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中图分类号： G623.5
【案例背景与理念】
有这样一句话：“教育的真正目的是让人不断提出问题和思考问题.”正如玻利亚说的：“学习任何东西的最佳途径是靠自己去发现它.”一切思维都是从问题探究开始的，一切创造也是始于问题探究.这也是新课程标准所倡导的学生的学习方式的改进，然而有时我们为培养学生的探究能力，特意花费很多时间组织一些探究课，往往出现“满堂尽响探究声”，探于形式，究于表象，教学效果并不理想.笔者以为，这是对数学探究的本质理解不深，存在着错误的解读.其实，教材是实施数学探究的鲜活资源，可以对所学内容的本质、变式及其拓展形式开展探究，以达到透彻理解所学知识、优化学生思维品质、灵活运用知识的目的；还能使学生感到探究并不遥远，就在我们身边触手可及.因此，要真正改变学生的学习方式，数学探究活动应植根于日常教学活动之中，在日常教学活动中不失时机地体现.
【案例描述】
课题：图形面积二等分探究课——源于教材《中心对称》（八年级上册第五章）
师：同学们，现在我们学习了中心对称图形，刚刚学习的平行四边形，还有正方形、矩形、圆、线段等等.比如圆——我们知道圆具有中心对称性，知道经过圆心（即对称中心）的任意一条直线都把圆二等分.现在先让我们检验一下简单的基本图形（图1）.
从而我们可以得出这样的结论1：过封闭的中心对称图形的对称中心作一条直线都能将这个中心对称图形的面积平分.
[ 对于这样的面积二等分探究课，如何把握？如何让学生自然的进入探究环境？笔者尝试从“低起点”引入，以课标教材中的较容易接受的知识引入作为起点，以所教学内容的最基本、最本质的东西作为教学的起点；以所教学内容的解题方法作为教学起点.]
探究1：请同学们把基本图形进行“组合式”图形，试画出一条直线，把你的“组合式”图形的面积二等分.
生1：把平行四边形和圆的组合图形二等分；（如图2）
生2：把正方形和矩形的组合图形二等分.（如图3）
生3：把正方形和平行四边形的组合图形二等分.（如图4）
结论2：如果过两个中心对称图形的两个对称中心作一条直线，那么这条直线同时将这两个中心对称图形的面积平分.
[ 进行探究式教学，数学问题的提出必须是开放性的.因此，我把探究1设计为请同学们把基本图形进行“组合式”图形的开放设计题，充分放手，让学生自主探索，通过同伴之间互相竞争，激活思维，培养不同层次学生的合作交流意识，达到共同进步的目的.
探究问题对学生来说，必须是合适的.探究层次必须具有能被学生“跳一跳，摘得到”的程度，最能激起学生的思维，形成所谓“愤悱”的状态.一石激起千层浪，问题一提出，立即引起了同学们积极的操作，设计出自己独到的图形.]
探究2：利用基本图形解决复杂图形二等分问题.
问题1：如图5，试画出一条直线，把这五个等圆的组图图形面积二等分.
生4：如图6，将图形分为两个部分：左侧的1个圆和右侧的4个圆.特别右侧的4个圆的圆心构成了正方形，这样，这个组图可以理解为圆与正方形的基本图形的组合，即将图形分成两个中心对称图形，分别取它们的对称中心A和B，作直线AB即为所求.因此，此组图还存在多条面积等分线.
生5：如图7，在右侧补画一个圆，使它与原5个圆组成一个中心对称图形，过外侧两个圆的圆心B、C作直线即为所求.
问题2：如图8，试画出一条直线，把一个矩形切去一个小矩形后所得到的图形二等分.
生6：很容易把这个图形“分割”成两个矩形组合或“补”成两个两个矩形组合，过它们的对称中心作直线即可，如图9，10.
结论3：对于一些平分复杂图形面积问题，则可通过“分割”、“补形”等方法，将其转化为简单的基本图形组合体来解决.
[ 我们最应该关注的是教室里实实在在发生的学生的学习活动，我们最终所追求的也正是学生学习活动的质量.基于探究2，可以检验学生能否学以至用.同时进行探究性教学，必须给学生创造一个宽松和谐的教学民主氛围.探究式教学必然要打破传统的以教师为中心的“教师讲学生听” 的局面.学生充分运用学具，可以激发学生的思维活动，提高动手操作的数学实践能力，产生学习的内驱力.]
探究3：其他不能转化为基本图形组合的图形二等分问题
问题3： 如图11，把任意四边形二等分.
生8：如图12，连接AC，过D作DE∥AC交BC延长线于E，然后连接AE.取BE中点F，连接AF即为所求的直线.
结论4：运用三角形同底等高面积相等的知识，在分割多边形面积二等分时，是一种较为简单又精确的方法.
