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【摘要】严谨性是数学的独持之美，但具体问题只要稍有疏忽，便会导致教学上的失误.这种“严谨性缺失”的现象在数学参考书上也可发现.譬如在一本有关2016年高考试卷的参考书中，我们就可以从其中一道浙江省理科高考向量题的答案中发现这种“严谨性缺失”的现象.所以如果对参考答案有疑问或者有异议的时候，一定要究其根本，弄清楚问题的来龙去脉，从而增加和完善自身对所涉知识点严谨性的认识.
【关键词】严谨性；参考书；例习题；投影
严谨性是数学的独特之美，表现在数学解题上，就要求在逻辑推理的严密性、解答过程的条理性与完备性等方面，要注意保持严谨性.如果建议对学生加强在这方面的教学，每个数学老师都会赞同.但讲讲容易，做起来却很难，碰到具体问题只要稍有疏忽，便会导致教学上的失误.这种“严谨性缺失”的现象不仅在课堂教学中有，而且在数学参考书上也可找到.譬如，笔者最近发现，这种现象从一个高三同学提出的问题中就可见一斑.以下就是笔者相应的教学处理.
1课堂教学实录
1.1万物始于微而后成——创设情境，引入问题[CX]
最近，有位同学看了一本有关2016年高考试卷的参考书，其中一道浙江省理科高考向量试题引起了他的关注，经仔细探究之后发现其给出的参考答案的解法值得“商榷”，现叙述如下：
鉴于现在的高三教学情况，每一位高三同学都有两本以上的数学参考书，其材料组织水平及内容质量均参差不齐.并且笔者在平常的教学中发现：有相当多的同学迷信于这些参考书，对于其中的解题技巧、记忆“捷径”、答案展示都深信不疑.针对这种情况以及上述这位同学的问题，笔者认为是有目的性地上一节探究课的大好机会，于是就有了下面的教学情节.
师：我知道每位同学都有两本以上的复习参考书，并且每位同学都在充分地利用它们.下面是我们班某位同学的一本参考书上的问题及解答，而且这位同学有几个疑问，我们能不能帮他解惑呢？请大家先独立思考，然后再分组讨论.
笔者把上面的题目、解答以及该同学的三个问题均展示出来.1.2讨类知原寻缘由——回归本源，寻求突破[CX]
不久之后，陆续有同学要求发言进行交流.
生1：第一个问题中，“可令[WTHX]e[WTBX]=（1，0）”，我们小组觉得不是很恰当，因为既然是任意单位向量[WTHX]e[WTBX]，那么就不能给定一个单位向量后，再来解决问题，因为它可以在变化.
生2：我们小组与上面小组的观点有所不同，我们认为事实上，
这三个向量除了模长没有变化，其方向都可以在变化，所以我们可以指定一個向量为定向量，而其它两个向量的方向是变化的.但是我们也不能十分确定上述说法是正确的.
笔者此时观察到绝大多数同学都觉得相对于生1所在小组的观点，生2所在小组的发言好像难以理解.这时笔者进行了点拔.
师：在物理学中，我们学习过“参照物”的概念.即在研究机械运动时，人们事先选定的、假设不动的，作为基准的物体叫做参照物.参照物的选择是任意的，既可以选相对地面静止的物体，也可以选运动的物体作为参照物.可本着便于研究的原则，选取合适的参照物.而参照物只是假定不动而不是真的不动，这便是参照物的假定性.大家能够借鉴这一观点吗？
经过这一类比提醒，很多同学作恍然大悟状.
生3：哦，好象有一种“醍醐灌顶”的感觉.也就是说：虽然[WTHX]a[WTBX]、[WTHX]b[WTBX]与[WTHX]e[WTBX]这三个向量的方向都可以在变化，但是我们可以选取一个“参照物”——[WTHX]e[WTBX]，让它处于一种相对静止的状态，即令[WTHX]e[WTBX]=（1，0）！然后在此基础上考虑问题，就可能变得简便易行了.
下面很多同学点头对此表示赞成.笔者乘势而下要求同学们思考第二个和第三个问题.于是就有了下面的发言.
