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摘要：“数学分析”这门课程是极其重要的专业必修课，是许多后续课程的基础，但现阶段存在课程内容多、学时少，大部分学生基础差、学习兴趣不高以及动力不足等矛盾。根据该课程的特点和目前教学过程中存在的问题，从重视绪论课的教学、基本概念的引入、转变教学模式与教学手段以及做好课后辅导等方面对该课程的教学方法进行了探讨。
关键词：数学分析；教学方法；教学内容
作者简介：孙志玲（1979-），女，内蒙古赤峰人，内蒙古民族大学数学学院，讲师。（内蒙古 通辽 028000）
基金项目：本文系民族高校大学数学课程分级教学和考核的研究与实践（项目编号：MDYB2013033）的研究成果。
中图分类号：G642.4 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2013）32-0108-02
数学分析是数学系学生极其重要的专业基础课，它集中反映了数学科学的学科特点，是学习实分析、复分析、泛函分析、微分方程、拓扑学等许多后续课程的基础，在本科数学学习中占有特殊的地位。数学分析具有高度的抽象性和概括性、逻辑的严密性、结论的确定性以及应用的广泛性等特点。数学分析不仅是进行数学理论研究的重要工具，更是培养学生数学思维和训练基本素质的体操，是学生今后学习数学、攀登数学高峰的重要落脚点。对于刚入校的新生来说，学习数学分析课程都有“难”的感觉。这是由数学分析的学科特点所决定的。因为数学分析的思想方法、理论体系与平常人的日常习惯是大相径庭的，大部分人一开始难以适应。在这个关键阶段，需要教师在教学中的各个环节进行很好的引导，帮助他们找到合适的学习方法，只有这样才能促使他们对大学学习的适应能力和思维能力的提高。因此，加强数学分析课程的教学是必需的。
一、数学分析内容的特点与教学现状
数学分析与初等数学的主要不同之处是运用变化的观点来考虑问题，用极限的语言来描述问题，极限的概念贯穿数学分析内容的始终，从变量的变化过程来寻找规律，是学习数学分析的关键环节。而对初等数学问题的研究是采用静止的方法来讨论的。数学这门学科从形成之日起，它的概念就以精确、抽象、严密的姿态出现的，而数学分析的这个特点更加突出，其概念的抽象性与严密性主要表现在定义的一系列新概念源于实际问题，使实际问题的高度抽象包含更丰富的内涵，更具有一般性。可以说，正确理解和熟练掌握数学分析的概念是学习这门课程的前提和基础，它决定着这门课程学习的成败。同时，在数学分析课程的学习中解题是关键，要学会解题就必须在全面、正确地理解基本概念、基本理论和基本方法的基础上，培养数学的思想方法，运用丰富的技巧，提高分析问题和解决问题的能力。
随着我国高等教育事业的快速发展，高等教育逐步從精英型向大众普及型转化，高等院校入学新生的数学总体水平普遍有较明显的降低。并且随着就业压力的增大，学生进入大学校门，尤其是普通大学的学生，他们没有明确目标，对学习不感兴趣。另一方面，高等院校数学分析课时在数次压缩后一般减少了五分之一左右，学时少、内容多也是教学中诸多矛盾之一。现阶段从教学方法、教学内容、教学过程以及教学效果等几个方面来看，数学分析课程的教学存在着许多与学生的实际水平以及社会发展需要不相适应的现象，教师应积极探索一些适合本学科需要的教学方法和学习方法。
二、数学分析教学法的探究
数学分析课程的特征大体可以概括为内容丰富、概念抽象严密、知识结构复杂庞大、思想方法转换多样以及推理论证难等。而大部分普通院校的学生存在数学基础差、适应能力不强以及学习动力不足的现象，甚至有些学生对数学分析产生畏惧心理。本文从教学角度分析，对教师如何才能有效提高数学分析这门课程的教学质量方面提出几点建议：
1.重视绪论课教学
