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摘 要：合作交流是将学生引向积极学习、深度学习、独立学习境界的一个重要立足点. 有效合作交流的前提是个体先学形成自己的认识，合作交流的方式包括生生交流、师生交流、生本交流、自我交流等.
关键词：合作交流；少教多学；数学教学
“少教多学”是指本着充分发挥学生自己的学习潜能，变原来的“知识被嵌入学生”为“知识被学生积极内化”的教学，在这一过程中，教师要通过“少教”将学习变成发自学生内心的活动，将学生引向积极学习、深度学习、独立学习的境界. 而要达到这个目标，一个重要立足点就是合作交流.
[?] 个体先学是保证有效合作交流的前提
高中新课程突出了学习的主动性、生成性、探究性，要求学生通过自己的实践，发挥自己学习的潜能，使“知识被嵌入学生”转化为“知识被学生积极内化”，并在这一过程中提升能力，升华潜力. 基于此，笔者采用了布置“前置作业”的方式，通过课前布置有层次和有思考性的作业，营造问题情境，让学生以问题为学习的载体，以问题为中心，围绕问题的发现、分析和解决来组织自己的学习活动. 其目的主要是考虑学生原有的知识经验和技能的差异，借助学生自身的学习力量的调动，让学生在学习新知之前先进行个体学习，也就是我们常说的自主探索，自学的过程是按老师课前的前置作业，有的放矢地自主探索新知，学生充分调动挖掘自己的潜能. 这样，学生在进入课堂时就清楚自己有哪些问题，对问题有什么思考，知道自己这节课要做什么，并且储备了当节课师生交流、生生交流的“资本”. 高中数学课程设立“数学探究”、“数学建模”等学习活动，为学生形成积极主动、多样的学习方式创造有利的条件.
例如，在学习高中数学人教A版必修1的1.3.1“单调性与最大（小）值”时，笔者布置了这样的前置性作业：
问题：甲、乙两个学生观察二次函数f（x）=x2-1的图象，甲：在y轴左侧，此图象从左至右是下降的；在y轴右侧，此图象从左至右是上升的. 乙：函数f（x）=x2-1定义域是R，此图象只是该函数图象的一部分，你如何知道，在y轴左侧，此函数图象从左至右总是下降的；在y轴右侧，此图象从左至右总是上升的呢？你能解决乙同学的疑问吗？
这样的前置性作业因为浓缩了教学中的重点与难点，所以就有了研究的方向，把这个问题研究交流完了，也就把本节课的重点抓住了，难点弄通了. 当然，学生在进行个体学习时对这几个问题的认识深浅不一，这是由学生不同的学习能力决定的，关键在于问题的设置促进了学生的思考，这正使后续课堂交流成为必要，而且这也符合高中新课程对教师应“鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯”的要求.
[?] 合作交流是高中数学教学立足点
新课程理念倡导学生的自主学习、合作学习、探究学习，这就要求教师要能够做到：能让学生去做的一定要让学生去做，能让学生说出来的一定要让学生去说，能让学生发现的一定要让学生自己去发现.
1. 生生交流是学生有效提升思维能力的重要方法
有了对前置作业问题的思考，学生就是带着问题进入课堂，其学习的积极性就会高涨，但他们此时不一定需要教师的讲解，而是一种渴求的自我表达、相互交流的心态，于是学习小组内的合作交流就自然而然地成为学生一种需求.
学生首先在学习小组内交流自己的学习成果，进行讨论，发表意见，相互学习，完善自己对数学问题的认识和理解. 这个环节注重培养学生学会交流、倾听、欣赏、尊重和表达的过程，从而使学生思维、个性和才能在交流与合作中得到激活，它是学生间思维碰撞、智慧碰撞的过程，是有效培养学生思维、形成能力的过程. 一个能将问题向其他同学讲明白的学生一定完全掌握了这个问题！一个能和其他同学就某个问题进行争辩的学生一定会对这个问题有更透彻的理解！
学生在生生交流过程中，以说激思，以说验思，以说校思，以说定思，使明白的境界由“听明白”到“想明白”再到“说明白”，这符合新课程要求的培养学生“交流与合作能力”.