生4： 我们认为“参照物”取好之后，第二个问题应该就不成为问题了.因为[WTHX]e[WTBX]“静止”的话，[WTHX]a[WTBX]、[WTHX]b[WTBX]这两个向量就处于“相对运动”状态，故“对一切实数α，β恒成立”这一条件就可以得到！
生5：我们小组认为第三个问题中，对α，β是否能取到没有进行检验，这样做显然是不严谨的.我们在运用基本不等式求最值时，反复强调要“一正二定三相等”，对不等式能否取到等号必须进行检验.这里也必须是这样的.
在得到同学们的一致意见之后，笔者要求同学们对问题三中的“不严谨”之处进行纠正.
生6：我们小组得到了以下结论，但不知道是否正确，展示如下，与大家核对一下.
笔者观察到下面很多同学的解法与生6所在小组解法大同小异，同时也非常兴奋，于是趁热打铁，让同学们对上面的讨论结果进行一些必要的总结，教师在旁边进行协助.
生7：我们小组觉得通过上面三个问题的解决说明，一方面，我们很多同学在一些问题的解决策略及方法上视野还比较狭窄，有待于进一步的扩展，而通过学习参考书上的知识是达到这一目的的途径之一；另一方面，通过上面的学习，也说明了我们手中的参考书中的内容和知识可能还存在着一定的缺陷，所以我们在利用它时，也应该注意辨别，尽可能地做到“取其精华，剔除糟粕”，实在不清楚的地方，可以向今天提出问题的同学学习，即向老师或同学求助.
1.3触类旁通凸特色——巩固成果，强化重点[CX]
师：这两点总结的很棒！当然，我们还可以“打破沙锅问到底”，既然刚才绝大多数同学对这本参考书上的解法“不感冒”，认为它不常规，并且它的确也存在着疏漏之处，那么我们讨论一下，有没有比其更加漂亮，或者说更加易于接受的解法？
同学们经过较长时间的独立思考和讨论、相互补充以及教师点拨后得到了下面的两种解法. 解法2如图所示：
师：通过上面的学习过程我们得到了另外两种解法，我们能够清楚地看出它们的特点.相比较而言，单纯从解法的难度上看，解法2显得似乎更加繁琐一点，而解法3看起来具有 “流畅感”，也更衬托出数学的简易之美；但从“亲民”程度上而言，刚才从同学们的讨论中可以看出：解法2显得似乎更加“接地气”，符合大家的认知水平，解法1好像有点与众不同，理解起来有一定难度，而解法3虽说简易，但仿佛显得“高大上”.如果大家有这种感觉，说明我们对此题所涉及到的知识的系统性把握不够，实际上，解法3所运用的也仅仅是三角不等式等知识而已，并没有涉及到很高深的知识点.为了巩固今天的成果，下面的问题就是今天的“每日一题”，明天我们来核对答案.
每日一题：（2016年浙江高考文科试题）已知平面向量
2关于如何处理参考书例习题中的“严谨性”问题
除数学期刊等参考书外，一般数学参考书大都分为四个部分：知识点、范例、练习、方法归纳和小节等，而根据笔者个人的经验，在范例、练习这两个部分的题目及答案的呈现中，其科学性及严谨性更可能发生不足，除此之外，有些問题的答案从教师的眼光看起来似乎“很在理”，但也有可能会超出当前学生的认知水平，即不在他们的“最近发展区”之内，从而导致他们看起来也是属于“严谨性缺失”的范畴，从上面的答案展示中可以看出这一点.总之，以上这些问题都应该引起我们的关注.
在平时的有关参考书使用的教学建议时，笔者往往强调以下观点.对于参考书的范例与练习，学生不应只是看，更重要的是做.在未做题之前先不要看答案，否则会由于先入为主的“惯性”思维，从而易缺乏对解题严谨性的审视.应先拿出草稿纸先做题目.对于会做的题目一定要全身心的投入去做，从头至尾把它完整地解答出来，认为没有任何错误后，打开解答进行核对，错误时能够及时纠错，开阔思路，并且选一种比较好的方法加以吸收；另外，对于有难度的题目，应静心坐下来，绞尽脑汁地去想、去做，只有经苦思冥想了再去看书上的解答过程，方如久旱逢雨，点滴吸收，这样就又增加了新的知识和新的想法.这里需要强调的是，如果对参考答案有疑问或者有异议的时候，决不能裹足不前，轻易放过，一定要究其根本，弄清楚问题的来龙去脉，从而增加和完善自身对所涉知识点严谨性的认识.希望上面的示例能够起到一定的示范作用.
