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梅森素数的由来
素数也叫质数，是只能被自己和1整除的数，如2、3、5、7、11等。2300年前，古希腊数学家欧几里得证明了素数有无穷多个，并提出少量素数可写成“2p-1”的形式，这里的指数p也是一个素数。由于这种素数具有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家和无数的业余数学爱好者对它进行探究，被人们誉为“数学海洋中的璀璨明珠”。
17世纪法国著名数学家梅森曾对“2p-1”型素数做过较为系统而深入的探究，并作出著名的断言（现称“梅森猜想”）。为了纪念他，数学界就把这种“2p-1”的数称为“梅森数”，并以Mp记之（其中M为梅森姓名的首字母），Mp=2p-1，如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即2p-1型素数）。迄今为止，人类仅发现46个梅森素数。
充满艰辛的探寻历程
1772年，瑞士数学家欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了M31是一个素数，它共有10位数，堪称当时世界上已知的最大素数。
100年后，法国数学家鲁卡斯提出了一个用来判别Mp是否是素数的重要定理——鲁卡斯定理。1883年，数学家波佛辛利用鲁卡斯定理证明了M61也是素数——这是梅森漏掉的。梅森还漏掉另外两个素数：M89和M107，它们分别在1911年与1914年被数学家鲍尔斯发现。
1930年美国数学家雷默改进了卢卡斯的工作，给出了一个针对Mp的新的素性测试方法，即卢卡斯-雷默方法。这一方法迄今仍发挥十分重要的作用。
电子计算机的出现，大大加快了探寻梅森素数的步伐。1952年，数学家鲁滨逊等人将卢卡斯-雷默方法编译成计算机程序，使用SWAC型计算机在短短几小时之内，就找到了5个梅森素数：M521、M607、M1279、M2203和M2281。1963年，美国数学家吉里斯证明M9689和M9941是素数。同年9月，美国伊利诺伊大学数学系师生通过大型计算机找到了第23个梅森素数：M11213。1971年，美国塔可曼使用IBM360-91型计算机找到了新的梅森素数：M19937。1978年，两名年仅18岁的美国高中生诺尔和尼科尔使用CYBER174型计算机找到了第25个梅森素数：M21701。
1979年，美国克雷研究公司的计算机专家史洛温斯基使用CRAY-1型计算机找到了新的梅森素数M44497。之后，他使用经过改进的CRAY-XMP型计算机在1983年至1985年间找到了3个梅森素数：M86243、M132049和M216091。1988年，科尔魁特和韦尔什使用NEC-FX2型超高速并行计算机，捕捉到了一条“漏网之鱼”——M110503。4年之后，1992年，英国原子能技术权威机构——哈威尔实验室的一个研究小组宣布他们找到了新的梅森素数M756839。1994年，史洛温斯基和盖奇为其公司再次夺回发现“已知最大素数”的桂冠——这一素数是M859433。而下一个梅森素数M1257787仍是他们的成果。史洛温斯基由于发现7个梅森素数，而被人们誉为“素数大王”。
网格这一崭新技术的出现使梅森素数的探寻如虎添翼。1996年，美国数学家和程序设计师沃特曼编制了一个梅森素数的计算程序，把它放在因特网上供数学家和业余数学爱好者免费使用，这就是闻名世界的“因特网梅森素数大搜寻”（GIMPS）项目。设在美国的电子新领域基金会（EFF）于1999年向全世界宣布：通过GIMPS项目找到超过1000万位的梅森素数的个人或机构可获得10万美元的奖金。后面的奖金依次为：超过1亿位数，15万美元；超过10亿位数，25万美元。
2008年8月23日，加州大学洛杉矶分校的电脑发现第45个已知梅森素数，243，112，609-1，一个庞大的12978189位数字！由此史密斯获得了EFF颁发的10万美元大奖。仅仅相隔两个星期，2008年9月6日，第46个梅森素数，237，156，667-1，11185272位数，由Hans-Michael Elvenich发现，在Langenfeld，德国科隆附近。这是自Colquitt和Welsh在1988年发现2110，503-1以来首次梅森素数不按顺序被发现。
中国数学家及语言学家周海中对梅森素数研究多年，他运用联系观察法和不完全归纳法，于1992年首先给出了梅森素数分布的准确表达式，为人们探寻这一素数提供了方便。后来这一科研成果被国际上称为“周氏猜测”。著名的《科学美国人》杂志上有一篇文章指出，“这一成果是梅森素数研究中的一项重大突破”。
梅森素数的意义
寻找梅森素数在现代已有了十分丰富的意义。它是测试计算机运算速度及其他功能的有力手段，并且推动了数学皇后——数论的发展，促进了计算数学、程序设计技术的发展。与此同时，它还促进了分布式计算技术的发展，使得用大量个人计算机去做本来要用超级计算机才能完成的项目成为可能。
此外，现在人们已将梅森素数用于现代密码设计领域。其原理是：将一个很大的数分解成若干素数的乘积非常困难，但将几个素数相乘却相对容易得多。在这种密码设计中，需要使用较大的素数，素数越大，密码被破译的可能性就越小。
再者，在某种意义上，对于梅森素数的研究能力已经标志着一个国家的科学技术水平，而不仅仅是代表数学的研究水平，这就是“梅森素数”的国际影响。
素数有无穷多个，这一点早为欧几里得发现并证得。然而，梅森素数是否有无穷多个？这是目前尚未解决的著名数学难题，而揭开这一未解之谜，正是科学追求的目标。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