2. 师生交流重在培养学生提升交流水平，优化学生思维品质
课堂上有效的师生交流，是有效提高数学教学质量的保障，这个环节处理不当，掌握火候不当，学生就学不好. 课堂教学应该成为一种“对话”，围绕关键问题的一种“对话”，如果能够形成“思维碰撞”则更为精彩.
我们知道有些数学概念，它既表现为一个对象结构，又是处理问题的一种方法、一种思想，很多学生在学习过程中重视了一个侧面而忽视了另一个侧面，在很多情况下把数学概念仅仅看做形式定义，重视静态的对象结构分析，而忽视了动态的过程操作. 在这种情况下，学生往往知其定义而不会灵活地用其定义及隐含的思想.
例如，已知椭圆方程 =1（a>b>0），从椭圆的右焦点F（c，0）向椭圆的任一切线作垂线，垂足为P，求点P的轨迹. 学生大多数用代数方法求解，设椭圆的切线方程为Ax By c=0，然后求出PF的直线方程，再求交点P的坐标，消参数得出轨迹方程，这种解法十分烦琐，而且求解中可能出现漏洞.
此时，就需要教师与学生进行交流：有焦点，有椭圆上的点，为什么我们不想一想椭圆的定义呢？从椭圆的定义出发，联系其光学性质，作点F关于椭圆切线的对称点，则很容易得到点P到椭圆中心O的距离等于常数a，从而，点P的轨迹是以点O为圆心，a为半径的一个圆.
3. 生本（课本）交流重在提升学生自我学习能力，把握学习主动性
学生与课本交流是指学生通过阅读课本领会编写者的意图，以提升阅读能力、自学能力.
例题教学是数学教学的重要组成部分，是把知识、技能、思想和方法联系起来的一条纽带. 通过例题教学，要达到掌握双基、传授方法、揭示规律、启发思想、培养能力的目的. 因此，教师必须根据教学的实际和需要，深入钻研例题，领会和认识例题的意图，充分发挥例题的作用. 而要达到这样的目的，只有教师的领会与钻研是远远不够，必须通过教师的引导与培养逐步使学生学会阅读课本，领会教材编写者的意图，与例题设计者做“无声的交流”. 例如，在学习高中数学必修4的2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》时，笔者在前置作业中要求学生思考课本中这样几个例题的作用：
例1 已知
a
=5，
b
=4，a与b的夹角为120°，求a·b.
例3 已知
a
=6，
b
=4，a与b的夹角为60°，求（a 2b）·（a-3b）.
例4 已知
a
=3，
b
=4，a与b不共线，k为何值时，a kb与a-kb互相垂直？
这三道例题总的教学要求是，帮助学生深入理解平面向量数量积公式的意义，以及掌握公式的运用，但它们的教学目的各有侧重. 例1（模仿性练习题）是简单直接运用公式，目的是帮助学生熟悉公式的基本结构，属于公式运用的最低能力要求. 例3（组合性练习题）是简单间接运用公式，其本身并不直接使用公式，而涉及了向量运算的其他知识，具有知识小范围的综合. 例4（灵活与综合运用练习题）则是在具体数学问题中对知识灵活与综合的运用，具有知识较大范围的综合性和公式运用的较大范围的迁移性，属于公式运用的较高能力要求.
4. 解题过程就是学生与出题者交流的过程
解决数学问题的过程就是解题者与出题者“对话”的过程，出题者通过文字、图象表达自己的想法，如果学生（解题者）在解题过程中通过读题能够与出题者进行流畅的“对话”，题目就能顺利解决. 因此，如何读题，在读题过程中如何思考，对话的基础是什么等等这些问题正是需要教师帮助学生解决的问题，教师要将学生培养成为有良好的数学解题思维习惯与能力的“专业人士”.
例如，已知函数f（x）=x3 ax2 x 1，a∈R.（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）设函数f（x）在区间
-，-
内是减函数，求a的取值范围.
