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以数学教材为主要依据组织教学内容进行课堂教学，是广大一线数学教师每天都必须面对的教育事实。这一事实的背后。教师个体究竟以怎样的方式传达着怎样的学习任务呢?我们，要教给学生什么?怎样才能使我们用教材的过程更具有数学课程意识呢?这些都涉及关于提高数学课程实施品质的问题核心。能否对这些问题有准确的认识，也将直接影响我们对课程具体内容实施方式的确认。笔者带着这些思考。边观察边实践，最终形成了下面的一些文字内容。
照着讲：遵循精神与意图
照着讲，指根据学生的认知现实及特点，参照数学课程标准的精神和数学教材的编写意图并体现数学知识的内涵组织教学，而非单纯地照搬教材、照本宣科。就当前而言，我们应当给予教材使用更多的关注。从某种程度上讲，如何用教材决定了课程实施品质的高低。在多种教学场合中，直接照着教材文本内容开展数学教学活动或以教材的建设者自居随意更改教学内容的事例，屡见不鲜。
案例：“解方程”如何解?
师：解方程X-2/9=7/9，第一步x=7/9 2/9是怎么想到的?
生1：到了右边，就反过来写，减变加，加变减。
师：x-2/9=7/9，方程左边有几个数?
生1：两个。
师：为什么解方程第一步后左边只剩下一个数呢?
生1：不知道。
师：你知道吗?
生2(笑了笑)：不知道。
师：你们觉得右边的2/9是原来方程左边的2/9吗?
生：是的。(两个人都这么认为)
师：……
反思：
教师也有“教学化”的处理，怎么就没能引起学生“学习化”的接纳?
解读、演绎教材文本内容，凸现数学内涵，需要有纯数学的学术形态转化为学生易接受的教育形态，静态的文本信息转化为动态的生成信息的过程。但现在看来。教师个人的“教学化”处理并非都能带来学生“学习化”的接纳，有时可能会令学生陷入“模仿”的泥潭，没有了也不需要有自己的领会与思考。上述案例中“教学化”的处理。没有深入地揭示隐藏在“解方程”这一具体数学知识背后的思维方法，从而导致学生对“消去法”缺乏认识与理解，注定只能低层次地模仿教师做题、解题。如果教师反复强调“为了使方程左边只剩下x，方程左边需要怎样处理?根据等式的性质，方程右边也需要怎样?也就是说，要消去方程左边的2/9，方程的左右两边应同时怎样”，学生就会对“反过来。减变加，加变减”作出个人的数学理解了。当然，也有“教学化”的处理会对学生的“学习化”产生很好的接纳功效。成功的例子也比较多，这里就不加赘述。
一言以蔽之。“照着讲”就是使数学课程的实施根植于学生的认知土壤，并体现数学学科的原本味。
接着讲：关注意义与现实
接着讲。意指在学生可接受的情况下就某些知识点在学科深度方面进行一些适当的拓展，使学生能深入内部、近距离地体悟数学的内涵及思想所在，比如将隐性知识一定程度地进行外显等。这里的“深度”不是对知识本身一味地拔高，而是指学生不仅能掌握具体的数学知识，而且也能领会内在的思想方法。尤其是对高年级的学生，这样做可能会使他们在小学与初中数学思维方式的衔接上寻得一定的平衡。
比如，苏教版第12册数学教材第54页有这样的一题：“两个底面半径相等的圆柱，第一个圆柱的高是第二个圆柱的高的4/5，第二个圆柱的体积是60立方分米，第一个圆柱的体积是多少?”笔者教学时，学生用假设法解答后，有学生竟然列出了“60x4/5=48(立方分米)”。在质疑过程中，我发现有一半的学生在看到该同学列的算式后认为，在底面积相等的情况下，既然第一个圆柱的高是第二个圆柱的高的4/5，那么第一个圆柱的体积就应该是第二个圆柱的体积的4/5。看来，学生在潜意识中有这样想当然的“理解”，或许这就是专家所说的“隐性知识”。对于部分毫无这种理解的学生，是不是就直接以结论的形式告诉他们，让他们记住就行了呢?笔者以为，应多给学生以数学理解，而非结论的记忆。出于这样的想法，笔者产生了就此题上出一节“深度”课的大胆想法。为了增加内容选择的可信度，我特地对邻近两个班的学生进行了该问题的调查和了解。结果发现，至少有一半的学生认为“应该是这样的”。获得一线学习的真实状态后，我开始投入到了教学设计和试教的活动准备中。
教学简录：
一、初步探究
1.复习成正比例的量中的等比。
出示题目：观察下列表格，回答问题。
(圆柱底面积相等)
提问：通过观察，你有什么发现?
