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[摘 要] 在“一元二次方程的解法——配方法”教学中，几何方法的探究给“教”与“学”带来了新的视角，但过分依赖几何方法，将有损课堂教学. 虚实结合是对HPM视野下课堂教学的深入思考，以史为鉴，注重反思. 教学内容的虚实共济，即重视针对性，关注发展性；教学方法上的虚实结合，即灵活多变. 教学中应注重学生的实际认知，发展思维虚境，把握虚实的辩证统一关系，让数学史与数学课堂教学自然融合.
[关键词] HPM； 课堂教学；虚与实
引言
随着 HPM 研究的不断深入，数学史和数学教学的结合已是一种国际数学课程改革的趋势. 数学史在数学教育的实际应用也备受关注. HPM的主旨是将数学史运用于数学教学中，以提升数学学习成效和教学品质. 要扩展数学教育中的历史维度，需要一个前提，那就是课堂教学中包含一些数学史会取得更好的效果. 为此，数学史内容进入课堂教学有许多“中间环节”需要研究. 以上海市某中学HPM的实验课“一元二次方程的解法——配方法”为例，谈谈HPM实践中的问题、困惑与反思.
问题的提出
方程是代数之花，一元二次方程蕴含着丰富的历史文化信息. 方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，应用广泛，而从实际问题中抽象出方程，并求出方程的解是解决问题的关键. 配方法既是解一元二次方程的一种重要方法，也是推导公式法的基础. 配方法还是初中数学的重要内容，在二次根式、代数式的变形及二次函数中都有广泛应用. 下面简单回顾教学过程如下：
3. 课堂练习
4.课时小结
课堂观察1：讲完例1，引出了配方法的定义. 对于例2，教师让学生独立尝试用几何方法解方程，但部分学生没有理会教师的要求，坚持用代数方法解，部分学生用代数方法解出后反推几何方法.
课堂观察2：由于x（x-4）=10涉及“x-4”，较例1难，学生思考的时间较长，而且几何方法构图方式多样，教学出现“疙”，费时较多.
问题1：课堂出现了引入时间很长，但练习训练时间很短的现象，即“头重脚轻”的现象. 让大家纠结的是，例2究竟要不要？
执教的老师直言，上课前有老师说不要，但自己觉得好，还是要了. 听课后，针对例2，大家的讨论意见如下. A认为：例1，老师讲的，例2，老师又作为例题来讲，学生会不会感觉累了？B认为：课堂引入这么长，例2还是不要了. C认为：学生由代数式想到配方法，不是很容易吗？何苦用几何方法绕半天？ 这不是为历史而历史吗？去掉挺好，扎扎实实把配方法训练好，做点“实在”的事情. D认为：例2这样一个历史素材真好，弃之可惜……
问题2：融入历史是一个好的视角，为什么效果不尽如人意？
课堂上“实在”的训练没做好，难道是因为数学史融入的影响？其实，在例2几何方法的探究中，老师讲解得有些“吃力”，课堂气氛一度“沉闷”，并没有“热闹非凡”的花架子，怎么就觉得不实在了？何为“实”，何为“虚”？有为实无为虚、真为实假为虚、客观为实主观为虚、显为实隐为虚、行为实言为虚、已知为实未知为虚、当前为实未来为虚. 罗列了这些不同视角下“虚”与“实”的解释，HPM视野下课堂教学的“虚”与“实”的意蕴何在？
公元七世纪，印度数学家婆罗芨多也采用了“配方法”，虽然本质与海伦一样，但在形式上做了改进，在方程的两边同乘4a而非a，使得结果更加简洁.
2. 反思与启发
一元二次方程来源于实际问题，主要涉及与几何中面积有关的问题，所以几何解法成为古代解一元二次方程最常见的方法. 几何方法是解一元二次方程的本源方法，形式多样. 解一元二次方程的解法——配方法依赖于开平方法. 方程与其他数学理论一样，经历发展的程序：（1）从实际需要，到方法的发现；（2）由方法到理论的形成；（3）理论的建立到实际应用.
现行的课堂教学，不重视从实际需要到方法的发现，以及方法的发现到理论形成的挖掘，重点只会放在第三个环节上，这导致学生虽然解方程游刃有余，可预见解决相关问题的时候，却束手无策.
