【摘要】矩阵的初等变换在代数学中具有重要的地位，本文给出了运用初等变换求解方程组的基础解系、特征值、多项式的最大公因式和Jordan标准形相似变换矩阵等方法，这些方法具有直观、简捷、有效等特点.
　　【关键词】初等变换;基础解系;最大公因式;相似变换矩阵
　　【基金项目】2019江苏省高校教学研究一般项目（2019SJA1997）
　　一、引 言
　　矩阵的初等变换包括矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换，矩阵的初等行（列）变换有三种形式[1]：（1）交换两行（列）;（2）任一行（列）的k倍（k≠0）;（3）任一行（列）的k倍加到另一行（列）.在代数学中，矩阵的初等变换有着非常重要且广泛的应用，它常被应用于行列式的计算、方程组以及矩阵方程的求解、向量线性关系的判定、求矩阵的秩以及逆、λ-矩阵的不变因子和矩阵的Jordan标准形等.张家宝给出了初等变换求逆的几种方法[2];石擎天等研究了初等变换求解方程组的特殊方法[3];于莉琦等介绍了初等变换在行列式、矩阵和方程组中的应用[4].本文给出了矩阵的初等变换求解方程组的基础解系、最大公因式和Jordan标准形的相似变换矩阵等方法及应用.
　　二、预备知识
　　【参考文献】
　　[1]王萼芳，石生明.高等代数（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2019：5.
　　[2]张家宝.浅谈求逆矩阵的几种方法[J].数学学习与研究，2020（10）：4-5.
　　[3]石擎天，黄坤阳.线性方程组求解及应用[J].教育教学论坛，2020（12）：325-327.
　　[4]于莉琦，高恒嵩.初等变换概述[J].数学学习与研究，2019（06）：116.
　　[5]徐仲，陆全，等.高等代数考研教案（第2版）[M].西安：西北工业大学出版社，2009.
　　[6]卢博，田双亮，等.高等代数思想方法及应用[M].北京：科學出版社，2017.
　　[7]朱广化.关于《相似变换矩阵的简单求法》的改进[J].数学通报，1994（11）：44-46.