生：圆柱体积与高的比值都是3.14。
师：我们看一下，是不是这么回事?
(生口算，6.28÷2=3.14，9.42÷3=3.14，31.4÷10=3.14，接下去也是3.14)
师：比值3.14表示什么?这表明底面积相等的圆柱的体积和高有怎样的关系?
生：成正比例关系。
2.探讨新的“等比”。
(1)追问：当底面积相等的圆柱的体积与高成正比例的时候，除了圆柱体积和高的比是相等的，你还能发现有哪些比也是相等的?(板书课题：成正比例的量——等比)
师：比如…(6.28/9042=2/3,31.4/9.42=3/10,6.28/31.4=2/10,……)
师：你发现了什么? 生：它们的体积比等于高的比。
师：是不是底面积相等的任意两个圆柱，都有这样的特点呢?
生：有!
师：这么肯定?这需要举较多的例子才能说明结论的正确性。在数学上，除了举例说明之外，我们还可以借助公式的推导来证明它对或不对。
讲解并板书：
师：通过证明，我们发现……(体积和高成正比例，“体积比等于高的比”)大家思考一下，这与u/h=u/h有联系吗?(交换内项h和u的位置，就有u/u=h/h)
(2)提问：如果高一定，体积比与底面积的比是否也相等呢?
学生小组交流。然后全班汇报(或公式推导，或交换内项理解)。
形成板书：
(3)谁能用自己的话把我们的发现概括一下。(同桌互说，全班交流)
3.想一想。(略)
二、推广研究
1.(1)对照板书，提问：我们是不是可以推广开去说，在一定条件下，只要两个量成正比例，都有类似于圆柱这样的特点呢?
(2)学生试说与三角形相关的等比。(教师配合学生完成公式推导)
(3)学生继续补充，教师有选择地板书：
宽一定，长方形的面积比就是长的比。
时间一定，工作效率的比等于工作总量的比。
时间一定，速度比等于路程比。
2.练一练。(略)
三、探讨总结及成果运用(略) 教学反思：
“接着讲”要考虑哪些问题?从哪里“接”起，又“接”向哪里讲呢?
众所周知。不可能教材有什么我们就教什么，我们也不可能想到什么就“接着教”，必须顾及学生的认知发展现实。笔者认为，从基础理解开始接、从隐性认知处开始接不失为明智之举。但至少要受到两方面的制约：一是必须依据数学课程标准的精神，即以课程目标为边界；二是要充分考虑现实条件，尤其要顾及学校、教师、学生的具体因素。比如，考虑学生的主体性和差异性等等。上文中记录的教学尝试。就是在摸清学生学习需求后尽可能低起点地带领更多的学生走进数学世界的探索之旅。以观察表格中的数据为平台。由不完全归纳法上升至公式推导的严格证明，引领学生经历和体验数学的逻辑证明。交换内项位置的必要讲解，有利于知识问的紧密联系。练习部分，学生进行大范嗣正迁移的“推断”，从立体图形拓展到平面图形，再延伸至常见的数量，丰富了学生的认知背景。从而使得学生的内隐知识得以外显和生长。毋庸质疑，应朝着促进学生数学思维发展这一教育目标去“接”。
通着讲：尽显联系与区别
如果“接着讲”是就知识点作纵向挖掘和拓展，寻求更深的背景理解以帮助学生达到“真懂”或“彻悟”的话，那“通着讲”就是指找到这些知识点之所以成为单元、主题的共同点。进行有联系和区别的横向交流、组织和发展，试图建立起知识板块或知识群。工作以来，笔者曾不止一次地想过这样的一个问题，同轨班级的数学教师都是按照教材内容的编排顺序一节课一节课实施下来的，为什么最终的教学质量及学生素养却大有不同呢?经过近两次毕业班的教学，我的认识也逐渐变得清晰起来。
案例：谁占谁的几(百)分之几
问题一：一个粮食库原有大米1500袋，运走3/5，还剩多少袋?