作者简介
黄加卫（1971—），男，浙江省湖州市人，中教高级，硕士学位，研究方向：高中数学教学.近年来在省级期刊杂志上发表论文一百七十余篇.
【关键词】严谨性；参考书；例习题；投影
严谨性是数学的独特之美，表现在数学解题上，就要求在逻辑推理的严密性、解答过程的条理性与完备性等方面，要注意保持严谨性.如果建议对学生加强在这方面的教学，每个数学老师都会赞同.但讲讲容易，做起来却很难，碰到具体问题只要稍有疏忽，便会导致教学上的失误.这种“严谨性缺失”的现象不仅在课堂教学中有，而且在数学参考书上也可找到.譬如，笔者最近发现，这种现象从一个高三同学提出的问题中就可见一斑.以下就是笔者相应的教学处理.
1课堂教学实录
1.1万物始于微而后成——创设情境，引入问题[CX]
最近，有位同学看了一本有关2016年高考试卷的参考书，其中一道浙江省理科高考向量试题引起了他的关注，经仔细探究之后发现其给出的参考答案的解法值得“商榷”，现叙述如下：
鉴于现在的高三教学情况，每一位高三同学都有两本以上的数学参考书，其材料组织水平及内容质量均参差不齐.并且笔者在平常的教学中发现：有相当多的同学迷信于这些参考书，对于其中的解题技巧、记忆“捷径”、答案展示都深信不疑.针对这种情况以及上述这位同学的问题，笔者认为是有目的性地上一节探究课的大好机会，于是就有了下面的教学情节.
师：我知道每位同学都有两本以上的复习参考书，并且每位同学都在充分地利用它们.下面是我们班某位同学的一本参考书上的问题及解答，而且这位同学有几个疑问，我们能不能帮他解惑呢？请大家先独立思考，然后再分组讨论.
笔者把上面的题目、解答以及该同学的三个问题均展示出来.1.2讨类知原寻缘由——回归本源，寻求突破[CX]
不久之后，陆续有同学要求发言进行交流.
生1：第一个问题中，“可令[WTHX]e[WTBX]=（1，0）”，我们小组觉得不是很恰当，因为既然是任意单位向量[WTHX]e[WTBX]，那么就不能给定一个单位向量后，再来解决问题，因为它可以在变化.
生2：我们小组与上面小组的观点有所不同，我们认为事实上，
这三个向量除了模长没有变化，其方向都可以在变化，所以我们可以指定一個向量为定向量，而其它两个向量的方向是变化的.但是我们也不能十分确定上述说法是正确的.
笔者此时观察到绝大多数同学都觉得相对于生1所在小组的观点，生2所在小组的发言好像难以理解.这时笔者进行了点拔.
师：在物理学中，我们学习过“参照物”的概念.即在研究机械运动时，人们事先选定的、假设不动的，作为基准的物体叫做参照物.参照物的选择是任意的，既可以选相对地面静止的物体，也可以选运动的物体作为参照物.可本着便于研究的原则，选取合适的参照物.而参照物只是假定不动而不是真的不动，这便是参照物的假定性.大家能够借鉴这一观点吗？
经过这一类比提醒，很多同学作恍然大悟状.
生3：哦，好象有一种“醍醐灌顶”的感觉.也就是说：虽然[WTHX]a[WTBX]、[WTHX]b[WTBX]与[WTHX]e[WTBX]这三个向量的方向都可以在变化，但是我们可以选取一个“参照物”——[WTHX]e[WTBX]，让它处于一种相对静止的状态，即令[WTHX]e[WTBX]=（1，0）！然后在此基础上考虑问题，就可能变得简便易行了.
下面很多同学点头对此表示赞成.笔者乘势而下要求同学们思考第二个和第三个问题.于是就有了下面的发言.
生4： 我们认为“参照物”取好之后，第二个问题应该就不成为问题了.因为[WTHX]e[WTBX]“静止”的话，[WTHX]a[WTBX]、[WTHX]b[WTBX]这两个向量就处于“相对运动”状态，故“对一切实数α，β恒成立”这一条件就可以得到！
生5：我们小组认为第三个问题中，对α，β是否能取到没有进行检验，这样做显然是不严谨的.我们在运用基本不等式求最值时，反复强调要“一正二定三相等”，对不等式能否取到等号必须进行检验.这里也必须是这样的.