【对话的基础】 若f（x）在某区间上可导，则由f ′（x）>0（或f ′（x）<0）可推出f（x）为增（减）函数，但反之则不一定，如：函数f（x）=x3在R上递增，而f ′（x）≥0. f（x）在区间D内单调递增（减）的充要条件是f ′（x）≥0（或f ′（x）≤0），且f ′（x）在（a，b）的任意子区间上都不恒为零. 利用导数求解函数单调性的主要题型：（1）根据函数解析式，求函数的单调区间；（2）根据函数的单调性求解参数问题；（3）求解与函数单调性相关的其他问题，如函数图象的零点、不等式恒成立等问题.
【与出题者对话】
第（1）小题
出题者：函数f（x）=x3 ax2 x 1，a∈R
做题者：含有参系数的三次函数，一般需要进行分类讨论.
出题者：求函数f（x）的单调区间.
做题者：先求导函数f ′（x），由于含有参数a，根据判别式确定对a的分类标准，进而确定单调区间.
第（2）小题
出题者：函数f（x）在区间
-，-
内是减函数.
做题者：此条件可得，f ′（x）≤0在
-，-
内恒成立，且等号不恒成立.
出题者：求a的取值范围.
做题者：不等式恒成立，求a的取值范围，一般可以将问题转化为求“最值”的问题，①分离系数，求最值法：将a放在不等式一边，其他字母放在另一边，求这一边的最值；②直接求最值；③利用图象.
有了这样流畅的对话，学生就可以很快解决问题.
5. 与自己交流重在提升学生形成完备认知结构、完善思维能力
所谓与自己交流是指学生通过在学习过程中的反思、整理，达到形成条理化的思维能力和完备的认知结构，这就是所谓的“学之道在悟”. 目前，这个环节是数学教学中最薄弱的一环，但它却是数学学习活动的最重要的环节. 由于数学对象的抽象性、数学活动的探索性、数学推理的严谨性和数学语言的特殊性，决定了正处于思维发展阶段的中学生不可能一次性地直接把握数学活动的本质，必须要经过多次反复探究、深入思考、自我调整，即坚持反思性数学学习，才可能洞察数学活动的本质特征.
反思一般针对以下几个方面进行：反思自己的思考过程，反思题意的理解过程，反思所涉及的数学思想方法，反思解题的思路、推理、运算和语言表述，反思知识的联系性等等.
反思性数学学习的形成要靠教师的示范、引导，但重要的是要学生自己学会反思，并在数学学习中自觉地进行反思，逐渐形成一种反思的意识和习惯.
例如，笔者在教学一类有关“二次函数在指定区间上的最值问题”时，让学生练习的两道题（1）已知函数f（x）=-x2 2ax （1-a），在x∈[0，3]上有最大值3，求实数a. （2）已知函数f（x）=-x2 2ax （1-a），在x∈[0，3]上有最大值3，求实数a.
在学生练习之后，笔者并没有做简单的讲评，而是启发学生通过这两道题的练习，去进一步思考解这类问题的基本规律，并要求学生对其一般问题探索：
“求函数f（x）=ax2 bx c在区间[α，β]上的最大值”的解题规律进行总结.
通过片刻思考之后，有部分学生脸上开始呈现喜悦的表情，笔者巡视了他们所总结的解题规律：
（1）若α>0，则当-≥（α β）时，f（x）在x=α处有最大值f（α）；
当-<（α β）时，f（x）在x=β处有最大值f（β）；
（2）若α<0，则当-∈[α，β]时，f（x）在x=-处有最大值f
-
；
当-≤α时，f（x）在x=α处有最大值f（α）；
当-≥β时，f（x）在x=β处有最大值f（β）.
在学生归纳总结之后，笔者不仅表扬了学生思考的成功，而且继续鼓励他们课后再归纳总结“函数f（x）=ax2 bx c在区间[α，β]上的最小值”问题的基本解法. 一个数学问题解决之后，教师有意识地去启发引导学生进行解题后的反思，并归纳总结其基本方法和规律，远比学生单纯解两道题的意义更大. 它的教学价值不仅使学生掌握了解这类数学问题的基本规律，而且使学生学到了由个别到一般的数学思想方法，训练和培养了其归纳思维能力.