由于数学分析的理论高度抽象性的特点，大部分学生对数学分析的兴趣不够，而兴趣是学习最好的推动力，为了激发学生的学习兴趣，增强学习的主动性，绪论课的教学起着至关重要的作用。作为一名教师要想上好绪论课，必须要有丰富的知识储备，不仅需要熟悉现代理论，还要了解该课程的历史发展过程以及与其它相关学科的密切联系。在绪论课上，要让学生了解微积分学简史，明确其在整个数学发展中的作用与地位，使学生知道数学分析不是无源之水，它们都来源于解决实际问题的需要。现在很多学生在学习上缺乏坚韧不拔的精神和毅力，针对这种情况，在教学中可以用一些优秀科学家的事迹去激励鞭策他们。例如在学习极限时，柯西极限存在准则是极其重要的内容，而且在后面的学习中还有一些以柯西命名的定理，如果向学生介绍柯西的有关事迹，他们不再觉得柯西只是个代号且这个人遥不可及，这样就能激发他们的兴趣，加深对定理的记忆。首先，通过绪论课，学生可以了解数学分析课程知识体系、研究对象、研究目的和方法以及与初等数学的关系。总体而言，数学分析课程是用极限这个有力的工具研究定义在实数集上的函数，研究的方向包括微分、积分以及级数等，这使得学生对数学分析课程有一个整体的了解。其次，教师讲几个数学分析在其它学科中的应用的典型实例，这样可以使学生意识到学习这门课程的意义与作用，从而激发他们学习的兴趣，端正他们的学习态度。绪论课不仅指开课之初所讲的总的绪论课，也包括讲授每章内容的开始，教师要向学生介绍这一章的重点、难点以及要解决的问题。教师在每章的开始都给出相应的提纲是非常必要的，这样能使学生对本章内容做到心中有数，对学生学好这一章起到了重要作用。
2.注重概念的引入
数学分析课程的抽象性主要体现在基本概念的高度抽象性、严密性。理解基本概念是前提和基础，学生只有把基本概念理解清楚才能进行解题和进一步的研究。教师在教学中引入概念要找到正确的方式，适应学生的思维发展，这样才能使学生很好地接受。实际上，数学分析中的许多重要概念都是从实际问题中抽象出来的，通过对典型例子的分析，可以帮助学生加深理解。例如在引入导数这个概念的时候，通常以瞬时速度和切线的斜率为背景，这两个不同的问题都可以归结为“差商”的极限。实际上导数是关于所有瞬时变化率问题的一个抽象概括，这样就可以让学生明白导数概念中包含的思想，更好地理解导数的概念。有些概念叙述起来特别复杂，学生学完概念做题时还是很茫然，不知从何下笔。如果教师把概念讲清楚，并且能用简洁的语言进行概括，学生掌握起来就能轻松些。比如定积分的概念叙述起来特别繁琐，学生很难理解，但是产生定积分概念的背景来源于求梯形的面积、变力作功等问题，这些问题都归结为特定形式的和式逼近，解决它们的思想方法就是“分割、近似求和、取极限”。再比如第二型曲面积分的计算问题是一个综合的微积分问题，是数学分析教学中的重点也是难点的内容，并且在物理问题中有着广泛的应用。要让学生掌握第二型曲面积分计算，除了理解概念外还要掌握它的计算步骤，可以将它的计算步骤概括为“一代二投三定向”。所谓的“一代”是指根据曲面方程表达式把被积函数中的三元函数化为与积分变量一致的二元函数；“二投”是指将曲面投影到与积分变量一致的坐标平面上，这样积分区域由曲面变为平面；最后将根据曲面的侧对应的法向量与相应坐标平面的法向量的夹角来决定积分前面加正负号，如果小于90°加正号，如果大于90°加负号，等于90°积分值取零，即“三定向”。经过这样的分解步骤，第二型曲面积分的计算转化为了二重积分。数学分析课程的逻辑性很强，概念相关程度很高，尤其是极限概念是微分、积分与级数等概念的基础，如果前面的概念没有掌握好，后面的内容就很难理解清楚。因此，做好概念的教学是非常重要的。 3.改进教学模式与手段
