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空间几何体的三视图是从三个互相垂直的方向的正投影来刻画空间几何体，用三个维度的平面图形来刻画抽象的空间图形，是将空间图形转化为平面图形的重要途径（三垂直方向）. 在这一部分的学习中，无论是从平面到空间（合成），还是从空间到平面（分解），都对空间想象能力有较高的要求. 因此，空间几何体的三视图承载着空间图形与平面图形的联系，是每年高考的必考内容.
重点难点
重点 掌握空间几何体三视图的画法规则，能够画出简单空间几何体（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等的简单组合体）的三视图，能识别上述几何体的三视图所表示的空间几何体的模型，并用三视图解决一些简单的综合问题.？摇
难点 识别空间几何体（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等的简单组合体）的三视图所表示的几何体.
方法突破
一、画空间几何体的三视图的基本思路
（1）掌握画空间几何体的三视图的两个基本步骤：第一步，确定三个视图的形状；第二步，将这三个视图摆放在同一平面上. 在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓用虚线表示出来，即“眼见为实，不见为虚”.
（2）掌握画空间几何体的三视图的画法规则：长对正、宽相等、高平齐，即正视图和俯视图的“长对正”，侧视图和俯视图的“宽相等”. 正视图和侧视图的“高平齐”.
（3）弄清三视图与空间几何体的几何量之间的关系：空间几何体的数量关系也体现在三视图中，正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图的宽就是空间几何体的最大宽度. 要严格按照这个规则画空间几何体的三视图.
二、画空间几何体的三视图的基本策略
（1）理解三视图的概念，并能恰当选择投影面画出三视图.
（2）明确平行投影的性质并能灵活应用：①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.
（3）明确正投影的性质并能灵活应用. 在物体的平行投影中，如果投影线正对着投影面（即投影线与投影面垂直），这样平行投影即为正投影. 正投影除具有平行投影的性质外，还有如下性质：①垂直于投影面的直线或线段的正投影是点；②垂直于投影面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分.
（4）在进行三视图与直观图的相互转化中，应牢记柱、锥、台、球图形的特征及斜二侧画法的规则和正投影的性质，特别注意侧视图的投影方向.
（5）注意投影规律和作图规则. 作图要熟记投影规律：“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”. 作图时切记被遮挡的部分要画成虚线.
典例精讲
一、画图——作出空间几何体的三视图
■ 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以平面zOx为投影面，则得到正视图可以为（ ）
■
A B C D
思索 在空间直角坐标系中，画出这四个点就可发现所给四面体为一个正三棱锥，且以边长为1的正方体的两条互为异面的对角线为其相对的两条棱，在画线的投影时，要注意能看见的线为实线，不能看见的线为虚线.
破解 易知A正确，故选A.
二、识图——还原空间几何体
■ 如图1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E是AB的三等分点，G，N是CD的三等分点，F，H分别是BC，MN的中点，则四棱锥A1-EFGH的侧视图为（ ）
■
图1
■
A B C D
思索 已知直观图，求作三视图，只需将直观图“压扁”到“墙角”的三个面中即可，但要注意哪些点、线重合了，哪些线被遮住了，遮住的部分需画虚线.
破解 点A1在地面的投影与点A重合，故侧视图是倾斜的三角形，另从正左方看时，侧视图是C选项，故选C.
■例3 某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积为（ ）
A. 54 B. 60 C. 66 D. 72
思索 解题的关键是通过三视图想象原空间几何体，其依据是三视图的画法规则. 由三个视图的图形特征及联系，可确定原几何体分为两部分：下部分是三棱柱，上部分是四棱锥，三棱柱的上底面是四棱锥的一个侧面，且为直角三角形，由三视图中标注的量可得到原几何体中长度的度量，由此来计算其表面积.
■
图2
破解 由画法规则还原几何体的形状，可知这个几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱上面去掉一个三棱锥后一部分，如图3. 其中∠BAC=90°，侧面A1ACC1是矩形，其余两个侧面都是直角梯形. 由于A1C1∥AC，AC⊥AB，平面ABC⊥平面ABB1A1，所以AC⊥平面ABB1A1，A1C1⊥平面ABB1A1，所以A1C1⊥A1B1，因而△A1B1C1是直角三角形. A1B1=■=■=5，故几何体的表面积为：S=S△ABC S△A■B■C■ S■ S■ S■=■×3×4 ■×3×5 3×5 ■×（5 2）×4 ■×（5 2）×5=60. 故选B.