在得到同学们的一致意见之后，笔者要求同学们对问题三中的“不严谨”之处进行纠正.
生6：我们小组得到了以下结论，但不知道是否正确，展示如下，与大家核对一下.
笔者观察到下面很多同学的解法与生6所在小组解法大同小异，同时也非常兴奋，于是趁热打铁，让同学们对上面的讨论结果进行一些必要的总结，教师在旁边进行协助.
生7：我们小组觉得通过上面三个问题的解决说明，一方面，我们很多同学在一些问题的解决策略及方法上视野还比较狭窄，有待于进一步的扩展，而通过学习参考书上的知识是达到这一目的的途径之一；另一方面，通过上面的学习，也说明了我们手中的参考书中的内容和知识可能还存在着一定的缺陷，所以我们在利用它时，也应该注意辨别，尽可能地做到“取其精华，剔除糟粕”，实在不清楚的地方，可以向今天提出问题的同学学习，即向老师或同学求助.
1.3触类旁通凸特色——巩固成果，强化重点[CX]
师：这两点总结的很棒！当然，我们还可以“打破沙锅问到底”，既然刚才绝大多数同学对这本参考书上的解法“不感冒”，认为它不常规，并且它的确也存在着疏漏之处，那么我们讨论一下，有没有比其更加漂亮，或者说更加易于接受的解法？
同学们经过较长时间的独立思考和讨论、相互补充以及教师点拨后得到了下面的两种解法. 解法2如图所示：
师：通过上面的学习过程我们得到了另外两种解法，我们能够清楚地看出它们的特点.相比较而言，单纯从解法的难度上看，解法2显得似乎更加繁琐一点，而解法3看起来具有 “流畅感”，也更衬托出数学的简易之美；但从“亲民”程度上而言，刚才从同学们的讨论中可以看出：解法2显得似乎更加“接地气”，符合大家的认知水平，解法1好像有点与众不同，理解起来有一定难度，而解法3虽说简易，但仿佛显得“高大上”.如果大家有这种感觉，说明我们对此题所涉及到的知识的系统性把握不够，实际上，解法3所运用的也仅仅是三角不等式等知识而已，并没有涉及到很高深的知识点.为了巩固今天的成果，下面的问题就是今天的“每日一题”，明天我们来核对答案.
每日一题：（2016年浙江高考文科试题）已知平面向量
2关于如何处理参考书例习题中的“严谨性”问题
除数学期刊等参考书外，一般数学参考书大都分为四个部分：知识点、范例、练习、方法归纳和小节等，而根据笔者个人的经验，在范例、练习这两个部分的题目及答案的呈现中，其科学性及严谨性更可能发生不足，除此之外，有些問题的答案从教师的眼光看起来似乎“很在理”，但也有可能会超出当前学生的认知水平，即不在他们的“最近发展区”之内，从而导致他们看起来也是属于“严谨性缺失”的范畴，从上面的答案展示中可以看出这一点.总之，以上这些问题都应该引起我们的关注.
在平时的有关参考书使用的教学建议时，笔者往往强调以下观点.对于参考书的范例与练习，学生不应只是看，更重要的是做.在未做题之前先不要看答案，否则会由于先入为主的“惯性”思维，从而易缺乏对解题严谨性的审视.应先拿出草稿纸先做题目.对于会做的题目一定要全身心的投入去做，从头至尾把它完整地解答出来，认为没有任何错误后，打开解答进行核对，错误时能够及时纠错，开阔思路，并且选一种比较好的方法加以吸收；另外，对于有难度的题目，应静心坐下来，绞尽脑汁地去想、去做，只有经苦思冥想了再去看书上的解答过程，方如久旱逢雨，点滴吸收，这样就又增加了新的知识和新的想法.这里需要强调的是，如果对参考答案有疑问或者有异议的时候，决不能裹足不前，轻易放过，一定要究其根本，弄清楚问题的来龙去脉，从而增加和完善自身对所涉知识点严谨性的认识.希望上面的示例能够起到一定的示范作用.
作者简介
黄加卫（1971—），男，浙江省湖州市人，中教高级，硕士学位，研究方向：高中数学教学.近年来在省级期刊杂志上发表论文一百七十余篇.