关键词：合作交流；少教多学；数学教学
“少教多学”是指本着充分发挥学生自己的学习潜能，变原来的“知识被嵌入学生”为“知识被学生积极内化”的教学，在这一过程中，教师要通过“少教”将学习变成发自学生内心的活动，将学生引向积极学习、深度学习、独立学习的境界. 而要达到这个目标，一个重要立足点就是合作交流.
[?] 个体先学是保证有效合作交流的前提
高中新课程突出了学习的主动性、生成性、探究性，要求学生通过自己的实践，发挥自己学习的潜能，使“知识被嵌入学生”转化为“知识被学生积极内化”，并在这一过程中提升能力，升华潜力. 基于此，笔者采用了布置“前置作业”的方式，通过课前布置有层次和有思考性的作业，营造问题情境，让学生以问题为学习的载体，以问题为中心，围绕问题的发现、分析和解决来组织自己的学习活动. 其目的主要是考虑学生原有的知识经验和技能的差异，借助学生自身的学习力量的调动，让学生在学习新知之前先进行个体学习，也就是我们常说的自主探索，自学的过程是按老师课前的前置作业，有的放矢地自主探索新知，学生充分调动挖掘自己的潜能. 这样，学生在进入课堂时就清楚自己有哪些问题，对问题有什么思考，知道自己这节课要做什么，并且储备了当节课师生交流、生生交流的“资本”. 高中数学课程设立“数学探究”、“数学建模”等学习活动，为学生形成积极主动、多样的学习方式创造有利的条件.
例如，在学习高中数学人教A版必修1的1.3.1“单调性与最大（小）值”时，笔者布置了这样的前置性作业：
问题：甲、乙两个学生观察二次函数f（x）=x2-1的图象，甲：在y轴左侧，此图象从左至右是下降的；在y轴右侧，此图象从左至右是上升的. 乙：函数f（x）=x2-1定义域是R，此图象只是该函数图象的一部分，你如何知道，在y轴左侧，此函数图象从左至右总是下降的；在y轴右侧，此图象从左至右总是上升的呢？你能解决乙同学的疑问吗？
这样的前置性作业因为浓缩了教学中的重点与难点，所以就有了研究的方向，把这个问题研究交流完了，也就把本节课的重点抓住了，难点弄通了. 当然，学生在进行个体学习时对这几个问题的认识深浅不一，这是由学生不同的学习能力决定的，关键在于问题的设置促进了学生的思考，这正使后续课堂交流成为必要，而且这也符合高中新课程对教师应“鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯”的要求.
[?] 合作交流是高中数学教学立足点
新课程理念倡导学生的自主学习、合作学习、探究学习，这就要求教师要能够做到：能让学生去做的一定要让学生去做，能让学生说出来的一定要让学生去说，能让学生发现的一定要让学生自己去发现.
1. 生生交流是学生有效提升思维能力的重要方法
有了对前置作业问题的思考，学生就是带着问题进入课堂，其学习的积极性就会高涨，但他们此时不一定需要教师的讲解，而是一种渴求的自我表达、相互交流的心态，于是学习小组内的合作交流就自然而然地成为学生一种需求.
学生首先在学习小组内交流自己的学习成果，进行讨论，发表意见，相互学习，完善自己对数学问题的认识和理解. 这个环节注重培养学生学会交流、倾听、欣赏、尊重和表达的过程，从而使学生思维、个性和才能在交流与合作中得到激活，它是学生间思维碰撞、智慧碰撞的过程，是有效培养学生思维、形成能力的过程. 一个能将问题向其他同学讲明白的学生一定完全掌握了这个问题！一个能和其他同学就某个问题进行争辩的学生一定会对这个问题有更透彻的理解！
学生在生生交流过程中，以说激思，以说验思，以说校思，以说定思，使明白的境界由“听明白”到“想明白”再到“说明白”，这符合新课程要求的培养学生“交流与合作能力”.
