座B、F产生单位位移(即Z—3=1和Z—1=1)时力矩分配计算内力见表5、表6。
⑤XL4梁支座C、G产生单位位移(即Z—4=1和Z—2=1)时力矩分配计算内力表表7、表8。
⑥分配系数列于第一横线上,产生单位位移时各杆端弯矩列于第一横线下,最后弯矩列于第二横线下。
⑦求得位移方程为:(1)恒载作用F:
(2)活载作用F:
2)求得各节点竖向位移后,又已知井字梁各节点分别产生单位位移时的弯矩分布,最后只将各节点位移反乘后叠加,即得各梁在恒载和活载作用的内力,最后井字梁内力为将各梁在恒载及活载作用的内力分别乘上荷载分项系数后之和。此处从略,配筋从略。在各节点处须配2φ18长每边各1米的构造负筋,保证在荷载不均匀时承受负弯矩。
3 结语
1)本文计算理论简单不复杂,计算方法简便。计算结果精确度取决于分配次数,还取决于各梁刚度I的取值。
2)比按图表查取更为接近实际,结果精度可靠。
3)对于边支座为鉸支的同样可以按此法进行计算内力。
4)对于斜交井字梁同样可以利用本文方法。
参考文献
[1]支秉琛,仓世华,雷钟和.结构力学.中央广播电视大学出版社,1985,1.
[2]曾华卿.建筑结构,1990,1.
图 2
1 结构计算分析
1.1 基本假定
1)不计杆件的轴向变形及剪切变形的影响。
2)井字梁节点处的作用力,只考虑等效节点荷载(即把恒载及活载均化为作用于节点处的节点集中荷载)。而不考虑梁间弯矩及扭矩作用。
3)根据变形条件协调性,诸梁格交叉点处各梁垂直方向的变位均相等。即各梁间在节点处的相互垂直方向的变位等于零。
1.2 各梁内力的协调分析及变形计算
1)建立位移典型方程。取节点竖向位移为基本未知量,在各个可能产生竖向位移的节点上加上虚拟铰(如图3中的1、2、3和4铰链均为虚拟铰),求出刚度系数,从而建立位移典程方程式。
图 3
以节i个节点处竖向位移Zi为未知量的位移典型方程为:
r11Z1 + r12Z2 + … + r1iZi + … + r1nZn + R1p=0
r21Z1 + r22Z2 + … + r2iZi + … + r2nZn + R2p=0
ri1Z1 + ri2Z2 + … +rijZj+ … + rinZn + Rip=0
rn1Z1 + rn2Z2 + … + rniZi + … + rnnZn + Rnp=0
写成矩阵形式为:[r-] [Z-]+{R}=0
式中,[r-]为n×n阶刚度矩阵,其中rij为第j号虚拟铰生产单位位移时在第i号虚拟铰产生的竖向反力。
[Z-]为1×n阶位移矩阵,其中Zi为i号节点竖向位移。
{R}为1×n阶荷载矩阵,其中Rip为节点何载在i号虚拟铰中产生的反力。
2)刚度系数Rij即为第j号虚拟铰产生单位竖向位移时在第i号虚拟铰中产生的反力值。如图4中1号虚拟铰产生单位位移时在1号虚拟铰中产生的竖向反力为r11。显然:
r11=QFE+QFG+QFJ+QFB
式中,QFE和QFG与QFB和QFJ分别为1号虚拟铰产生单位位移时,XL1与XL3在铰1中产生的力。
图 4
由于井字梁各节点处都设上一个虚拟铰,各条梁可以利用力矩分配法计算各梁中某节点产生单位位移时在各梁中引起的弯矩,求得各梁弯矩后,便可求得各梁端的剪力,从而求得虚拟铰中反力,即刚度系数。在求得位移方程刚度系数时,各节点分别产生单位位移时内力则已分别求出,最后它们的内力即为各节点位移之和与其相对应的节点产生单位位移时的内力乘积之和。
2 算例
如有一黄金冶炼厂厂房楼面,其平面图(见图1),结构平面图(见图2),井字梁截面尺寸为250×500,楼面恒载为g=3.5kN/M2活载为q=8.0kN/M2,砼为C20,EC=2.55×107kN/M2,试计算井字梁内力和位移。
解:考虑板对梁的刚度影响,梁的刚度取值分别为1.5EI(梁侧边有孔洞)和2.0EI(梁边无孔洞或者有孔洞且有翼缘板的梁)。
1)计算XL1梁,XL2梁,XL3梁,XL4梁内力及位移。①计算简图如下图5～图12:
②XL1梁由于支座F和G产生单位位移(即Z—1=1和Z—2=1)时力矩分配计算内力见下表1、表2。
③XL2梁支座B、C产生单位位移(即Z—3=1和Z—1=1)时力矩分配计算内力见下表3、表4。
④XL3梁支座B、F产生单位位移(即Z—3=1和Z—1=1)时力矩分配计算内力见表5、表6。
⑤XL4梁支座C、G产生单位位移(即Z—4=1和Z—2=1)时力矩分配计算内力表表7、表8。
⑥分配系数列于第一横线上,产生单位位移时各杆端弯矩列于第一横线下,最后弯矩列于第二横线下。
⑦求得位移方程为:(1)恒载作用F:
(2)活载作用F:
2)求得各节点竖向位移后,又已知井字梁各节点分别产生单位位移时的弯矩分布,最后只将各节点位移反乘后叠加,即得各梁在恒载和活载作用的内力,最后井字梁内力为将各梁在恒载及活载作用的内力分别乘上荷载分项系数后之和。此处从略,配筋从略。在各节点处须配2φ18长每边各1米的构造负筋,保证在荷载不均匀时承受负弯矩。
3 结语
1)本文计算理论简单不复杂,计算方法简便。计算结果精确度取决于分配次数,还取决于各梁刚度I的取值。
2)比按图表查取更为接近实际,结果精度可靠。
3)对于边支座为鉸支的同样可以按此法进行计算内力。
4)对于斜交井字梁同样可以利用本文方法。
参考文献
[1]支秉琛,仓世华,雷钟和.结构力学.中央广播电视大学出版社,1985,1.
[2]曾华卿.建筑结构,1990,1.