[ 知识的拓展，让学有余力的学生更能发挥他们的思维能力，提高思维品质，优化解题思路.引导学生不满足于一得之见，探究最佳思路.让我们能够在探索的过程中感受到数学的魅力所在.]
【案例反思】
一、探究性学习的前提是“自主学习”
学生是学习的主体，还学生自主权，信任学生，赏识学生，让学生在自主探究中培养创新品质，这是新课程下教师必须树立的学生观。因此，数学课堂教学中，要把探索求知的权利真正还给学生，让学生有权利选择学习。教师了解学生的个体差异，承认差异，创设能引导学生主动参与教学环境，满足不同学生的学习需求，把自主学习的能力落到实处。对学习有困难的学生，教师应鼓励学生根据自己的实际主动参与，尝试着用自己的方式去解决问题，发表看法，对出现的错误引导他们分析原因，鼓励他们自己改正，由此增强自主学习的信心；对学有余力并对数学有浓厚兴趣的学生，教师要为他们提供足够的材料，发展他们的数学才能，促进主动发展。
二、探究性学习的有效途径是“数学生活化”
“回归生活，体现生活性是新课程课堂教学的基本特征”。数学课堂教学要力求以学生熟悉的生活经验作为实例，把生活经验数学化，把数学问题生活化，通过观察、操作、思考、交流等一系列活动，使学生认识到数学与现实世界的联系，引导学生关注现实社会现象，关注社会热点问题，让学生把他们在课外获取的信息带到课堂，解决书本问题，把书本上获取的知识用于解决实际生活中的问题，理解数学知识的意义，认识数学的使用价值。
三、探究性学习的动力是“鼓励性评价”与“开放性结论”
“鼓励性评价”是学生探究性学习的外在动力，所以教师在课堂上的教学策略、教学语言等很大程度上影响着学生的“外在动力”。而追求“开放性结论”则是学生探究性学习的内在动力，所以教师应精心创设一定的数学问题，让学生在解决问题中实现探究性学习。
总之，培养学生探究性学习必须遵循的原则是：
“让学生自己有空间往前走；
让学生自己有条件去锻炼；
让学生自己有时间去安排；
让学生自己有问题去找答案；
让学生自己有机遇去抓住；
让学生自己有冲突去讨论；
让学生自己有权利去选择；
让学生自己有题目去创造。”
【案例背景与理念】
有这样一句话：“教育的真正目的是让人不断提出问题和思考问题.”正如玻利亚说的：“学习任何东西的最佳途径是靠自己去发现它.”一切思维都是从问题探究开始的，一切创造也是始于问题探究.这也是新课程标准所倡导的学生的学习方式的改进，然而有时我们为培养学生的探究能力，特意花费很多时间组织一些探究课，往往出现“满堂尽响探究声”，探于形式，究于表象，教学效果并不理想.笔者以为，这是对数学探究的本质理解不深，存在着错误的解读.其实，教材是实施数学探究的鲜活资源，可以对所学内容的本质、变式及其拓展形式开展探究，以达到透彻理解所学知识、优化学生思维品质、灵活运用知识的目的；还能使学生感到探究并不遥远，就在我们身边触手可及.因此，要真正改变学生的学习方式，数学探究活动应植根于日常教学活动之中，在日常教学活动中不失时机地体现.
【案例描述】
课题：图形面积二等分探究课——源于教材《中心对称》（八年级上册第五章）
师：同学们，现在我们学习了中心对称图形，刚刚学习的平行四边形，还有正方形、矩形、圆、线段等等.比如圆——我们知道圆具有中心对称性，知道经过圆心（即对称中心）的任意一条直线都把圆二等分.现在先让我们检验一下简单的基本图形（图1）.
从而我们可以得出这样的结论1：过封闭的中心对称图形的对称中心作一条直线都能将这个中心对称图形的面积平分.
[ 对于这样的面积二等分探究课，如何把握？如何让学生自然的进入探究环境？笔者尝试从“低起点”引入，以课标教材中的较容易接受的知识引入作为起点，以所教学内容的最基本、最本质的东西作为教学的起点；以所教学内容的解题方法作为教学起点.]
探究1：请同学们把基本图形进行“组合式”图形，试画出一条直线，把你的“组合式”图形的面积二等分.
生1：把平行四边形和圆的组合图形二等分；（如图2）
生2：把正方形和矩形的组合图形二等分.（如图3）
生3：把正方形和平行四边形的组合图形二等分.（如图4）
结论2：如果过两个中心对称图形的两个对称中心作一条直线，那么这条直线同时将这两个中心对称图形的面积平分.