问题二：某厂有一天上班职工数是108人，出勤率是90％。求该厂的职工总数。
第一题中，学生对第二解法“1500×(1-3/5)”似乎总是难以接纳，难以清楚地说出道理。第二题中，部分学生对用出勤人数除以还是乘出勤率，总是混淆弄错。记得自己曾经对照实际出勤人数/应出勤人数=出勤率，借助除法之间的关系来让学生理解，即实际出勤人数=应出勤人数×出勤率，应出勤人数=实际出勤人数÷出勤率。虽然后来学生也都能熟练准确地解答，但那是较多次的练习之后形成的一种解题能力，这有别于在内在理解基础上自然生发的解题。可见，以往课程内容的组织是只见树木，不见森林，忽视了知识间的内在联系。这一次教六年级时。我特别注意到借助数量关系转化理解成“谁占谁的几(百)分之几”，并与分数乘法应用题的例题“一根电线长20米，用去4/5，用去多少米?”对照理解。最终，绝大多数的学生都能够轻松地理解并说出想法，正确率较往年也有大幅度的上升。
反思：
为什么要“通着讲”?
在教学中，我们极其容易犯一种错误，即只盯着一两节课怎么上，而于一个学期的教学内容的内在联系则并不关注。最终，由一节节数学课拼凑而成的学期教学，怎能不知识零碎、混乱不堪?学生怎能不疲惫应付、不知所措呢?而基本数学思维方法的训练又需渗透在具体的数学基本知识和基本技能之中。离开具体数学知识的学习去空谈数学素养和数学精神的形成只能是水中捞月。试想，不通着讲，“醉汉拉车，越拉越少”恐怕就不只是一句戏言了。
通向哪里去讲?
布鲁纳提出：“学习不但应该把我们带往某处。而且还应该让我们日后在继续前进时更容易。”文化素养、数学精神更多是内隐的，决不是多讲几个故事、多做几道应用题就能够埋下种子发芽成长的，而应集中于如何更好地发挥数学的文化价值，特别是通过具体数学知识的学习帮助学生逐步形成一定的思维方式与价值取向，直至科学的世界观和人生观。同时，“通着讲”也有利于我们课程意识和大教学观的确立。无论怎么个通法，根本的也是必须坚守的是都要教给学生学会数学地观察和思维。这是课程品质提升的硬指标。
怎样“通着讲”?
回答了上述两个问题，就知道了“通着讲”的起点和终点，至于怎么个“通”法，也就易于回答和实施了。
首先，要加强知识点之间的联系。我们需要整体把握数学课程的目标与内容，既要清楚每个章节的知识点，也要梳理好各章节之间的逻辑关系，理清一学期课程在整个学段中的地位与价值，确保学生所学环环相扣、活水不断。
其次，要与初中代数的思想相通。如果对数学学科的本质和长远目标没有很好的理解、把握，所教的学生必然不会走得太远。每年从初中数学教师那里反馈来的信息就表明，有不少在小学阶段学得认真、成绩也好的学生进入初中后会纷纷落马。是学生没有后劲儿吗?不是，这多少与小学数学教师对基础知识的组织方式有很大的关联。高年级的小学生思维水平已达到一定的程度，极有必要向初中数学的代数思想过渡，让他们的数学学习变得深刻些、有内涵些。不能总是规范动作和提高速度——原地踏步走!
最后。要对照性地使用新旧教材。当务之急。我们需要吸收旧教材教学中积累的宝贵经验，比较新旧教材内容的根本变化，吃透各自的优缺点，确保当前数学课程实施品质的提高。只有通过深入地比较与研究，我们才能真正地实现课程内容的优化，我们的教学过程才能务实、有效!