■
图3
■ 一个四棱锥的三视图如图4所示，其侧视图是等边三角形.该四棱锥的体积等于（ ）
A. ■？摇？摇？摇 B. 2■
C. 3■？摇？摇？摇 D. 6■
■ 图4
思索 本题首先通过俯视图确定几何体底面的大致形状，然后利用正视图和侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，最后确定几何体的形状如图5所示.
■
图5
破解 由三视图可知，四棱锥的底面是俯视图中对应的梯形，四棱锥的侧面是等边三角形且该侧面和底面垂直，所以四棱锥的高为■，底面梯形的面积为■=3，所以四棱锥的体积为■×3×■=■，选A.
三、综合——三视图的应用
■ 如图6，几何体SABC的底面是由以AC为直径的半圆O与△ABC组成的平面图形，SO⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=SB=SC=AC=4，BC=2.
（1）求几何体SABC的正视图中△S1A1B1的面积；
（2）试探究在圆弧AC上是否存在一点P，使得AP⊥SB，若存在，说明点P的位置并证明；若不存在，说明理由.
■
图6
思索 该几何体是一个组合体，若设底面顶点B在圆锥的轴截面上的射影为H，从正视图可以看出H即为正视图中的点B1. 解决第（1）问的关键是确定H的位置，即计算AH的长；对于第（2）问，注意到AP⊥SB等价于AP⊥OB，则将立体问题转化为平面问题.
破解 （1）过点B作BH⊥AC于H，连结SH. 因为SO⊥平面ABC，BH？奂平面ABC，所以BH⊥SO. 又因为BH⊥AC，SO∩AC=O，所以BH⊥平面SAC.
在△ABC中，因为AB⊥BC，AC=4，BC=2，所以∠ACB=60°，HC=2cos60°=1.？摇
在几何体SABC的正视图中，△S1A1B1的边A1B1=AH=AC-HC，所以A1B1=3. 又△S1A1B1的边A1B1上的高等于几何体SABC中SO的长，而SA=SC=AC=4，所以SO=2■，所以S■=■×3×2■=3■.
（2）存在. 证明如下： 连结BO并延长交弧AC于点M，在底面内，过点A作AP⊥BM交弧AC于点P.
因为SO⊥平面ABC，而AP？奂平面ABC，所以AP⊥SO. 又因为AP⊥BM，SO∩BM=O，所以AP⊥平面SOB，从而AP⊥SB.
又因为AO=OC=BC=2，所以有∠AOM=∠BOC=∠ACB=60°，所以可得∠OAP=∠OPA=30°，∠AOP=120°，即点P位于弧AC的三等分的位置，且∠AOP=120°.？摇
变式练习
1. 若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为■，则该几何体的俯视图可以是（ ）
■
A B C D
2. 某几何体的三视图（单位：cm）如图7所示，则此几何体的表面积是（ ）
■
图7
A. 90cm2？摇 B. 129cm2
C. 132cm2？摇 D. 138cm2
3. 如图8，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）
■
图8
A. 6■ B. 6
C. 4■ D. 4
4. 某几何体的三视图如图9所示，根据图中标出的数据，则这个几何体的体积为__________.
■
图9
5. 如图10，已知几何体的下部是一个底面为正六边形、侧面全为矩形的棱柱，上部是一个侧面全为等腰三角形的棱锥，图11是该几何体的正视图.
（1）求该几何体的体积；
（2）证明：DF1⊥平面PA1F1.
■
参考答案
1. C 2. D 3. B
4. 由三视图可知该几何体是由一个半圆锥和一个底面为正方形的四棱锥组成. 半圆锥的底面直径等于2，高为■，体积V1=■×■π×12×■=■π，四棱锥的体积V2=■×2×2×■=■，则这个几何体的体积为V1 V2=■π ■=■.
5. （1）由题意可知，该几何体由下部正六棱柱和上部正六棱锥组合而成，正六棱柱的体积为V1=Sh=6×■×2×■×2=12■；正六棱锥的体积为V2=■Sh=■×6×■×2×■×3=6■，所以该几何体的体积为V=V1 V2=18■.
