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我们经常听到一种说法，叫“学死了”，或者叫“学活了”。到底怎么样算“学死了”？怎么样又是“学活了”？今天以“植树问题”为例，说明这件事情。
一、“学死”：源于套路的僵硬
在数学学习中，前人概括了许多的公式或数量关系式，因此，数学学习便经常有些“套路”。“套路”上手快，不管为什么，不管来龙去脉，按“套路”走容易做对，容易拿分。老师们在讲这些“套路”时，经常会说一句话：“不要管它为什么，只记住，这样做就对了。”
学生在解决“植树问题”时，通常是按下列流程进行的：
1.仔细读题，确定是植树问题。
2.明确是植树问题三种情况中的哪种情况，写出相应的数量关系式。
3.将数字代入关系式中，列出算式或方程。
4.计算并写好答句。
这个解题流程，即我们所说的“套路”。这个“套路”的核心是三种不同情况的关系式：
两头种：距离÷间距 1=棵数
两头不种：距离÷间距-1=棵数
一头种一头不种：距离÷间距=棵数
按照这个套路，学生面对如下题目时会不知所措：
20米距离，5米种一棵树，共种几棵树？
为什么不知所措呢？因为这道题缺乏一个条件：是两头种？还是两头不种？还是一头种一头不种？
因为题目中没有写明白，所以学生不知道究竟该用哪个关系式，是加1？还是减1？或是不加不减？
试想，在具体生活中，谁会在布置种树任务时加一句：“注意，是两头都种啊！”
是两头种，还是两头不种，属于哪种情况，一定是在具体的环境中的具体应对。对于种树任务而言，大致要求就两个：一是要种多长（或多大）的场地，二是树的间距是多少。
但是，只看这两个条件，学生是无法解决这个问题的。大概这便是一种“学死”的状态吧。
这使我想到了我曾经学习开车时的一段经历。
“倒车入库”是学习开车、领取驾驶证的一项基本内容。
在学习“倒车入库”的时候，教练告诉我：你看车盖上有个白点，是教练特意粘上去的，当这个白点与××对齐时，方向盘就往左打死，然后回正……
我按照这个“法宝”拿到了驾驶证。但是领到驾驶证之后，自己是不敢开车的，生怕出事。为什么？因为离开了考场，车盖上既无白点，车外也无“某物”，方向盘往左打死的时机基本上无从把握。
所谓“学死”，大概面对的是标准的问题，应对的是标准的方法步骤。离开标准的问题，标准的方法步骤便失去了活力。
进一步讨论，现在我在“倒车入库”的时候凭的是什么？还是那套程序吗？显然不是，是自己的一种感觉，我们把这种感觉称为“车感”。这种“车感”肯定是“活”的状态，而每个人的“活”的状态都是从个人的实践中悟出来的。
有人会说，“学死”有什么关系呢？每一个开车的人最后不都“学活”了吗？这么说，听起来似乎十分有道理。事实上，开车这件事情，因为是生活必须，所以不得不开。在不得不开的过程中，每一个开车的人，慢慢地都有自己的琢磨而逐渐“活”过来了，这个“活”过来是由于“生活所迫”。
而植树问题，一旦“学死”了，学生便会因为混乱而害怕这类问题，逃避这类问题，最后逃避数学。这便是知识学习与生存学习的不同。
所以，那样的驾驶证学习，尽管不好但无须改善。而我们的知识学习，一定要考量，如何不把知识给“学死”。
二、“学活”：厘清知识的来龙去脉
为有源头活水来。
“植树问题”的源头活水是什么？这个源头活水是如何流进植树问题的？又是如何带着植树问题流向更宽广的问题解决的？我们用三次“学以致用”厘清这个问题的来龙去脉。
学用之一：平均分，种树种在点上的
1.复习
材料：20米，5米分一段，共分几段？
序一：这个问题怎么解决？
20÷5
序二：为什么用除法解决，而非加法、减法、乘法？
5米一段，5米一段，这是在做一件平均分的事情，所以用除法。
序三：画成线段图是怎样的？