从一元二次方程解法的历史中，我们的启示有：在教学中，直接涉及数学理论本身，即直接讲解“配方法”本身，显然是不合适的，也就是说，在学习花拉子米代数方法解方程的同时，也不能放弃对几何方法的探究，不能放弃对数学本源的探究.
古人用几何方法解一元二次方程，很巧妙，充满智慧. 古人为什么就能有这么巧妙的方法呢？除了因为一元二次方程问题主要产生于几何的原因，还有背景是那时没有符号代数，可以想象，要解决一道题目，用修辞代数表述多么烦琐，显然不及几何方法直观、明了. 但数学总是不断发展的，数学家花拉子米在《代数学》用两种几何方法解一元二次方程，说明他对一元二次方程问题构造了数学模型，对符号代数、数学理论的发展起到了推动作用.
通过几何方法讲解“一元二次方程的解法——配方法”的一般理论无疑为配方法的数学教学注入了新的视角. 我们也应该注意，由于古今数学发展水平、学习条件和环境的巨大差异，今天，学生对数学概念的认知过程与概念的历史发展过程之间的相似性只能是相对的、不严格的. 就一元二次方程而言，中世纪以前人们对几何方法的依赖是与修辞代数这一代数学发展的初级水平息息相关的. 而今天，学生在学习一元二次方程之前，已经完成了从算术到符号代数这一代数学高级水平的过渡. 我们的目光不能仅仅停留在过去，对于历史的遗留，除了继承，还应发展. 用发展的眼光审视历史，启示我们教学中既要索源，也要引流. 一元二次方程几何方法与代数配方法是“数形结合”自然的范本，但不能过分依赖几何方法.
设计历史套装：虚实结合，追求本质融合
1. 历史材料的显与隐
对于例1“ 一平方与十根等于二十迪拉姆平方，求根. 即求方程x2 10x=20的根”，可改进为： 如图4，已知一座房子的角落有一空地，想建成一个正方形小花圃，已知正方形的面积与周长的和为20，在其周围留宽为2的小路，小路上铺上地砖，求所需地砖的面积.
理由：直接置于一个几何背景中，体现了一元二次方程源于实际问题，也会让学生更加自然地接近几何方法. 同时隐去“迪拉姆”“古人”等无关紧要的话语，语言简洁、流畅，历史素材的使用简单明了，不着痕迹.
历史素材可以提高我们数学课堂教学的品质，渗透文化的要素，但不是说直接引入. 抽取历史中能实实在在引起学生思维冲突、促进学生思维、激发学生学习斗志与兴趣等本质的东西以及课堂中学生学习确实需要的要素，把这些呈现出来，这就是“实”. 不要把历史史料和盘托出，可隐去一些元素，如学生难以理解的古文等，因为过多这些元素的加入可能会无形中加大数学课堂学习的难度，干扰学生的注意力，冲淡学生理解数学主题.
古人云：“不全不粹之不足以为美.” 全，在我们这里应该指的就是实；粹，就是隐略或去掉粗的部分. “洗尽尘渣，独存孤迥”，历史材料在课堂中追求“全”和“粹”的辩证统一，则课堂教学自然会多几分美的欣赏.
2. 数学思想与知识的虚与实
解一元二次方程，几何方法的介入是对传统教学直接讲解配方法、单纯用代数方法的一次大大改进，让人耳目一新，为学生构建数学问题的几何模型提供了很好的素材，以致老师例1讲了几何方法，例2继续深入，舍不得丢了例2. 例2相对于例1来说，更能让学生深入思考，可是例2影响了一节课的教学效果，因为例2的讲解，后来已没有时间展现代数方法配方的一般步骤，课堂练习训练不到位. 这是“实”没做好. 如何利用好例2这个好素材？借用一点“明修栈道，暗度陈仓”的策略. 明面上，让学生扎扎实实掌握配方法，可以把例1学得更深入，在例1的几何方法之后，深入分析数与形之间的关系，同时给出配方法的定义和一般步骤. 呈现历史上海伦和婆罗芨多的配方法，让学生比对各种方法，同时在板书、训练等方面做实、做好. 例2可以留作练习，在众多练习中，选一题（例2）给出几何构图，暗地里悄悄渗透数形结合的思想，润物无声，看似“虚”，其实是真正的意图、长远的目标.
