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小学里,我们学习了用算术方法解应用题,进入初中之后,我们学会了用方程方法解应用题,现在我们又学习了用函数解答应用题.用算术方法解应用题,关键是列算式;用方程方法解应用题,关键是列方程或方程组;用函数知识解答应用题,关键又是什么呢?关键当然是求出蕴含于实际问题中的函数解析式,然后运用函数性质去解答各种各样的实际问题.
下面,我们通过实例来谈谈怎样运用一次函数来解答应用题.
例1(2006年临沂课改区中考试题)一名考生步行前往考场,10分钟走了总路程的.估计步行不能准时到达,于是他改乘出租车赶往考场.他的行程s与时间t的关系如图所示(假定总路程为1),则他到达考场的时间比一直步行提前了().
(A)20分钟(B)22分钟
(C)24分钟(D)26分钟
分析:本题由图象给出已知条件,是图象信息题.由已知,这位考生步行时,用10分钟走了总路程的,如果他继续步行走完全程,则需要40分钟.10分钟之后,这位考生改乘出租车,要求出他到达考场总共用了多少时间,因此我们必需求出10分钟之后的那段图象的函数解析式.由函数图象提供的信息,有两个点(10,),(12,)在这个图象上,这样,后一段图象的解析式可求.
解:设t≥10时的函数图象解析式为s=kt+b,将两点(10,),(12,)代入得:10k+b=,12k+b=,得k=,b=-1.所以s=t-1.
当s=1时,解t-1=1得t=16(分).
这说明,仅需16分钟,这个考生可到达考场.如果他一直步行需40分钟,这位考生提前40-16=24分钟到达考场.故选(C).
本题也可用算术方法解:
解法2由图象知,这位考生乘出租车之后,仅用2分钟走了全程的,那么出租车走完全程的只要6分钟,到考场实际用16分钟,比一直步行前往提前40-16=24分钟.选(C).
例2(2006年遵义市中考试题)我市某停车场在“五一”节这天停放大小车辆共300辆次.该停车场的收费标准为:大车每辆次5元,小车每辆次3元.解答下列问题:
(1)写出“五一”节这天停车场收费总金额y(元)与大车停放辆次x(辆)之间的函数关系式;
(2)如果“五一”节这天停放大车辆次占停车总辆次的15%~35%.请你估计“五一”节这天停车场收费金额的范围.
分析:(1)因为停车场“五一”这天的“收费总金额=大车停放收费金额+小车停放收费金额”,大车停放为x辆,收费金额为5x元,小车停放为(300-x)辆,收费金额为3(300-x)元,这样,y与x的函数关系式不难求出;(2)当x值为总数300辆次的15%~35%时,x值的范围可求,相应的y值范围也可求.
解:(1)由题意知:y=5x+3(300-x),化简得:y=2x+900(0≤x≤300,x为整数).
(2)300×15%=45,300×35%=105,因此大车停放辆次为45~105辆次.
当x=45时,y=2×45+900=990(元).
当x=105时,y=2×105+900=1110(元).
答:估计“五一”节这天停车场收费金额为990~1110元之间.
例3(2006年山东临沂课改区中考试题)某报亭从报社买来某种日报的价格是每份0.3元,卖出的价格是每份0.5元,卖不出的报纸可以按每份0.1元的价格退还报社.经验表明,在一个月(30天)里,有20天每天只能卖出150份报纸,其余10天每天可以卖出200份.设每天从报社买进报纸的份数必须相同,那么这个报亭每天买进多少份报纸才能使每月所获利润最大?最大利润是多少?
分析:设报亭每天买进x份报纸,把x设定在150≤x≤200(x为整数)的范围,每月可获利润y元.10天中,如果全卖掉可获利(0.5-0.3)x×10元,20天中由题意可获利(0.5-0.3)×150×20元,卖不掉的报纸亏损(0.3-0.1)(x-150)×20元,前两部分获利之和减去亏损的部分即为月利润.
解:设该报亭每天从报社买进报纸x份,所获月利润为y元.由题意得:y
=(0.5-0.3)x×10+(0.5-0.3)×150×20-(0.3-0.1)(x-150)×20,化简得y=-2x+1200(150≤x≤200).
由于k=-2<0,所以y随x的增大而减小.
所以当x=150时,y有最大值,其最大值为y=-2×150+1200=900(元).
答:报亭每天从报社买进150份报纸时,每月获得最大利润,最大利润为900元.
例4(2006年长沙市实验区中考试题)我市某乡A､B两村盛产柑桔,A村有柑桔200吨,B村有柑桔300吨.现将这些柑桔运到C､D两个冷藏仓库,已知C仓库可储存240吨,D仓库可储存260吨;从A村运往C､D两处的费用分别为每吨20元和25元,从B村运往C､D两处的费用分别为每吨15元和18元.设从A村运往C仓库的柑桔重量为x吨,A､B两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为yA元和yB元.