当今社会要求大学生不仅要有一定的知识，还要具备一定的能力，比如适应能力、实践能力、创新能力等。这就要求教师在教学中也要不断创新、与时俱进。在传统的教学模式中，以教师传授知识为主；学生被动接受，很少参与进来。这使得学生对学习缺少主动性，容易对数学分析产生一种神秘感，甚至逐渐失去学习这门课程的兴趣。现代教育思想更多强调学生的主体作用，主张教师加以引导、学生积极参与。要改变课堂讲授过程中灌输式的教学模式，教师需要在备课过程中精心设计问题，引导学生通过观察、思考、分析、归纳总结出结论与方法，提高学生学习的主动性。同时，教师在课堂上对内容的讲授要做到少而精、突出重点、详略得当、合理分配教学时间。另外，教师还可以综合应用讨论式、启发式、对比式、归纳式等各种教学方法，提高学生的学习趣味性。学生通过思考、分析、表达和解决问题过程的训练，可以增强创新意识提高应用数学的能力。
对于数学分析的教学，多年以来高校一直采用“粉笔+板书”的传统讲授法。随着电子信息时代的到来，多媒体在现代教育技术中已经得到了广泛的应用。使用多媒体可以使内容更直观、更具体、更形象。传统课堂教学以文字叙述为主，定义、公式、定理基本上是呆板地出现在黑板上。利用多媒体可以结合空间图形得以直观体现，这样可以从根本上改变作图不规范、色彩单调的弊端，从而更好地吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣。如何正确使用多媒体，处理好传统教学模式与现代教学手段的关系，是今后教学中值得探究的一个问题。对多媒体的使用方面通常存在两种误区，一种认为使用多媒体教学就是把原来应该写在黑板上的内容做成幻灯片形式上课放映出来。这实际上是对传统教学的一种简单复制，这样做不但不能解决传统教学中抽象枯燥的问题，反而容易造成学生注意力不集中、走神等现象，教学效果会更差。另一种认为多媒体课件应该做得越复杂越华丽越好。但是如果课件过于追求华丽的形式，使用过多的动画、图片以及音效等，学生会出现眼花缭乱、注意力分散的现象，往往忽视了教学的核心内容。成功地应用多媒体的教学模式，应该是在传统教学的基础上，根据实际情况适当使用多媒体，将两种教学手段有机结合，使之达到良好的教学效果。另外，除了传统教学内容外，还应该开设一些数学实验课，比如讲授一些函数作图、数值计算、数学模型的求解等内容，使得学生学会运用一些必要现代化的計算机技术和软件包，以此提高它们的实践能力和创新思维。
4.做好课后辅导工作
大学数学与高中数学教学相比，课时明显减少，一节课要讲的内容较多。因此，在课堂上，教师尽量用比较少的时间讲清知识点，选取典型的例子给学生做示范，并让他们自己动手做一些题目，这样才能加深印象。由于数学知识前后联系比较紧密，如果不加以巩固每一个知识点和及时处理存在的问题，那么这些问题将影响后面知识的学习。大学生自由支配时间相对较多，利用课下时间练习巩固也是学习的一个重要环节。教师在每堂课上完之后应该给学生留相关的作业、练习题、思考题等。课后教师应该及时批改作业，对作业中普遍存在的问题做好记录。每周最好能在课余时间安排一次答疑课，对学生的薄弱点及时处理，免得前面的没有掌握牢固对后面知识的学习造成影响。如果没有条件安排答疑课，课堂上应该抽出一定的时间对普遍存在的问题、没有掌握的知识点进一步讲解。辅导这一环节在学生的学习中相当重要，教师绝不能忽视。
三、结束语
上面给出了几种基本的教学方法，除此之外还有一些其它教学方法，在实际教学过程中应该根据学生的实际情况灵活运用各种教学方法，这样才会取得良好教学效果，起到事半功倍的作用。另外，提高数学分析课程的教学质量和效果是一个复杂的系统工程，需要教师、学生、教务部门等各方面相互协调与配合。从教师的角度来说，教师应该本着以学生为本，处处为学生着想原则，努力提高教学质量。
参考文献：
[1]余丽琴，杨宏林.高等数学教学法探讨[J].大学数学，2004，20（4）.
[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，
2001.