对于更多的教师而言，课堂教学中究竟怎样“讲”才有助于学生认知的形成、完善和发展呢?这涉及什么情况下“照着讲”，什么情况下“接着讲”和“通着讲”。多数时候，在没有找到胜于教材安排的思路的状况下，大体思路还得“照着讲”。但要力求贴近学生的经验世界无痕迹地“巧”处理：在寻求到更高的整体处理或局部改良的情况下就可以“接着讲”；至于“通着讲”，那是时时刻刻都需要考虑的。当然，这不仅需要我们能够艰苦地思考和创造性地诠释教材的意图与学生学习的现实。还需要多考虑学生数学学习的可理解性和潜在价值，更需要教师能够统领身边已有的、现有的和将要的学习资源，尽显联系与区别，使学生融会贯通、优化认知结构。
照着讲：遵循精神与意图
照着讲，指根据学生的认知现实及特点，参照数学课程标准的精神和数学教材的编写意图并体现数学知识的内涵组织教学，而非单纯地照搬教材、照本宣科。就当前而言，我们应当给予教材使用更多的关注。从某种程度上讲，如何用教材决定了课程实施品质的高低。在多种教学场合中，直接照着教材文本内容开展数学教学活动或以教材的建设者自居随意更改教学内容的事例，屡见不鲜。
案例：“解方程”如何解?
师：解方程X-2/9=7/9，第一步x=7/9 2/9是怎么想到的?
生1：到了右边，就反过来写，减变加，加变减。
师：x-2/9=7/9，方程左边有几个数?
生1：两个。
师：为什么解方程第一步后左边只剩下一个数呢?
生1：不知道。
师：你知道吗?
生2(笑了笑)：不知道。
师：你们觉得右边的2/9是原来方程左边的2/9吗?
生：是的。(两个人都这么认为)
师：……
反思：
教师也有“教学化”的处理，怎么就没能引起学生“学习化”的接纳?
解读、演绎教材文本内容，凸现数学内涵，需要有纯数学的学术形态转化为学生易接受的教育形态，静态的文本信息转化为动态的生成信息的过程。但现在看来。教师个人的“教学化”处理并非都能带来学生“学习化”的接纳，有时可能会令学生陷入“模仿”的泥潭，没有了也不需要有自己的领会与思考。上述案例中“教学化”的处理。没有深入地揭示隐藏在“解方程”这一具体数学知识背后的思维方法，从而导致学生对“消去法”缺乏认识与理解，注定只能低层次地模仿教师做题、解题。如果教师反复强调“为了使方程左边只剩下x，方程左边需要怎样处理?根据等式的性质，方程右边也需要怎样?也就是说，要消去方程左边的2/9，方程的左右两边应同时怎样”，学生就会对“反过来。减变加，加变减”作出个人的数学理解了。当然，也有“教学化”的处理会对学生的“学习化”产生很好的接纳功效。成功的例子也比较多，这里就不加赘述。
一言以蔽之。“照着讲”就是使数学课程的实施根植于学生的认知土壤，并体现数学学科的原本味。
接着讲：关注意义与现实
接着讲。意指在学生可接受的情况下就某些知识点在学科深度方面进行一些适当的拓展，使学生能深入内部、近距离地体悟数学的内涵及思想所在，比如将隐性知识一定程度地进行外显等。这里的“深度”不是对知识本身一味地拔高，而是指学生不仅能掌握具体的数学知识，而且也能领会内在的思想方法。尤其是对高年级的学生，这样做可能会使他们在小学与初中数学思维方式的衔接上寻得一定的平衡。
比如，苏教版第12册数学教材第54页有这样的一题：“两个底面半径相等的圆柱，第一个圆柱的高是第二个圆柱的高的4/5，第二个圆柱的体积是60立方分米，第一个圆柱的体积是多少?”笔者教学时，学生用假设法解答后，有学生竟然列出了“60x4/5=48(立方分米)”。在质疑过程中，我发现有一半的学生在看到该同学列的算式后认为，在底面积相等的情况下，既然第一个圆柱的高是第二个圆柱的高的4/5，那么第一个圆柱的体积就应该是第二个圆柱的体积的4/5。看来，学生在潜意识中有这样想当然的“理解”，或许这就是专家所说的“隐性知识”。对于部分毫无这种理解的学生，是不是就直接以结论的形式告诉他们，让他们记住就行了呢?笔者以为，应多给学生以数学理解，而非结论的记忆。出于这样的想法，笔者产生了就此题上出一节“深度”课的大胆想法。为了增加内容选择的可信度，我特地对邻近两个班的学生进行了该问题的调查和了解。结果发现，至少有一半的学生认为“应该是这样的”。获得一线学习的真实状态后，我开始投入到了教学设计和试教的活动准备中。
教学简录：
一、初步探究
1.复习成正比例的量中的等比。
出示题目：观察下列表格，回答问题。
(圆柱底面积相等)
提问：通过观察，你有什么发现?