[ 进行探究式教学，数学问题的提出必须是开放性的.因此，我把探究1设计为请同学们把基本图形进行“组合式”图形的开放设计题，充分放手，让学生自主探索，通过同伴之间互相竞争，激活思维，培养不同层次学生的合作交流意识，达到共同进步的目的.
探究问题对学生来说，必须是合适的.探究层次必须具有能被学生“跳一跳，摘得到”的程度，最能激起学生的思维，形成所谓“愤悱”的状态.一石激起千层浪，问题一提出，立即引起了同学们积极的操作，设计出自己独到的图形.]
探究2：利用基本图形解决复杂图形二等分问题.
问题1：如图5，试画出一条直线，把这五个等圆的组图图形面积二等分.
生4：如图6，将图形分为两个部分：左侧的1个圆和右侧的4个圆.特别右侧的4个圆的圆心构成了正方形，这样，这个组图可以理解为圆与正方形的基本图形的组合，即将图形分成两个中心对称图形，分别取它们的对称中心A和B，作直线AB即为所求.因此，此组图还存在多条面积等分线.
生5：如图7，在右侧补画一个圆，使它与原5个圆组成一个中心对称图形，过外侧两个圆的圆心B、C作直线即为所求.
问题2：如图8，试画出一条直线，把一个矩形切去一个小矩形后所得到的图形二等分.
生6：很容易把这个图形“分割”成两个矩形组合或“补”成两个两个矩形组合，过它们的对称中心作直线即可，如图9，10.
结论3：对于一些平分复杂图形面积问题，则可通过“分割”、“补形”等方法，将其转化为简单的基本图形组合体来解决.
[ 我们最应该关注的是教室里实实在在发生的学生的学习活动，我们最终所追求的也正是学生学习活动的质量.基于探究2，可以检验学生能否学以至用.同时进行探究性教学，必须给学生创造一个宽松和谐的教学民主氛围.探究式教学必然要打破传统的以教师为中心的“教师讲学生听” 的局面.学生充分运用学具，可以激发学生的思维活动，提高动手操作的数学实践能力，产生学习的内驱力.]
探究3：其他不能转化为基本图形组合的图形二等分问题
问题3： 如图11，把任意四边形二等分.
生8：如图12，连接AC，过D作DE∥AC交BC延长线于E，然后连接AE.取BE中点F，连接AF即为所求的直线.
结论4：运用三角形同底等高面积相等的知识，在分割多边形面积二等分时，是一种较为简单又精确的方法.
[ 知识的拓展，让学有余力的学生更能发挥他们的思维能力，提高思维品质，优化解题思路.引导学生不满足于一得之见，探究最佳思路.让我们能够在探索的过程中感受到数学的魅力所在.]
【案例反思】
一、探究性学习的前提是“自主学习”
学生是学习的主体，还学生自主权，信任学生，赏识学生，让学生在自主探究中培养创新品质，这是新课程下教师必须树立的学生观。因此，数学课堂教学中，要把探索求知的权利真正还给学生，让学生有权利选择学习。教师了解学生的个体差异，承认差异，创设能引导学生主动参与教学环境，满足不同学生的学习需求，把自主学习的能力落到实处。对学习有困难的学生，教师应鼓励学生根据自己的实际主动参与，尝试着用自己的方式去解决问题，发表看法，对出现的错误引导他们分析原因，鼓励他们自己改正，由此增强自主学习的信心；对学有余力并对数学有浓厚兴趣的学生，教师要为他们提供足够的材料，发展他们的数学才能，促进主动发展。
二、探究性学习的有效途径是“数学生活化”
“回归生活，体现生活性是新课程课堂教学的基本特征”。数学课堂教学要力求以学生熟悉的生活经验作为实例，把生活经验数学化，把数学问题生活化，通过观察、操作、思考、交流等一系列活动，使学生认识到数学与现实世界的联系，引导学生关注现实社会现象，关注社会热点问题，让学生把他们在课外获取的信息带到课堂，解决书本问题，把书本上获取的知识用于解决实际生活中的问题，理解数学知识的意义，认识数学的使用价值。
三、探究性学习的动力是“鼓励性评价”与“开放性结论”
“鼓励性评价”是学生探究性学习的外在动力，所以教师在课堂上的教学策略、教学语言等很大程度上影响着学生的“外在动力”。而追求“开放性结论”则是学生探究性学习的内在动力，所以教师应精心创设一定的数学问题，让学生在解决问题中实现探究性学习。
总之，培养学生探究性学习必须遵循的原则是：
“让学生自己有空间往前走；
让学生自己有条件去锻炼；
让学生自己有时间去安排；
让学生自己有问题去找答案；
让学生自己有机遇去抓住；
让学生自己有冲突去讨论；
让学生自己有权利去选择；
让学生自己有题目去创造。”