2.新授
（1）种树种在点上的
材料一：20米，5米种一棵树，共种几棵树？
序一：这个问题怎么解决？
学生通常会争论，不知是4还是3或是5，主要是不确定属于三种情况中的哪一种，于是干脆说缺条件，这便是在外面培训班“学死”的结果。
序二：以材料一的线段图为例，讨论如何种树。
种树方案一：
四棵，种树种在中间，间距5米
种树方案二：
五棵，种树种在点上的
种树方案三：
四棵，种树种在点上的
序三：三种种树方案，哪种方案符合20米，5米种一棵？
种树方案一：
结论：种了15米，5米种一棵，不符合要求。
种树方案二：
结论：种了20米，5米种一棵，符合要求。
种树方案三：
结论：种了15米，5米种一棵，不符合要求。
小结：方案二符合要求，一共5棵，种树种在点上的。
（2）平均分的点数比段数多1
材料：①20米，5米分一段，共分几段？
②20米，5米种树一棵，共种几棵？
序一：这两个问题的相同点与不同点分别是什么？
相同：这两个问题本质上都是平均分的问题。
不同：问题①是平均分中的段数，问题②是平均分中的点数。
序二：一段幾个点？两段几个点？三段几个点？ 点数比段数多1（段数 1=点数）
（3）植树问题的解决模型
序一：植树问题为什么用除法解决？
因为植树问题本质上是平均分的问题。
序二：植树问题为什么要在平均分的基础上 1？
因为植树是植在点上的，点数比段数多1。
【分析】至此，学生完成了第一次学以致用的经历。“学”的是二年级的平均分，“用”的是四年级的植树问题。植树问题是个生活问题，透过生活问题的表象，我们发现它本质上就是一个平均分的过程，平均分是数学对这类生活问题的把握—因为是平均分问题，所以用除法。
平均分问题带来两个元素，点与段。二年级的时候，点与段混淆在平均分中，没有区别;到了四年级，因为植树问题，点与段这两个元素从平均分问题中清晰起来，这个清晰的过程也是学生深化理解平均分的过程。
在第一次学以致用的过程中，形成如下板书：
②20米，5米种一棵树，
一、“学死”：源于套路的僵硬
在数学学习中，前人概括了许多的公式或数量关系式，因此，数学学习便经常有些“套路”。“套路”上手快，不管为什么，不管来龙去脉，按“套路”走容易做对，容易拿分。老师们在讲这些“套路”时，经常会说一句话：“不要管它为什么，只记住，这样做就对了。”
学生在解决“植树问题”时，通常是按下列流程进行的：
1.仔细读题，确定是植树问题。
2.明确是植树问题三种情况中的哪种情况，写出相应的数量关系式。
3.将数字代入关系式中，列出算式或方程。
4.计算并写好答句。
这个解题流程，即我们所说的“套路”。这个“套路”的核心是三种不同情况的关系式：
两头种：距离÷间距 1=棵数
两头不种：距离÷间距-1=棵数
一头种一头不种：距离÷间距=棵数
按照这个套路，学生面对如下题目时会不知所措：
20米距离，5米种一棵树，共种几棵树？
为什么不知所措呢？因为这道题缺乏一个条件：是两头种？还是两头不种？还是一头种一头不种？
因为题目中没有写明白，所以学生不知道究竟该用哪个关系式，是加1？还是减1？或是不加不减？
试想，在具体生活中，谁会在布置种树任务时加一句：“注意，是两头都种啊！”
是两头种，还是两头不种，属于哪种情况，一定是在具体的环境中的具体应对。对于种树任务而言，大致要求就两个：一是要种多长（或多大）的场地，二是树的间距是多少。
但是，只看这两个条件，学生是无法解决这个问题的。大概这便是一种“学死”的状态吧。
这使我想到了我曾经学习开车时的一段经历。
“倒车入库”是学习开车、领取驾驶证的一项基本内容。
在学习“倒车入库”的时候，教练告诉我：你看车盖上有个白点，是教练特意粘上去的，当这个白点与××对齐时，方向盘就往左打死，然后回正……