(1)请填写下表,并求出yA､yB与x之间的函数关系;
(2)试讨论A､B两村中,哪个村的运费较少;
(3)考虑到B村的经济承受能力,B村的柑桔运费不得超过4830元.在这种情况下,请问怎样调运,才能使两村运费之和最小?求出这个最小值.
分析:这是一个运输方案的设计问题.当A村运往C仓库的柑桔重量x(吨)变化时,yA､yB也随着变化.第(1)题的表格数据的填写,实际上是数据的梳理和分析过程,为求yA､yB的函数关系式作准备,根据“运费=运往C村的运费+运往D村的运费”即可求yA､yB的函数关系式;第(2)问是yA与yB值的比较,应分别讨论yA>yB､yA=yB､yA 解:(1)A村运往D处(200-x)吨,B村运往C处(240-x)吨,运往D处为:260-(200-x)=60+x吨.
所以yA=20x+25(200-x)=-5x+5000(0≤x≤200);
yB=15(240-x)+18(60+x)=3x+4680 (0≤x≤300).
(2)当yA=yB时,由-5x+5000=3x+4680,得x=40(吨);当yA>yB,由-5x+5000>3x+4680,得x<40,由(1)得0≤x<40;当yA40,由(1)得40 答:当x=40时,A､B两村的运费相等;当0≤x<40时,A村运费较大;当0 (3)当yB≤4830时,解3x+4680≤4830,得x≤50.
设两村运费之和为y(元),由y=yA+yB=-5x+5000+(3x+4860)=-2x+9680,又因为0≤x<50,函数y=-2x+9680随x的增大而减小,所以当x=50时,y有最小值:y=-2×50+9680=9580(元).
答:当A村调往C仓库柑桔为50吨,调往D仓库为150吨,B村调往C仓库为190吨,调往D仓库为110吨时,两村的运费之和最小,最小运费为9580元.
从以上几个比较典型的例子的解答中,我们可归纳出解答函数应用题的基本方法是:
(1)仔细审题.理清实际问题中的数量关系,特别是找已知条件中两个变量之间的变化状况､变化规律,找出联系这两个变量关系的一个相关量,为建立函数关系式作好准备.
(2)设.将实际问题中相互制约的两个变量设为x､ y(当然也可设为其他字母;题意中已设的,这一步可省).
(3)列.列出x､ y之间的关系式,化简,写成用x表示y的式子;必要时,确定自变量x的取值范围(在不少实际问题中,这个范围非常重要).
(4)解.运用函数的性质(或者画出相应的图象),针对实际问题提出的解题目标,作出解答.
(5)答.检验答案是否符合实际,写出完整的答句.
审､设､列､解､答,这几步,不也正是列方程解答应用题的基本步骤和方法吗?上述几步中,分析是基础,列函数关系式往往是解答的关键!
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下面,我们通过实例来谈谈怎样运用一次函数来解答应用题.
例1(2006年临沂课改区中考试题)一名考生步行前往考场,10分钟走了总路程的.估计步行不能准时到达,于是他改乘出租车赶往考场.他的行程s与时间t的关系如图所示(假定总路程为1),则他到达考场的时间比一直步行提前了().
(A)20分钟(B)22分钟
(C)24分钟(D)26分钟
分析:本题由图象给出已知条件,是图象信息题.由已知,这位考生步行时,用10分钟走了总路程的,如果他继续步行走完全程,则需要40分钟.10分钟之后,这位考生改乘出租车,要求出他到达考场总共用了多少时间,因此我们必需求出10分钟之后的那段图象的函数解析式.由函数图象提供的信息,有两个点(10,),(12,)在这个图象上,这样,后一段图象的解析式可求.
解:设t≥10时的函数图象解析式为s=kt+b,将两点(10,),(12,)代入得:10k+b=,12k+b=,得k=,b=-1.所以s=t-1.
当s=1时,解t-1=1得t=16(分).
这说明,仅需16分钟,这个考生可到达考场.如果他一直步行需40分钟,这位考生提前40-16=24分钟到达考场.故选(C).
本题也可用算术方法解:
解法2由图象知,这位考生乘出租车之后,仅用2分钟走了全程的,那么出租车走完全程的只要6分钟,到考场实际用16分钟,比一直步行前往提前40-16=24分钟.选(C).
例2(2006年遵义市中考试题)我市某停车场在“五一”节这天停放大小车辆共300辆次.该停车场的收费标准为:大车每辆次5元,小车每辆次3元.解答下列问题:
(1)写出“五一”节这天停车场收费总金额y(元)与大车停放辆次x(辆)之间的函数关系式;
(2)如果“五一”节这天停放大车辆次占停车总辆次的15%~35%.请你估计“五一”节这天停车场收费金额的范围.
分析:(1)因为停车场“五一”这天的“收费总金额=大车停放收费金额+小车停放收费金额”,大车停放为x辆,收费金额为5x元,小车停放为(300-x)辆,收费金额为3(300-x)元,这样,y与x的函数关系式不难求出;(2)当x值为总数300辆次的15%~35%时,x值的范围可求,相应的y值范围也可求.