（2）因为侧面全为矩形，所以有AF⊥FF1. 在正六边形ABCDEF中，AF⊥DF，又DF∩FF1=F，所以AF⊥平面DFF1. 因为AF∥A1F1，所以A1F1⊥平面DFF1. 又DF1？奂平面DFF1，所以A1F1⊥DF1. 在△DFF1中，FF1=2，DF=2■，所以DF1=4. 又PF1=PD1=■，所以在平面PA1ADD1中，PD=■=■，所以DF■■ PF ■■=PD2，故DF1⊥PF1. 又A1F1∩PF1=F1，所以DF1⊥平面PA1F1. ■
重点难点
重点 掌握空间几何体三视图的画法规则，能够画出简单空间几何体（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等的简单组合体）的三视图，能识别上述几何体的三视图所表示的空间几何体的模型，并用三视图解决一些简单的综合问题.？摇
难点 识别空间几何体（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等的简单组合体）的三视图所表示的几何体.
方法突破
一、画空间几何体的三视图的基本思路
（1）掌握画空间几何体的三视图的两个基本步骤：第一步，确定三个视图的形状；第二步，将这三个视图摆放在同一平面上. 在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓用虚线表示出来，即“眼见为实，不见为虚”.
（2）掌握画空间几何体的三视图的画法规则：长对正、宽相等、高平齐，即正视图和俯视图的“长对正”，侧视图和俯视图的“宽相等”. 正视图和侧视图的“高平齐”.
（3）弄清三视图与空间几何体的几何量之间的关系：空间几何体的数量关系也体现在三视图中，正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图的宽就是空间几何体的最大宽度. 要严格按照这个规则画空间几何体的三视图.
二、画空间几何体的三视图的基本策略
（1）理解三视图的概念，并能恰当选择投影面画出三视图.
（2）明确平行投影的性质并能灵活应用：①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.
（3）明确正投影的性质并能灵活应用. 在物体的平行投影中，如果投影线正对着投影面（即投影线与投影面垂直），这样平行投影即为正投影. 正投影除具有平行投影的性质外，还有如下性质：①垂直于投影面的直线或线段的正投影是点；②垂直于投影面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分.
（4）在进行三视图与直观图的相互转化中，应牢记柱、锥、台、球图形的特征及斜二侧画法的规则和正投影的性质，特别注意侧视图的投影方向.
（5）注意投影规律和作图规则. 作图要熟记投影规律：“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”. 作图时切记被遮挡的部分要画成虚线.
典例精讲
一、画图——作出空间几何体的三视图
■ 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以平面zOx为投影面，则得到正视图可以为（ ）
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A B C D
思索 在空间直角坐标系中，画出这四个点就可发现所给四面体为一个正三棱锥，且以边长为1的正方体的两条互为异面的对角线为其相对的两条棱，在画线的投影时，要注意能看见的线为实线，不能看见的线为虚线.
破解 易知A正确，故选A.
二、识图——还原空间几何体
■ 如图1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E是AB的三等分点，G，N是CD的三等分点，F，H分别是BC，MN的中点，则四棱锥A1-EFGH的侧视图为（ ）
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图1
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A B C D
思索 已知直观图，求作三视图，只需将直观图“压扁”到“墙角”的三个面中即可，但要注意哪些点、线重合了，哪些线被遮住了，遮住的部分需画虚线.
破解 点A1在地面的投影与点A重合，故侧视图是倾斜的三角形，另从正左方看时，侧视图是C选项，故选C.
■例3 某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积为（ ）
A. 54 B. 60 C. 66 D. 72
思索 解题的关键是通过三视图想象原空间几何体，其依据是三视图的画法规则. 由三个视图的图形特征及联系，可确定原几何体分为两部分：下部分是三棱柱，上部分是四棱锥，三棱柱的上底面是四棱锥的一个侧面，且为直角三角形，由三视图中标注的量可得到原几何体中长度的度量，由此来计算其表面积.
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图2
破解 由画法规则还原几何体的形状，可知这个几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱上面去掉一个三棱锥后一部分，如图3. 其中∠BAC=90°，侧面A1ACC1是矩形，其余两个侧面都是直角梯形. 由于A1C1∥AC，AC⊥AB，平面ABC⊥平面ABB1A1，所以AC⊥平面ABB1A1，A1C1⊥平面ABB1A1，所以A1C1⊥A1B1，因而△A1B1C1是直角三角形. A1B1=■=■=5，故几何体的表面积为：S=S△ABC S△A■B■C■ S■ S■ S■=■×3×4 ■×3×5 3×5 ■×（5 2）×4 ■×（5 2）×5=60. 故选B.
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图3
■ 一个四棱锥的三视图如图4所示，其侧视图是等边三角形.该四棱锥的体积等于（ ）
A. ■？摇？摇？摇 B. 2■
C. 3■？摇？摇？摇 D. 6■
■ 图4
思索 本题首先通过俯视图确定几何体底面的大致形状，然后利用正视图和侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，最后确定几何体的形状如图5所示.