生：圆柱体积与高的比值都是3.14。
师：我们看一下，是不是这么回事?
(生口算，6.28÷2=3.14，9.42÷3=3.14，31.4÷10=3.14，接下去也是3.14)
师：比值3.14表示什么?这表明底面积相等的圆柱的体积和高有怎样的关系?
生：成正比例关系。
2.探讨新的“等比”。
(1)追问：当底面积相等的圆柱的体积与高成正比例的时候，除了圆柱体积和高的比是相等的，你还能发现有哪些比也是相等的?(板书课题：成正比例的量——等比)
师：比如…(6.28/9042=2/3,31.4/9.42=3/10,6.28/31.4=2/10,……)
师：你发现了什么? 生：它们的体积比等于高的比。
师：是不是底面积相等的任意两个圆柱，都有这样的特点呢?
生：有!
师：这么肯定?这需要举较多的例子才能说明结论的正确性。在数学上，除了举例说明之外，我们还可以借助公式的推导来证明它对或不对。
讲解并板书：
师：通过证明，我们发现……(体积和高成正比例，“体积比等于高的比”)大家思考一下，这与u/h=u/h有联系吗?(交换内项h和u的位置，就有u/u=h/h)
(2)提问：如果高一定，体积比与底面积的比是否也相等呢?
学生小组交流。然后全班汇报(或公式推导，或交换内项理解)。
形成板书：
(3)谁能用自己的话把我们的发现概括一下。(同桌互说，全班交流)
3.想一想。(略)
二、推广研究
1.(1)对照板书，提问：我们是不是可以推广开去说，在一定条件下，只要两个量成正比例，都有类似于圆柱这样的特点呢?
(2)学生试说与三角形相关的等比。(教师配合学生完成公式推导)
(3)学生继续补充，教师有选择地板书：
宽一定，长方形的面积比就是长的比。
时间一定，工作效率的比等于工作总量的比。
时间一定，速度比等于路程比。
2.练一练。(略)
三、探讨总结及成果运用(略) 教学反思：
“接着讲”要考虑哪些问题?从哪里“接”起，又“接”向哪里讲呢?
众所周知。不可能教材有什么我们就教什么，我们也不可能想到什么就“接着教”，必须顾及学生的认知发展现实。笔者认为，从基础理解开始接、从隐性认知处开始接不失为明智之举。但至少要受到两方面的制约：一是必须依据数学课程标准的精神，即以课程目标为边界；二是要充分考虑现实条件，尤其要顾及学校、教师、学生的具体因素。比如，考虑学生的主体性和差异性等等。上文中记录的教学尝试。就是在摸清学生学习需求后尽可能低起点地带领更多的学生走进数学世界的探索之旅。以观察表格中的数据为平台。由不完全归纳法上升至公式推导的严格证明，引领学生经历和体验数学的逻辑证明。交换内项位置的必要讲解，有利于知识问的紧密联系。练习部分，学生进行大范嗣正迁移的“推断”，从立体图形拓展到平面图形，再延伸至常见的数量，丰富了学生的认知背景。从而使得学生的内隐知识得以外显和生长。毋庸质疑，应朝着促进学生数学思维发展这一教育目标去“接”。
通着讲：尽显联系与区别
如果“接着讲”是就知识点作纵向挖掘和拓展，寻求更深的背景理解以帮助学生达到“真懂”或“彻悟”的话，那“通着讲”就是指找到这些知识点之所以成为单元、主题的共同点。进行有联系和区别的横向交流、组织和发展，试图建立起知识板块或知识群。工作以来，笔者曾不止一次地想过这样的一个问题，同轨班级的数学教师都是按照教材内容的编排顺序一节课一节课实施下来的，为什么最终的教学质量及学生素养却大有不同呢?经过近两次毕业班的教学，我的认识也逐渐变得清晰起来。
案例：谁占谁的几(百)分之几
问题一：一个粮食库原有大米1500袋，运走3/5，还剩多少袋?