解:(1)由题意知:y=5x+3(300-x),化简得:y=2x+900(0≤x≤300,x为整数).
(2)300×15%=45,300×35%=105,因此大车停放辆次为45~105辆次.
当x=45时,y=2×45+900=990(元).
当x=105时,y=2×105+900=1110(元).
答:估计“五一”节这天停车场收费金额为990~1110元之间.
例3(2006年山东临沂课改区中考试题)某报亭从报社买来某种日报的价格是每份0.3元,卖出的价格是每份0.5元,卖不出的报纸可以按每份0.1元的价格退还报社.经验表明,在一个月(30天)里,有20天每天只能卖出150份报纸,其余10天每天可以卖出200份.设每天从报社买进报纸的份数必须相同,那么这个报亭每天买进多少份报纸才能使每月所获利润最大?最大利润是多少?
分析:设报亭每天买进x份报纸,把x设定在150≤x≤200(x为整数)的范围,每月可获利润y元.10天中,如果全卖掉可获利(0.5-0.3)x×10元,20天中由题意可获利(0.5-0.3)×150×20元,卖不掉的报纸亏损(0.3-0.1)(x-150)×20元,前两部分获利之和减去亏损的部分即为月利润.
解:设该报亭每天从报社买进报纸x份,所获月利润为y元.由题意得:y
=(0.5-0.3)x×10+(0.5-0.3)×150×20-(0.3-0.1)(x-150)×20,化简得y=-2x+1200(150≤x≤200).
由于k=-2<0,所以y随x的增大而减小.
所以当x=150时,y有最大值,其最大值为y=-2×150+1200=900(元).
答:报亭每天从报社买进150份报纸时,每月获得最大利润,最大利润为900元.
例4(2006年长沙市实验区中考试题)我市某乡A､B两村盛产柑桔,A村有柑桔200吨,B村有柑桔300吨.现将这些柑桔运到C､D两个冷藏仓库,已知C仓库可储存240吨,D仓库可储存260吨;从A村运往C､D两处的费用分别为每吨20元和25元,从B村运往C､D两处的费用分别为每吨15元和18元.设从A村运往C仓库的柑桔重量为x吨,A､B两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为yA元和yB元.
(1)请填写下表,并求出yA､yB与x之间的函数关系;
(2)试讨论A､B两村中,哪个村的运费较少;
(3)考虑到B村的经济承受能力,B村的柑桔运费不得超过4830元.在这种情况下,请问怎样调运,才能使两村运费之和最小?求出这个最小值.
分析:这是一个运输方案的设计问题.当A村运往C仓库的柑桔重量x(吨)变化时,yA､yB也随着变化.第(1)题的表格数据的填写,实际上是数据的梳理和分析过程,为求yA､yB的函数关系式作准备,根据“运费=运往C村的运费+运往D村的运费”即可求yA､yB的函数关系式;第(2)问是yA与yB值的比较,应分别讨论yA>yB､yA=yB､yA
所以yA=20x+25(200-x)=-5x+5000(0≤x≤200);
yB=15(240-x)+18(60+x)=3x+4680 (0≤x≤300).
(2)当yA=yB时,由-5x+5000=3x+4680,得x=40(吨);当yA>yB,由-5x+5000>3x+4680,得x<40,由(1)得0≤x<40;当yA
设两村运费之和为y(元),由y=yA+yB=-5x+5000+(3x+4860)=-2x+9680,又因为0≤x<50,函数y=-2x+9680随x的增大而减小,所以当x=50时,y有最小值:y=-2×50+9680=9580(元).
答:当A村调往C仓库柑桔为50吨,调往D仓库为150吨,B村调往C仓库为190吨,调往D仓库为110吨时,两村的运费之和最小,最小运费为9580元.
从以上几个比较典型的例子的解答中,我们可归纳出解答函数应用题的基本方法是:
(1)仔细审题.理清实际问题中的数量关系,特别是找已知条件中两个变量之间的变化状况､变化规律,找出联系这两个变量关系的一个相关量,为建立函数关系式作好准备.
(2)设.将实际问题中相互制约的两个变量设为x､ y(当然也可设为其他字母;题意中已设的,这一步可省).
(3)列.列出x､ y之间的关系式,化简,写成用x表示y的式子;必要时,确定自变量x的取值范围(在不少实际问题中,这个范围非常重要).
(4)解.运用函数的性质(或者画出相应的图象),针对实际问题提出的解题目标,作出解答.
(5)答.检验答案是否符合实际,写出完整的答句.
审､设､列､解､答,这几步,不也正是列方程解答应用题的基本步骤和方法吗?上述几步中,分析是基础,列函数关系式往往是解答的关键!
“本文中所涉及到的图表､公式､注解等内容请以PDF格式阅读”