整合历史，吃透数学历史的精髓，拟成这节课的“虚线”和“实线”. 虚线是数形结合的数学思想，实线是让学生掌握解决一元二次方程的配方法. 虚与实是课堂的两翼，“避实就虚”或“就实避虚”都不可取，仅有哪一方面都会给数学学习带来不可弥补的缺憾.
兵法之：虚则实之，实则虚之，虚和实是矛盾统一体. 从这节课来看，实是代数配方法，虚是数形结合. 从长远看，数形结合是数学本质的思想方法，是实的，而这节课的具体知识是载体，是虚的. 虚实并御、虚实互济还需要一种整体性的教学思维，即从这节课出发，从一元二次方程的概念，到解一元二次方程的直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等，整体配置数学史料. （见表1）
这样便在教学配方法之前充分体现了方程来源于实际问题，凸显了几何背景，为配方法中几何方法的探究做铺垫，节省了这节课引入的时间，为后面的“实”留下了空间. 在每一节课中，“数形结合”隐隐渗透，是虚线，但每一节都渗透一点，却把数形结合的思想渗透做到了实处.
课堂演绎：虚实相生，追求自然融合
1. 课堂教学结构的虚实
狄德罗说：“美在关系. ”虚与实是一种结构性的关系，虚实关系的研究就是对虚实美学结构的研究. 课堂中的虚实是一个立体性的结构模型，虚中有实，实中有虚. 课堂教学也有结构的美，头重脚轻、前松后紧或前紧后松等都是不可取的. 在课堂上，哪些应该呈现出来，或者还要重点标注，显示出来，哪些不该显示出来，都应该有所讲究. 在呈现的历史史料中，有的故事或美丽的图片、诗歌等，如果用于激发学生的情趣，呈现的时间要短，可以放在学生一小段紧张的思维劳动后；对于启迪思维的本质要素，呈现的时间则要长. 课堂教学的虚实犹如太极拳，有快有慢，有徐有疾. 这节课过多的时间用于显示几何方法，代数方法这个实没有显示好，代数配方法没有有效稳固好，会影响虚，即所谓的以实才能出虚. 虚是指导思想，知识是一个载体，以虚出实. 虚实结合，才能化实为虚.
2. 教学方式的虚实
好的史料很多，但要仔细揣摩，讲究科学的教学方法，使其很好地融入课堂. 如果仅仅机械拼凑，教学方法不是有虚有实，就不能虚实交融. 例1、例2是一个类型，例2是在例1的基础上构图思路稍微复杂一些. 如果还用相同的教学方法，势必有一种“疲劳感”. 课后，有老师评论说例2会不会让学生觉得累了，累与不累也许可以不深究，但同一类例题，用相同的教学方式，不可取. 课堂教学中的虚实就是说不能平均用力，要有着力点，当然也有轻松点. 灵活多样的教学方式、手段肯定受学生欢迎. 既然例1已经仔细讲解、深入分析了，这就是“实实在在”，那例2就可以放手让学生自由发挥，换一换形式，由课内到课外. 不是所有的好东西都要老师讲，讲多了，嚼烂了喂给学生，学生吃了反而不会觉得香. 人们时常说课堂教学有留白艺术，即虚实结合. 没有通过虚与实的碰撞，就不会有交感、产生新质，而是一览而尽，略无余韵.
3. 学生思维的实意与虚境
在例1几何方法的探究中，有学生试着用代数方法配，即x2 10x=（x 5）2，尽管结果不对，但学生有了化归“直接开平方法”的意识，但老师没有理会学生. 由例1给出配方法的定义后，对于例2，很多学生直接用代数方法，那也是自然的事情，可老师“强拉”学生用几何方法，此时，学生不会觉得几何方法好，也不会领略到古人“思维”的魅力. 其实，这节课的历史相似性有些出入，原因在于学生的头脑中已有符号代数. 如果我们从学生的“实际”思维意图出发，顺势而下，做实学生的代数方法，介绍花拉子米的历史功绩，介绍“algebra”的由来（与解方程有关），顺势介绍花拉子米的几何方法，海伦和婆罗芨多的配方法，就能让学生比较自己与古人的方法，纵观古人代数方法的不断改进，比较几何方法与代数方法，体会数形结合，体会代数符号的作用，提高判断能力，增强批判意识. 其实，古人无论是几何方法还是代数方法，都是为了更简洁地表达与解决问题，这是数学求简精神的体现. 如果学生在体会中悟出这些，就能真正走进古人的心灵. 数学史融入数学教学与学习中的一个重要作用就在于培养人的才、学、识. 现在的教育重视“学”，即学知识，也强调“才”，即能力，但对“识”重视不够. “识”，即见识，是引导知识和能力走向何方的根本性问题，属于对知识融会贯通之后的个人见解，其背后的支撑是世界观、人生观. 数学史的作用恰恰在此体现.