问题二：某厂有一天上班职工数是108人，出勤率是90％。求该厂的职工总数。
第一题中，学生对第二解法“1500×(1-3/5)”似乎总是难以接纳，难以清楚地说出道理。第二题中，部分学生对用出勤人数除以还是乘出勤率，总是混淆弄错。记得自己曾经对照实际出勤人数/应出勤人数=出勤率，借助除法之间的关系来让学生理解，即实际出勤人数=应出勤人数×出勤率，应出勤人数=实际出勤人数÷出勤率。虽然后来学生也都能熟练准确地解答，但那是较多次的练习之后形成的一种解题能力，这有别于在内在理解基础上自然生发的解题。可见，以往课程内容的组织是只见树木，不见森林，忽视了知识间的内在联系。这一次教六年级时。我特别注意到借助数量关系转化理解成“谁占谁的几(百)分之几”，并与分数乘法应用题的例题“一根电线长20米，用去4/5，用去多少米?”对照理解。最终，绝大多数的学生都能够轻松地理解并说出想法，正确率较往年也有大幅度的上升。
反思：
为什么要“通着讲”?
在教学中，我们极其容易犯一种错误，即只盯着一两节课怎么上，而于一个学期的教学内容的内在联系则并不关注。最终，由一节节数学课拼凑而成的学期教学，怎能不知识零碎、混乱不堪?学生怎能不疲惫应付、不知所措呢?而基本数学思维方法的训练又需渗透在具体的数学基本知识和基本技能之中。离开具体数学知识的学习去空谈数学素养和数学精神的形成只能是水中捞月。试想，不通着讲，“醉汉拉车，越拉越少”恐怕就不只是一句戏言了。
通向哪里去讲?
布鲁纳提出：“学习不但应该把我们带往某处。而且还应该让我们日后在继续前进时更容易。”文化素养、数学精神更多是内隐的，决不是多讲几个故事、多做几道应用题就能够埋下种子发芽成长的，而应集中于如何更好地发挥数学的文化价值，特别是通过具体数学知识的学习帮助学生逐步形成一定的思维方式与价值取向，直至科学的世界观和人生观。同时，“通着讲”也有利于我们课程意识和大教学观的确立。无论怎么个通法，根本的也是必须坚守的是都要教给学生学会数学地观察和思维。这是课程品质提升的硬指标。
怎样“通着讲”?
回答了上述两个问题，就知道了“通着讲”的起点和终点，至于怎么个“通”法，也就易于回答和实施了。
首先，要加强知识点之间的联系。我们需要整体把握数学课程的目标与内容，既要清楚每个章节的知识点，也要梳理好各章节之间的逻辑关系，理清一学期课程在整个学段中的地位与价值，确保学生所学环环相扣、活水不断。
其次，要与初中代数的思想相通。如果对数学学科的本质和长远目标没有很好的理解、把握，所教的学生必然不会走得太远。每年从初中数学教师那里反馈来的信息就表明，有不少在小学阶段学得认真、成绩也好的学生进入初中后会纷纷落马。是学生没有后劲儿吗?不是，这多少与小学数学教师对基础知识的组织方式有很大的关联。高年级的小学生思维水平已达到一定的程度，极有必要向初中数学的代数思想过渡，让他们的数学学习变得深刻些、有内涵些。不能总是规范动作和提高速度——原地踏步走!
最后。要对照性地使用新旧教材。当务之急。我们需要吸收旧教材教学中积累的宝贵经验，比较新旧教材内容的根本变化，吃透各自的优缺点，确保当前数学课程实施品质的提高。只有通过深入地比较与研究，我们才能真正地实现课程内容的优化，我们的教学过程才能务实、有效!
对于更多的教师而言，课堂教学中究竟怎样“讲”才有助于学生认知的形成、完善和发展呢?这涉及什么情况下“照着讲”，什么情况下“接着讲”和“通着讲”。多数时候，在没有找到胜于教材安排的思路的状况下，大体思路还得“照着讲”。但要力求贴近学生的经验世界无痕迹地“巧”处理：在寻求到更高的整体处理或局部改良的情况下就可以“接着讲”；至于“通着讲”，那是时时刻刻都需要考虑的。当然，这不仅需要我们能够艰苦地思考和创造性地诠释教材的意图与学生学习的现实。还需要多考虑学生数学学习的可理解性和潜在价值，更需要教师能够统领身边已有的、现有的和将要的学习资源，尽显联系与区别，使学生融会贯通、优化认知结构。