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图5
破解 由三视图可知，四棱锥的底面是俯视图中对应的梯形，四棱锥的侧面是等边三角形且该侧面和底面垂直，所以四棱锥的高为■，底面梯形的面积为■=3，所以四棱锥的体积为■×3×■=■，选A.
三、综合——三视图的应用
■ 如图6，几何体SABC的底面是由以AC为直径的半圆O与△ABC组成的平面图形，SO⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=SB=SC=AC=4，BC=2.
（1）求几何体SABC的正视图中△S1A1B1的面积；
（2）试探究在圆弧AC上是否存在一点P，使得AP⊥SB，若存在，说明点P的位置并证明；若不存在，说明理由.
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图6
思索 该几何体是一个组合体，若设底面顶点B在圆锥的轴截面上的射影为H，从正视图可以看出H即为正视图中的点B1. 解决第（1）问的关键是确定H的位置，即计算AH的长；对于第（2）问，注意到AP⊥SB等价于AP⊥OB，则将立体问题转化为平面问题.
破解 （1）过点B作BH⊥AC于H，连结SH. 因为SO⊥平面ABC，BH？奂平面ABC，所以BH⊥SO. 又因为BH⊥AC，SO∩AC=O，所以BH⊥平面SAC.
在△ABC中，因为AB⊥BC，AC=4，BC=2，所以∠ACB=60°，HC=2cos60°=1.？摇
在几何体SABC的正视图中，△S1A1B1的边A1B1=AH=AC-HC，所以A1B1=3. 又△S1A1B1的边A1B1上的高等于几何体SABC中SO的长，而SA=SC=AC=4，所以SO=2■，所以S■=■×3×2■=3■.
（2）存在. 证明如下： 连结BO并延长交弧AC于点M，在底面内，过点A作AP⊥BM交弧AC于点P.
因为SO⊥平面ABC，而AP？奂平面ABC，所以AP⊥SO. 又因为AP⊥BM，SO∩BM=O，所以AP⊥平面SOB，从而AP⊥SB.
又因为AO=OC=BC=2，所以有∠AOM=∠BOC=∠ACB=60°，所以可得∠OAP=∠OPA=30°，∠AOP=120°，即点P位于弧AC的三等分的位置，且∠AOP=120°.？摇
变式练习
1. 若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为■，则该几何体的俯视图可以是（ ）
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A B C D
2. 某几何体的三视图（单位：cm）如图7所示，则此几何体的表面积是（ ）
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图7
A. 90cm2？摇 B. 129cm2
C. 132cm2？摇 D. 138cm2
3. 如图8，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）
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图8
A. 6■ B. 6
C. 4■ D. 4
4. 某几何体的三视图如图9所示，根据图中标出的数据，则这个几何体的体积为__________.
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图9
5. 如图10，已知几何体的下部是一个底面为正六边形、侧面全为矩形的棱柱，上部是一个侧面全为等腰三角形的棱锥，图11是该几何体的正视图.
（1）求该几何体的体积；
（2）证明：DF1⊥平面PA1F1.
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参考答案
1. C 2. D 3. B
4. 由三视图可知该几何体是由一个半圆锥和一个底面为正方形的四棱锥组成. 半圆锥的底面直径等于2，高为■，体积V1=■×■π×12×■=■π，四棱锥的体积V2=■×2×2×■=■，则这个几何体的体积为V1 V2=■π ■=■.
5. （1）由题意可知，该几何体由下部正六棱柱和上部正六棱锥组合而成，正六棱柱的体积为V1=Sh=6×■×2×■×2=12■；正六棱锥的体积为V2=■Sh=■×6×■×2×■×3=6■，所以该几何体的体积为V=V1 V2=18■.
（2）因为侧面全为矩形，所以有AF⊥FF1. 在正六边形ABCDEF中，AF⊥DF，又DF∩FF1=F，所以AF⊥平面DFF1. 因为AF∥A1F1，所以A1F1⊥平面DFF1. 又DF1？奂平面DFF1，所以A1F1⊥DF1. 在△DFF1中，FF1=2，DF=2■，所以DF1=4. 又PF1=PD1=■，所以在平面PA1ADD1中，PD=■=■，所以DF■■ PF ■■=PD2，故DF1⊥PF1. 又A1F1∩PF1=F1，所以DF1⊥平面PA1F1. ■