从学生的实际思维出发，做实代数方法，利用几何方法等史料开拓“思界”，营造“虚”境，让学生穿越时空，与古人来一次对话，可谓今有代数方法、古有几何方法. 在自我体会中，加深对数学知识的理解，形成数学思想，领悟数学精神.
结语
以虚为本，以实为用. “以史为鉴”的数学课堂的虚境（数学思想渗透）的提炼，提升了数学课堂的文化品位；虚又需借实去表现，使重心落到实上，以实为用. 在虚的统运之下，实者逼肖，而虚者自出. “虚实结合”是数学史融入数学课堂的一种状态，糅合了数学史融入课堂的多种方法和途径，既重视针对性又关注发展性.
一线教师的大胆尝试所展示出的“理念”影响了我们甚至更多人，给我们带来了无尽的思考，这是可取之处. 数学史给数学教学带来了兴奋点，但我们必须认识到HPM视野下的数学课堂需要精耕细作，粗放式的融合将损害课堂教学，不能让人信服. 只有恰当地、适时地深度融合，做到简单而精巧，自然而不生硬，既“上得厅堂”，又“下得厨房”，既出现在公开课的“秀”上，也出现在日常课堂中，数学史与数学教育才会走出“高评价、低运用”的实然困境，发挥出它的应然向度.
[关键词] HPM； 课堂教学；虚与实
引言
随着 HPM 研究的不断深入，数学史和数学教学的结合已是一种国际数学课程改革的趋势. 数学史在数学教育的实际应用也备受关注. HPM的主旨是将数学史运用于数学教学中，以提升数学学习成效和教学品质. 要扩展数学教育中的历史维度，需要一个前提，那就是课堂教学中包含一些数学史会取得更好的效果. 为此，数学史内容进入课堂教学有许多“中间环节”需要研究. 以上海市某中学HPM的实验课“一元二次方程的解法——配方法”为例，谈谈HPM实践中的问题、困惑与反思.
问题的提出
方程是代数之花，一元二次方程蕴含着丰富的历史文化信息. 方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，应用广泛，而从实际问题中抽象出方程，并求出方程的解是解决问题的关键. 配方法既是解一元二次方程的一种重要方法，也是推导公式法的基础. 配方法还是初中数学的重要内容，在二次根式、代数式的变形及二次函数中都有广泛应用. 下面简单回顾教学过程如下：
3. 课堂练习
4.课时小结
课堂观察1：讲完例1，引出了配方法的定义. 对于例2，教师让学生独立尝试用几何方法解方程，但部分学生没有理会教师的要求，坚持用代数方法解，部分学生用代数方法解出后反推几何方法.
课堂观察2：由于x（x-4）=10涉及“x-4”，较例1难，学生思考的时间较长，而且几何方法构图方式多样，教学出现“疙”，费时较多.
问题1：课堂出现了引入时间很长，但练习训练时间很短的现象，即“头重脚轻”的现象. 让大家纠结的是，例2究竟要不要？
执教的老师直言，上课前有老师说不要，但自己觉得好，还是要了. 听课后，针对例2，大家的讨论意见如下. A认为：例1，老师讲的，例2，老师又作为例题来讲，学生会不会感觉累了？B认为：课堂引入这么长，例2还是不要了. C认为：学生由代数式想到配方法，不是很容易吗？何苦用几何方法绕半天？ 这不是为历史而历史吗？去掉挺好，扎扎实实把配方法训练好，做点“实在”的事情. D认为：例2这样一个历史素材真好，弃之可惜……
问题2：融入历史是一个好的视角，为什么效果不尽如人意？
课堂上“实在”的训练没做好，难道是因为数学史融入的影响？其实，在例2几何方法的探究中，老师讲解得有些“吃力”，课堂气氛一度“沉闷”，并没有“热闹非凡”的花架子，怎么就觉得不实在了？何为“实”，何为“虚”？有为实无为虚、真为实假为虚、客观为实主观为虚、显为实隐为虚、行为实言为虚、已知为实未知为虚、当前为实未来为虚. 罗列了这些不同视角下“虚”与“实”的解释，HPM视野下课堂教学的“虚”与“实”的意蕴何在？
公元七世纪，印度数学家婆罗芨多也采用了“配方法”，虽然本质与海伦一样，但在形式上做了改进，在方程的两边同乘4a而非a，使得结果更加简洁.