2. 师生交流重在培养学生提升交流水平，优化学生思维品质
课堂上有效的师生交流，是有效提高数学教学质量的保障，这个环节处理不当，掌握火候不当，学生就学不好. 课堂教学应该成为一种“对话”，围绕关键问题的一种“对话”，如果能够形成“思维碰撞”则更为精彩.
我们知道有些数学概念，它既表现为一个对象结构，又是处理问题的一种方法、一种思想，很多学生在学习过程中重视了一个侧面而忽视了另一个侧面，在很多情况下把数学概念仅仅看做形式定义，重视静态的对象结构分析，而忽视了动态的过程操作. 在这种情况下，学生往往知其定义而不会灵活地用其定义及隐含的思想.
例如，已知椭圆方程 =1（a>b>0），从椭圆的右焦点F（c，0）向椭圆的任一切线作垂线，垂足为P，求点P的轨迹. 学生大多数用代数方法求解，设椭圆的切线方程为Ax By c=0，然后求出PF的直线方程，再求交点P的坐标，消参数得出轨迹方程，这种解法十分烦琐，而且求解中可能出现漏洞.
此时，就需要教师与学生进行交流：有焦点，有椭圆上的点，为什么我们不想一想椭圆的定义呢？从椭圆的定义出发，联系其光学性质，作点F关于椭圆切线的对称点，则很容易得到点P到椭圆中心O的距离等于常数a，从而，点P的轨迹是以点O为圆心，a为半径的一个圆.
3. 生本（课本）交流重在提升学生自我学习能力，把握学习主动性
学生与课本交流是指学生通过阅读课本领会编写者的意图，以提升阅读能力、自学能力.
例题教学是数学教学的重要组成部分，是把知识、技能、思想和方法联系起来的一条纽带. 通过例题教学，要达到掌握双基、传授方法、揭示规律、启发思想、培养能力的目的. 因此，教师必须根据教学的实际和需要，深入钻研例题，领会和认识例题的意图，充分发挥例题的作用. 而要达到这样的目的，只有教师的领会与钻研是远远不够，必须通过教师的引导与培养逐步使学生学会阅读课本，领会教材编写者的意图，与例题设计者做“无声的交流”. 例如，在学习高中数学必修4的2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》时，笔者在前置作业中要求学生思考课本中这样几个例题的作用：
例1 已知
a
=5，
b
=4，a与b的夹角为120°，求a·b.
例3 已知
a
=6，
b
=4，a与b的夹角为60°，求（a 2b）·（a-3b）.
例4 已知
a
=3，
b
=4，a与b不共线，k为何值时，a kb与a-kb互相垂直？
这三道例题总的教学要求是，帮助学生深入理解平面向量数量积公式的意义，以及掌握公式的运用，但它们的教学目的各有侧重. 例1（模仿性练习题）是简单直接运用公式，目的是帮助学生熟悉公式的基本结构，属于公式运用的最低能力要求. 例3（组合性练习题）是简单间接运用公式，其本身并不直接使用公式，而涉及了向量运算的其他知识，具有知识小范围的综合. 例4（灵活与综合运用练习题）则是在具体数学问题中对知识灵活与综合的运用，具有知识较大范围的综合性和公式运用的较大范围的迁移性，属于公式运用的较高能力要求.
4. 解题过程就是学生与出题者交流的过程
解决数学问题的过程就是解题者与出题者“对话”的过程，出题者通过文字、图象表达自己的想法，如果学生（解题者）在解题过程中通过读题能够与出题者进行流畅的“对话”，题目就能顺利解决. 因此，如何读题，在读题过程中如何思考，对话的基础是什么等等这些问题正是需要教师帮助学生解决的问题，教师要将学生培养成为有良好的数学解题思维习惯与能力的“专业人士”.
例如，已知函数f（x）=x3 ax2 x 1，a∈R.（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）设函数f（x）在区间
-，-
内是减函数，求a的取值范围.
