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张同语新课标教材数学4北师大版98页有这样一道题，如图所示，已知Ax1，y1，B（x2，y2），试求以AB为直径的圆的方程.
利用平面向量数量积知识容易求得以AB为直径的圆的方程为x-x1x-x2+y-y1y-y2=0（1）.这道题给出了圆的方程的又一种形式，一般称之为圆的两点式方程，该方程形式简明，富有美感，容易记忆.本文从以下几个方面挖掘其潜在的应用价值.
一、方程的直接应用
例1已知抛物线y=x2-1与x轴交于A（-1，0）和B1，0，在此抛物线上取点P异于A点和Q，使得AP垂直PQ，试求点Q的横坐标的取值范围.
解析：设Px1，x21-1，Q（x2，x22-1），则以AQ为直径的圆的方程为：x+1x-x2+y[y-（x22-1）]=0，因为AP垂直PQ，点P在该圆上，所以x1+1x1-x2+x21-1x21-1-x22+1=0，因为x1+1≠0，x1-x2≠0.所以x21+（x2-1）x1-x2+1=0.那么由Δ=（x2-1）2-4（1-x2）2≥0，解得x2≥1或x2≤-3.所以点Q横坐标的取值范围为：（-∞，3]∪[1，+∞）.
例2 2013年蚌埠市第二次质量检查理科已知椭圆x2a2+y2b2=1的两个焦点为F1（-c，0），F2（c，0），其中a，b，c都是正数，长轴长是4，原点到过点A0，-b和Ba，0两点的直线的距离为2217.
1 求椭圆的方程.
2 点M，N是定直线x=4上的两个动点，F1M·F2M=0，证明以MN为直径的圆过定点，并求此定点的坐标.
解析：1方程为：x24+y23=1.解答略.
2令M（4，y1），N（4，y2），由已知F1M·F2M=0y1y2=-15.以MN为直径的圆的方程为：（x-4）2+（y-y1）（y-y2）=0，化简得：x2+y2-（y1+y2）y-8x+1=0.令y=0x2-8x+1=0x=4±15.所以过定点（4±15，0）.
二、结论的变式应用
将方程1变形为x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y+x1x2+y1y2=0，在该变式中含有x1+x2，y1+y2，x1x2，y1y2由此可联想将之运用于解决直线与圆锥曲线位置关系的问题上面.
例32013年皖北省示范高中联考理科已知椭圆x29+y24=1，过点P（0，3）作直线L顺次交椭圆于A，B点，以线段AB为直径作圆，则此圆是否过坐标原点，若能，求出以AB为直径的圆过原点时直线L的方程.若不能，请说明理由.
解析：易知直线L垂直于x轴时不合要求，故设直线L的斜率为k，则L方程为：y=kx+3，联立x29+y24=1.y=kx+3，得（9k2+4）x2+54kx+45=0.由Δ>0k2>59.设A（x1，y1），B（x2，y2），则以AB为直径的圆的方程为：（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0.若过原点则（0-x1）（0-x2）+（0-y1）（0-y2）=0，即x1x2+y1y2=0.又因为y1=kx1+3，y2=kx2+3.所以x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=（1+k2）·459k2+4+3k（-54k9k2+4）+9=0k=±32，且k2>59.故以AB为直径的圆能过原点，此时直线方程为：3x-2y+6=0或3x+2y-6=0
三、结论的形成应用
由直线L与二次曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）.联立直线L与二次曲线C的方程，消去y可得：x2-（x1+x2）x+x1x2=0，消去x可得y2-（y1+y2）y+y1y2=0，两式相加便可得以线段AB为直径的圆的方程：x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y+x1x2+y1y2=0.
例42013年皖北省示范高中联考文科已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M1，33，直线L：y=x+1与该椭圆交于点P和点Q，且OP垂直OQ，求椭圆的方程.
解析：由条件可设椭圆方程为：Ax2+By2=1（A>0，B>0）.联立直线方程和椭圆方程消去y得：（A+B）x2+2Bx+B-1=01.消去x得：（A+B）y2-2Ay+A-1=02.则1+（2）得以线段PQ为直径的圆的方程：（A+B）x2+（A+B）y2+2Bx-2Ay+A+B-2=0.因为OP垂直于OQ，所以原点在圆上，代入可得：A+B-2=03，又点M1，33在圆上，代入可得：A+13B=14.联立3和4解得：A=12，B=32，所以椭圆的方程为：3x2+y2=2.
