【摘 要】
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近日，笔者发现了关于三角形不等式的如下一个基础性结论： 定理 在△ABC中，a，b，c为其三边长，p为其半周长，R，r分别为其外接圆和内切圆半径，则有 p4-2（2R2 10Rr-r2）p2 （4R r）3r≤0.① 证明 设△ABC的面积为S，若用Π表示循环积，则由正弦定理及A B C=π知 p=12a b c=RsinA sinB sinC=RsinA 2sinB C2cosB-C2
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近日，笔者发现了关于三角形不等式的如下一个基础性结论：
定理 在△ABC中，a，b，c为其三边长，p为其半周长，R，r分别为其外接圆和内切圆半径，则有
p4-2（2R2 10Rr-r2）p2 （4R r）3r≤0.①
证明 设△ABC的面积为S，若用Π表示循环积，则由正弦定理及A B C=π知
p=12a b c=RsinA sinB sinC=RsinA 2sinB C2cosB-C2
=R2sinA2cosA2 2sinπ-A2cosB-C2=2RcosA2sinA2 cosB-C2
=2RcosA2cosB C2 cosB-C2=4RcosA2cosB2cosC2=4RΠcosA2.
由S=12bcsinA=rp及二倍角公式、正弦定理知
r=Sp=12bcsinA4RΠcosA2=2R2sinAsinBsinC4RΠcosA2=4RΠsinA2.
因此不等式①等价于
4Πcos4A2-Πcos2A2-20ΠsinA2cos2A2 8Πsin2A2cos2A2 4ΠsinA2
12Πsin2A2 12Πsin3A2 4Πsin4A2≤0.②
由对称性不妨设A是△ABC的最小内角，那么有0
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