我按照这个“法宝”拿到了驾驶证。但是领到驾驶证之后，自己是不敢开车的，生怕出事。为什么？因为离开了考场，车盖上既无白点，车外也无“某物”，方向盘往左打死的时机基本上无从把握。
所谓“学死”，大概面对的是标准的问题，应对的是标准的方法步骤。离开标准的问题，标准的方法步骤便失去了活力。
进一步讨论，现在我在“倒车入库”的时候凭的是什么？还是那套程序吗？显然不是，是自己的一种感觉，我们把这种感觉称为“车感”。这种“车感”肯定是“活”的状态，而每个人的“活”的状态都是从个人的实践中悟出来的。
有人会说，“学死”有什么关系呢？每一个开车的人最后不都“学活”了吗？这么说，听起来似乎十分有道理。事实上，开车这件事情，因为是生活必须，所以不得不开。在不得不开的过程中，每一个开车的人，慢慢地都有自己的琢磨而逐渐“活”过来了，这个“活”过来是由于“生活所迫”。
而植树问题，一旦“学死”了，学生便会因为混乱而害怕这类问题，逃避这类问题，最后逃避数学。这便是知识学习与生存学习的不同。
所以，那样的驾驶证学习，尽管不好但无须改善。而我们的知识学习，一定要考量，如何不把知识给“学死”。
二、“学活”：厘清知识的来龙去脉
为有源头活水来。
“植树问题”的源头活水是什么？这个源头活水是如何流进植树问题的？又是如何带着植树问题流向更宽广的问题解决的？我们用三次“学以致用”厘清这个问题的来龙去脉。
学用之一：平均分，种树种在点上的
1.复习
材料：20米，5米分一段，共分几段？
序一：这个问题怎么解决？
20÷5
序二：为什么用除法解决，而非加法、减法、乘法？
5米一段，5米一段，这是在做一件平均分的事情，所以用除法。
序三：画成线段图是怎样的？
2.新授
（1）种树种在点上的
材料一：20米，5米种一棵树，共种几棵树？
序一：这个问题怎么解决？
学生通常会争论，不知是4还是3或是5，主要是不确定属于三种情况中的哪一种，于是干脆说缺条件，这便是在外面培训班“学死”的结果。
序二：以材料一的线段图为例，讨论如何种树。
种树方案一：
四棵，种树种在中间，间距5米
种树方案二：
五棵，种树种在点上的
种树方案三：
四棵，种树种在点上的
序三：三种种树方案，哪种方案符合20米，5米种一棵？
种树方案一：
结论：种了15米，5米种一棵，不符合要求。
种树方案二：
结论：种了20米，5米种一棵，符合要求。
种树方案三：
结论：种了15米，5米种一棵，不符合要求。
小结：方案二符合要求，一共5棵，种树种在点上的。
（2）平均分的点数比段数多1
材料：①20米，5米分一段，共分几段？
②20米，5米种树一棵，共种几棵？
序一：这两个问题的相同点与不同点分别是什么？
相同：这两个问题本质上都是平均分的问题。
不同：问题①是平均分中的段数，问题②是平均分中的点数。
序二：一段幾个点？两段几个点？三段几个点？ 点数比段数多1（段数 1=点数）
（3）植树问题的解决模型
序一：植树问题为什么用除法解决？
因为植树问题本质上是平均分的问题。
序二：植树问题为什么要在平均分的基础上 1？
因为植树是植在点上的，点数比段数多1。
【分析】至此，学生完成了第一次学以致用的经历。“学”的是二年级的平均分，“用”的是四年级的植树问题。植树问题是个生活问题，透过生活问题的表象，我们发现它本质上就是一个平均分的过程，平均分是数学对这类生活问题的把握—因为是平均分问题，所以用除法。
平均分问题带来两个元素，点与段。二年级的时候，点与段混淆在平均分中，没有区别;到了四年级，因为植树问题，点与段这两个元素从平均分问题中清晰起来，这个清晰的过程也是学生深化理解平均分的过程。
在第一次学以致用的过程中，形成如下板书：
②20米，5米种一棵树，