[安徽省五河一中233300]
利用平面向量数量积知识容易求得以AB为直径的圆的方程为x-x1x-x2+y-y1y-y2=0（1）.这道题给出了圆的方程的又一种形式，一般称之为圆的两点式方程，该方程形式简明，富有美感，容易记忆.本文从以下几个方面挖掘其潜在的应用价值.
一、方程的直接应用
例1已知抛物线y=x2-1与x轴交于A（-1，0）和B1，0，在此抛物线上取点P异于A点和Q，使得AP垂直PQ，试求点Q的横坐标的取值范围.
解析：设Px1，x21-1，Q（x2，x22-1），则以AQ为直径的圆的方程为：x+1x-x2+y[y-（x22-1）]=0，因为AP垂直PQ，点P在该圆上，所以x1+1x1-x2+x21-1x21-1-x22+1=0，因为x1+1≠0，x1-x2≠0.所以x21+（x2-1）x1-x2+1=0.那么由Δ=（x2-1）2-4（1-x2）2≥0，解得x2≥1或x2≤-3.所以点Q横坐标的取值范围为：（-∞，3]∪[1，+∞）.
例2 2013年蚌埠市第二次质量检查理科已知椭圆x2a2+y2b2=1的两个焦点为F1（-c，0），F2（c，0），其中a，b，c都是正数，长轴长是4，原点到过点A0，-b和Ba，0两点的直线的距离为2217.
1 求椭圆的方程.
2 点M，N是定直线x=4上的两个动点，F1M·F2M=0，证明以MN为直径的圆过定点，并求此定点的坐标.
解析：1方程为：x24+y23=1.解答略.
2令M（4，y1），N（4，y2），由已知F1M·F2M=0y1y2=-15.以MN为直径的圆的方程为：（x-4）2+（y-y1）（y-y2）=0，化简得：x2+y2-（y1+y2）y-8x+1=0.令y=0x2-8x+1=0x=4±15.所以过定点（4±15，0）.
二、结论的变式应用
将方程1变形为x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y+x1x2+y1y2=0，在该变式中含有x1+x2，y1+y2，x1x2，y1y2由此可联想将之运用于解决直线与圆锥曲线位置关系的问题上面.
例32013年皖北省示范高中联考理科已知椭圆x29+y24=1，过点P（0，3）作直线L顺次交椭圆于A，B点，以线段AB为直径作圆，则此圆是否过坐标原点，若能，求出以AB为直径的圆过原点时直线L的方程.若不能，请说明理由.
解析：易知直线L垂直于x轴时不合要求，故设直线L的斜率为k，则L方程为：y=kx+3，联立x29+y24=1.y=kx+3，得（9k2+4）x2+54kx+45=0.由Δ>0k2>59.设A（x1，y1），B（x2，y2），则以AB为直径的圆的方程为：（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0.若过原点则（0-x1）（0-x2）+（0-y1）（0-y2）=0，即x1x2+y1y2=0.又因为y1=kx1+3，y2=kx2+3.所以x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=（1+k2）·459k2+4+3k（-54k9k2+4）+9=0k=±32，且k2>59.故以AB为直径的圆能过原点，此时直线方程为：3x-2y+6=0或3x+2y-6=0
三、结论的形成应用
由直线L与二次曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）.联立直线L与二次曲线C的方程，消去y可得：x2-（x1+x2）x+x1x2=0，消去x可得y2-（y1+y2）y+y1y2=0，两式相加便可得以线段AB为直径的圆的方程：x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y+x1x2+y1y2=0.
例42013年皖北省示范高中联考文科已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M1，33，直线L：y=x+1与该椭圆交于点P和点Q，且OP垂直OQ，求椭圆的方程.
解析：由条件可设椭圆方程为：Ax2+By2=1（A>0，B>0）.联立直线方程和椭圆方程消去y得：（A+B）x2+2Bx+B-1=01.消去x得：（A+B）y2-2Ay+A-1=02.则1+（2）得以线段PQ为直径的圆的方程：（A+B）x2+（A+B）y2+2Bx-2Ay+A+B-2=0.因为OP垂直于OQ，所以原点在圆上，代入可得：A+B-2=03，又点M1，33在圆上，代入可得：A+13B=14.联立3和4解得：A=12，B=32，所以椭圆的方程为：3x2+y2=2.
[安徽省五河一中233300]