[3]刘雪英.《数学分析》课程教学方法改革的思考[J].内蒙古师范大学学报（教育科学版），2013，26（1）.
[4]郭英佳.浅析如何学好《数学分析》[J].吉林省教育学院学报，
2012，28（12）.
关键词：数学分析；教学方法；教学内容
作者简介：孙志玲（1979-），女，内蒙古赤峰人，内蒙古民族大学数学学院，讲师。（内蒙古 通辽 028000）
基金项目：本文系民族高校大学数学课程分级教学和考核的研究与实践（项目编号：MDYB2013033）的研究成果。
中图分类号：G642.4 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2013）32-0108-02
数学分析是数学系学生极其重要的专业基础课，它集中反映了数学科学的学科特点，是学习实分析、复分析、泛函分析、微分方程、拓扑学等许多后续课程的基础，在本科数学学习中占有特殊的地位。数学分析具有高度的抽象性和概括性、逻辑的严密性、结论的确定性以及应用的广泛性等特点。数学分析不仅是进行数学理论研究的重要工具，更是培养学生数学思维和训练基本素质的体操，是学生今后学习数学、攀登数学高峰的重要落脚点。对于刚入校的新生来说，学习数学分析课程都有“难”的感觉。这是由数学分析的学科特点所决定的。因为数学分析的思想方法、理论体系与平常人的日常习惯是大相径庭的，大部分人一开始难以适应。在这个关键阶段，需要教师在教学中的各个环节进行很好的引导，帮助他们找到合适的学习方法，只有这样才能促使他们对大学学习的适应能力和思维能力的提高。因此，加强数学分析课程的教学是必需的。
一、数学分析内容的特点与教学现状
数学分析与初等数学的主要不同之处是运用变化的观点来考虑问题，用极限的语言来描述问题，极限的概念贯穿数学分析内容的始终，从变量的变化过程来寻找规律，是学习数学分析的关键环节。而对初等数学问题的研究是采用静止的方法来讨论的。数学这门学科从形成之日起，它的概念就以精确、抽象、严密的姿态出现的，而数学分析的这个特点更加突出，其概念的抽象性与严密性主要表现在定义的一系列新概念源于实际问题，使实际问题的高度抽象包含更丰富的内涵，更具有一般性。可以说，正确理解和熟练掌握数学分析的概念是学习这门课程的前提和基础，它决定着这门课程学习的成败。同时，在数学分析课程的学习中解题是关键，要学会解题就必须在全面、正确地理解基本概念、基本理论和基本方法的基础上，培养数学的思想方法，运用丰富的技巧，提高分析问题和解决问题的能力。
随着我国高等教育事业的快速发展，高等教育逐步從精英型向大众普及型转化，高等院校入学新生的数学总体水平普遍有较明显的降低。并且随着就业压力的增大，学生进入大学校门，尤其是普通大学的学生，他们没有明确目标，对学习不感兴趣。另一方面，高等院校数学分析课时在数次压缩后一般减少了五分之一左右，学时少、内容多也是教学中诸多矛盾之一。现阶段从教学方法、教学内容、教学过程以及教学效果等几个方面来看，数学分析课程的教学存在着许多与学生的实际水平以及社会发展需要不相适应的现象，教师应积极探索一些适合本学科需要的教学方法和学习方法。
二、数学分析教学法的探究
数学分析课程的特征大体可以概括为内容丰富、概念抽象严密、知识结构复杂庞大、思想方法转换多样以及推理论证难等。而大部分普通院校的学生存在数学基础差、适应能力不强以及学习动力不足的现象，甚至有些学生对数学分析产生畏惧心理。本文从教学角度分析，对教师如何才能有效提高数学分析这门课程的教学质量方面提出几点建议：
1.重视绪论课教学