【对话的基础】 若f（x）在某区间上可导，则由f ′（x）>0（或f ′（x）<0）可推出f（x）为增（减）函数，但反之则不一定，如：函数f（x）=x3在R上递增，而f ′（x）≥0. f（x）在区间D内单调递增（减）的充要条件是f ′（x）≥0（或f ′（x）≤0），且f ′（x）在（a，b）的任意子区间上都不恒为零. 利用导数求解函数单调性的主要题型：（1）根据函数解析式，求函数的单调区间；（2）根据函数的单调性求解参数问题；（3）求解与函数单调性相关的其他问题，如函数图象的零点、不等式恒成立等问题.
【与出题者对话】
第（1）小题
出题者：函数f（x）=x3 ax2 x 1，a∈R
做题者：含有参系数的三次函数，一般需要进行分类讨论.
出题者：求函数f（x）的单调区间.
做题者：先求导函数f ′（x），由于含有参数a，根据判别式确定对a的分类标准，进而确定单调区间.
第（2）小题
出题者：函数f（x）在区间
-，-
内是减函数.
做题者：此条件可得，f ′（x）≤0在
-，-
内恒成立，且等号不恒成立.
出题者：求a的取值范围.
做题者：不等式恒成立，求a的取值范围，一般可以将问题转化为求“最值”的问题，①分离系数，求最值法：将a放在不等式一边，其他字母放在另一边，求这一边的最值；②直接求最值；③利用图象.
有了这样流畅的对话，学生就可以很快解决问题.
5. 与自己交流重在提升学生形成完备认知结构、完善思维能力
所谓与自己交流是指学生通过在学习过程中的反思、整理，达到形成条理化的思维能力和完备的认知结构，这就是所谓的“学之道在悟”. 目前，这个环节是数学教学中最薄弱的一环，但它却是数学学习活动的最重要的环节. 由于数学对象的抽象性、数学活动的探索性、数学推理的严谨性和数学语言的特殊性，决定了正处于思维发展阶段的中学生不可能一次性地直接把握数学活动的本质，必须要经过多次反复探究、深入思考、自我调整，即坚持反思性数学学习，才可能洞察数学活动的本质特征.
反思一般针对以下几个方面进行：反思自己的思考过程，反思题意的理解过程，反思所涉及的数学思想方法，反思解题的思路、推理、运算和语言表述，反思知识的联系性等等.
反思性数学学习的形成要靠教师的示范、引导，但重要的是要学生自己学会反思，并在数学学习中自觉地进行反思，逐渐形成一种反思的意识和习惯.
例如，笔者在教学一类有关“二次函数在指定区间上的最值问题”时，让学生练习的两道题（1）已知函数f（x）=-x2 2ax （1-a），在x∈[0，3]上有最大值3，求实数a. （2）已知函数f（x）=-x2 2ax （1-a），在x∈[0，3]上有最大值3，求实数a.
在学生练习之后，笔者并没有做简单的讲评，而是启发学生通过这两道题的练习，去进一步思考解这类问题的基本规律，并要求学生对其一般问题探索：
“求函数f（x）=ax2 bx c在区间[α，β]上的最大值”的解题规律进行总结.
通过片刻思考之后，有部分学生脸上开始呈现喜悦的表情，笔者巡视了他们所总结的解题规律：
（1）若α>0，则当-≥（α β）时，f（x）在x=α处有最大值f（α）；
当-<（α β）时，f（x）在x=β处有最大值f（β）；
（2）若α<0，则当-∈[α，β]时，f（x）在x=-处有最大值f
-
；
当-≤α时，f（x）在x=α处有最大值f（α）；
当-≥β时，f（x）在x=β处有最大值f（β）.
在学生归纳总结之后，笔者不仅表扬了学生思考的成功，而且继续鼓励他们课后再归纳总结“函数f（x）=ax2 bx c在区间[α，β]上的最小值”问题的基本解法. 一个数学问题解决之后，教师有意识地去启发引导学生进行解题后的反思，并归纳总结其基本方法和规律，远比学生单纯解两道题的意义更大. 它的教学价值不仅使学生掌握了解这类数学问题的基本规律，而且使学生学到了由个别到一般的数学思想方法，训练和培养了其归纳思维能力.