素数也叫质数，是只能被自己和1整除的数，如2、3、5、7、11等。2300年前，古希腊数学家欧几里得证明了素数有无穷多个，并提出少量素数可写成“2p-1”的形式，这里的指数p也是一个素数。由于这种素数具有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家和无数的业余数学爱好者对它进行探究，被人们誉为“数学海洋中的璀璨明珠”。
17世纪法国著名数学家梅森曾对“2p-1”型素数做过较为系统而深入的探究，并作出著名的断言（现称“梅森猜想”）。为了纪念他，数学界就把这种“2p-1”的数称为“梅森数”，并以Mp记之（其中M为梅森姓名的首字母），Mp=2p-1，如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即2p-1型素数）。迄今为止，人类仅发现46个梅森素数。
充满艰辛的探寻历程
1772年，瑞士数学家欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了M31是一个素数，它共有10位数，堪称当时世界上已知的最大素数。
100年后，法国数学家鲁卡斯提出了一个用来判别Mp是否是素数的重要定理——鲁卡斯定理。1883年，数学家波佛辛利用鲁卡斯定理证明了M61也是素数——这是梅森漏掉的。梅森还漏掉另外两个素数：M89和M107，它们分别在1911年与1914年被数学家鲍尔斯发现。
1930年美国数学家雷默改进了卢卡斯的工作，给出了一个针对Mp的新的素性测试方法，即卢卡斯-雷默方法。这一方法迄今仍发挥十分重要的作用。
电子计算机的出现，大大加快了探寻梅森素数的步伐。1952年，数学家鲁滨逊等人将卢卡斯-雷默方法编译成计算机程序，使用SWAC型计算机在短短几小时之内，就找到了5个梅森素数：M521、M607、M1279、M2203和M2281。1963年，美国数学家吉里斯证明M9689和M9941是素数。同年9月，美国伊利诺伊大学数学系师生通过大型计算机找到了第23个梅森素数：M11213。1971年，美国塔可曼使用IBM360-91型计算机找到了新的梅森素数：M19937。1978年，两名年仅18岁的美国高中生诺尔和尼科尔使用CYBER174型计算机找到了第25个梅森素数：M21701。
1979年，美国克雷研究公司的计算机专家史洛温斯基使用CRAY-1型计算机找到了新的梅森素数M44497。之后，他使用经过改进的CRAY-XMP型计算机在1983年至1985年间找到了3个梅森素数：M86243、M132049和M216091。1988年，科尔魁特和韦尔什使用NEC-FX2型超高速并行计算机，捕捉到了一条“漏网之鱼”——M110503。4年之后，1992年，英国原子能技术权威机构——哈威尔实验室的一个研究小组宣布他们找到了新的梅森素数M756839。1994年，史洛温斯基和盖奇为其公司再次夺回发现“已知最大素数”的桂冠——这一素数是M859433。而下一个梅森素数M1257787仍是他们的成果。史洛温斯基由于发现7个梅森素数，而被人们誉为“素数大王”。
网格这一崭新技术的出现使梅森素数的探寻如虎添翼。1996年，美国数学家和程序设计师沃特曼编制了一个梅森素数的计算程序，把它放在因特网上供数学家和业余数学爱好者免费使用，这就是闻名世界的“因特网梅森素数大搜寻”（GIMPS）项目。设在美国的电子新领域基金会（EFF）于1999年向全世界宣布：通过GIMPS项目找到超过1000万位的梅森素数的个人或机构可获得10万美元的奖金。后面的奖金依次为：超过1亿位数，15万美元；超过10亿位数，25万美元。
2008年8月23日，加州大学洛杉矶分校的电脑发现第45个已知梅森素数，243，112，609-1，一个庞大的12978189位数字！由此史密斯获得了EFF颁发的10万美元大奖。仅仅相隔两个星期，2008年9月6日，第46个梅森素数，237，156，667-1，11185272位数，由Hans-Michael Elvenich发现，在Langenfeld，德国科隆附近。这是自Colquitt和Welsh在1988年发现2110，503-1以来首次梅森素数不按顺序被发现。
中国数学家及语言学家周海中对梅森素数研究多年，他运用联系观察法和不完全归纳法，于1992年首先给出了梅森素数分布的准确表达式，为人们探寻这一素数提供了方便。后来这一科研成果被国际上称为“周氏猜测”。著名的《科学美国人》杂志上有一篇文章指出，“这一成果是梅森素数研究中的一项重大突破”。
梅森素数的意义
寻找梅森素数在现代已有了十分丰富的意义。它是测试计算机运算速度及其他功能的有力手段，并且推动了数学皇后——数论的发展，促进了计算数学、程序设计技术的发展。与此同时，它还促进了分布式计算技术的发展，使得用大量个人计算机去做本来要用超级计算机才能完成的项目成为可能。
此外，现在人们已将梅森素数用于现代密码设计领域。其原理是：将一个很大的数分解成若干素数的乘积非常困难，但将几个素数相乘却相对容易得多。在这种密码设计中，需要使用较大的素数，素数越大，密码被破译的可能性就越小。
再者，在某种意义上，对于梅森素数的研究能力已经标志着一个国家的科学技术水平，而不仅仅是代表数学的研究水平，这就是“梅森素数”的国际影响。
素数有无穷多个，这一点早为欧几里得发现并证得。然而，梅森素数是否有无穷多个？这是目前尚未解决的著名数学难题，而揭开这一未解之谜，正是科学追求的目标。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文