由于数学分析的理论高度抽象性的特点，大部分学生对数学分析的兴趣不够，而兴趣是学习最好的推动力，为了激发学生的学习兴趣，增强学习的主动性，绪论课的教学起着至关重要的作用。作为一名教师要想上好绪论课，必须要有丰富的知识储备，不仅需要熟悉现代理论，还要了解该课程的历史发展过程以及与其它相关学科的密切联系。在绪论课上，要让学生了解微积分学简史，明确其在整个数学发展中的作用与地位，使学生知道数学分析不是无源之水，它们都来源于解决实际问题的需要。现在很多学生在学习上缺乏坚韧不拔的精神和毅力，针对这种情况，在教学中可以用一些优秀科学家的事迹去激励鞭策他们。例如在学习极限时，柯西极限存在准则是极其重要的内容，而且在后面的学习中还有一些以柯西命名的定理，如果向学生介绍柯西的有关事迹，他们不再觉得柯西只是个代号且这个人遥不可及，这样就能激发他们的兴趣，加深对定理的记忆。首先，通过绪论课，学生可以了解数学分析课程知识体系、研究对象、研究目的和方法以及与初等数学的关系。总体而言，数学分析课程是用极限这个有力的工具研究定义在实数集上的函数，研究的方向包括微分、积分以及级数等，这使得学生对数学分析课程有一个整体的了解。其次，教师讲几个数学分析在其它学科中的应用的典型实例，这样可以使学生意识到学习这门课程的意义与作用，从而激发他们学习的兴趣，端正他们的学习态度。绪论课不仅指开课之初所讲的总的绪论课，也包括讲授每章内容的开始，教师要向学生介绍这一章的重点、难点以及要解决的问题。教师在每章的开始都给出相应的提纲是非常必要的，这样能使学生对本章内容做到心中有数，对学生学好这一章起到了重要作用。
2.注重概念的引入
数学分析课程的抽象性主要体现在基本概念的高度抽象性、严密性。理解基本概念是前提和基础，学生只有把基本概念理解清楚才能进行解题和进一步的研究。教师在教学中引入概念要找到正确的方式，适应学生的思维发展，这样才能使学生很好地接受。实际上，数学分析中的许多重要概念都是从实际问题中抽象出来的，通过对典型例子的分析，可以帮助学生加深理解。例如在引入导数这个概念的时候，通常以瞬时速度和切线的斜率为背景，这两个不同的问题都可以归结为“差商”的极限。实际上导数是关于所有瞬时变化率问题的一个抽象概括，这样就可以让学生明白导数概念中包含的思想，更好地理解导数的概念。有些概念叙述起来特别复杂，学生学完概念做题时还是很茫然，不知从何下笔。如果教师把概念讲清楚，并且能用简洁的语言进行概括，学生掌握起来就能轻松些。比如定积分的概念叙述起来特别繁琐，学生很难理解，但是产生定积分概念的背景来源于求梯形的面积、变力作功等问题，这些问题都归结为特定形式的和式逼近，解决它们的思想方法就是“分割、近似求和、取极限”。再比如第二型曲面积分的计算问题是一个综合的微积分问题，是数学分析教学中的重点也是难点的内容，并且在物理问题中有着广泛的应用。要让学生掌握第二型曲面积分计算，除了理解概念外还要掌握它的计算步骤，可以将它的计算步骤概括为“一代二投三定向”。所谓的“一代”是指根据曲面方程表达式把被积函数中的三元函数化为与积分变量一致的二元函数；“二投”是指将曲面投影到与积分变量一致的坐标平面上，这样积分区域由曲面变为平面；最后将根据曲面的侧对应的法向量与相应坐标平面的法向量的夹角来决定积分前面加正负号，如果小于90°加正号，如果大于90°加负号，等于90°积分值取零，即“三定向”。经过这样的分解步骤，第二型曲面积分的计算转化为了二重积分。数学分析课程的逻辑性很强，概念相关程度很高，尤其是极限概念是微分、积分与级数等概念的基础，如果前面的概念没有掌握好，后面的内容就很难理解清楚。因此，做好概念的教学是非常重要的。 3.改进教学模式与手段
当今社会要求大学生不仅要有一定的知识，还要具备一定的能力，比如适应能力、实践能力、创新能力等。这就要求教师在教学中也要不断创新、与时俱进。在传统的教学模式中，以教师传授知识为主；学生被动接受，很少参与进来。这使得学生对学习缺少主动性，容易对数学分析产生一种神秘感，甚至逐渐失去学习这门课程的兴趣。现代教育思想更多强调学生的主体作用，主张教师加以引导、学生积极参与。要改变课堂讲授过程中灌输式的教学模式，教师需要在备课过程中精心设计问题，引导学生通过观察、思考、分析、归纳总结出结论与方法，提高学生学习的主动性。同时，教师在课堂上对内容的讲授要做到少而精、突出重点、详略得当、合理分配教学时间。另外，教师还可以综合应用讨论式、启发式、对比式、归纳式等各种教学方法，提高学生的学习趣味性。学生通过思考、分析、表达和解决问题过程的训练，可以增强创新意识提高应用数学的能力。
对于数学分析的教学，多年以来高校一直采用“粉笔+板书”的传统讲授法。随着电子信息时代的到来，多媒体在现代教育技术中已经得到了广泛的应用。使用多媒体可以使内容更直观、更具体、更形象。传统课堂教学以文字叙述为主，定义、公式、定理基本上是呆板地出现在黑板上。利用多媒体可以结合空间图形得以直观体现，这样可以从根本上改变作图不规范、色彩单调的弊端，从而更好地吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣。如何正确使用多媒体，处理好传统教学模式与现代教学手段的关系，是今后教学中值得探究的一个问题。对多媒体的使用方面通常存在两种误区，一种认为使用多媒体教学就是把原来应该写在黑板上的内容做成幻灯片形式上课放映出来。这实际上是对传统教学的一种简单复制，这样做不但不能解决传统教学中抽象枯燥的问题，反而容易造成学生注意力不集中、走神等现象，教学效果会更差。另一种认为多媒体课件应该做得越复杂越华丽越好。但是如果课件过于追求华丽的形式，使用过多的动画、图片以及音效等，学生会出现眼花缭乱、注意力分散的现象，往往忽视了教学的核心内容。成功地应用多媒体的教学模式，应该是在传统教学的基础上，根据实际情况适当使用多媒体，将两种教学手段有机结合，使之达到良好的教学效果。另外，除了传统教学内容外，还应该开设一些数学实验课，比如讲授一些函数作图、数值计算、数学模型的求解等内容，使得学生学会运用一些必要现代化的計算机技术和软件包，以此提高它们的实践能力和创新思维。
4.做好课后辅导工作
大学数学与高中数学教学相比，课时明显减少，一节课要讲的内容较多。因此，在课堂上，教师尽量用比较少的时间讲清知识点，选取典型的例子给学生做示范，并让他们自己动手做一些题目，这样才能加深印象。由于数学知识前后联系比较紧密，如果不加以巩固每一个知识点和及时处理存在的问题，那么这些问题将影响后面知识的学习。大学生自由支配时间相对较多，利用课下时间练习巩固也是学习的一个重要环节。教师在每堂课上完之后应该给学生留相关的作业、练习题、思考题等。课后教师应该及时批改作业，对作业中普遍存在的问题做好记录。每周最好能在课余时间安排一次答疑课，对学生的薄弱点及时处理，免得前面的没有掌握牢固对后面知识的学习造成影响。如果没有条件安排答疑课，课堂上应该抽出一定的时间对普遍存在的问题、没有掌握的知识点进一步讲解。辅导这一环节在学生的学习中相当重要，教师绝不能忽视。
三、结束语
上面给出了几种基本的教学方法，除此之外还有一些其它教学方法，在实际教学过程中应该根据学生的实际情况灵活运用各种教学方法，这样才会取得良好教学效果，起到事半功倍的作用。另外，提高数学分析课程的教学质量和效果是一个复杂的系统工程，需要教师、学生、教务部门等各方面相互协调与配合。从教师的角度来说，教师应该本着以学生为本，处处为学生着想原则，努力提高教学质量。
参考文献：
[1]余丽琴，杨宏林.高等数学教学法探讨[J].大学数学，2004，20（4）.
[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，
2001.
[3]刘雪英.《数学分析》课程教学方法改革的思考[J].内蒙古师范大学学报（教育科学版），2013，26（1）.
[4]郭英佳.浅析如何学好《数学分析》[J].吉林省教育学院学报，
2012，28（12）.