2. 反思与启发
一元二次方程来源于实际问题，主要涉及与几何中面积有关的问题，所以几何解法成为古代解一元二次方程最常见的方法. 几何方法是解一元二次方程的本源方法，形式多样. 解一元二次方程的解法——配方法依赖于开平方法. 方程与其他数学理论一样，经历发展的程序：（1）从实际需要，到方法的发现；（2）由方法到理论的形成；（3）理论的建立到实际应用.
现行的课堂教学，不重视从实际需要到方法的发现，以及方法的发现到理论形成的挖掘，重点只会放在第三个环节上，这导致学生虽然解方程游刃有余，可预见解决相关问题的时候，却束手无策.
从一元二次方程解法的历史中，我们的启示有：在教学中，直接涉及数学理论本身，即直接讲解“配方法”本身，显然是不合适的，也就是说，在学习花拉子米代数方法解方程的同时，也不能放弃对几何方法的探究，不能放弃对数学本源的探究.
古人用几何方法解一元二次方程，很巧妙，充满智慧. 古人为什么就能有这么巧妙的方法呢？除了因为一元二次方程问题主要产生于几何的原因，还有背景是那时没有符号代数，可以想象，要解决一道题目，用修辞代数表述多么烦琐，显然不及几何方法直观、明了. 但数学总是不断发展的，数学家花拉子米在《代数学》用两种几何方法解一元二次方程，说明他对一元二次方程问题构造了数学模型，对符号代数、数学理论的发展起到了推动作用.
通过几何方法讲解“一元二次方程的解法——配方法”的一般理论无疑为配方法的数学教学注入了新的视角. 我们也应该注意，由于古今数学发展水平、学习条件和环境的巨大差异，今天，学生对数学概念的认知过程与概念的历史发展过程之间的相似性只能是相对的、不严格的. 就一元二次方程而言，中世纪以前人们对几何方法的依赖是与修辞代数这一代数学发展的初级水平息息相关的. 而今天，学生在学习一元二次方程之前，已经完成了从算术到符号代数这一代数学高级水平的过渡. 我们的目光不能仅仅停留在过去，对于历史的遗留，除了继承，还应发展. 用发展的眼光审视历史，启示我们教学中既要索源，也要引流. 一元二次方程几何方法与代数配方法是“数形结合”自然的范本，但不能过分依赖几何方法.
设计历史套装：虚实结合，追求本质融合
1. 历史材料的显与隐
对于例1“ 一平方与十根等于二十迪拉姆平方，求根. 即求方程x2 10x=20的根”，可改进为： 如图4，已知一座房子的角落有一空地，想建成一个正方形小花圃，已知正方形的面积与周长的和为20，在其周围留宽为2的小路，小路上铺上地砖，求所需地砖的面积.
理由：直接置于一个几何背景中，体现了一元二次方程源于实际问题，也会让学生更加自然地接近几何方法. 同时隐去“迪拉姆”“古人”等无关紧要的话语，语言简洁、流畅，历史素材的使用简单明了，不着痕迹.
历史素材可以提高我们数学课堂教学的品质，渗透文化的要素，但不是说直接引入. 抽取历史中能实实在在引起学生思维冲突、促进学生思维、激发学生学习斗志与兴趣等本质的东西以及课堂中学生学习确实需要的要素，把这些呈现出来，这就是“实”. 不要把历史史料和盘托出，可隐去一些元素，如学生难以理解的古文等，因为过多这些元素的加入可能会无形中加大数学课堂学习的难度，干扰学生的注意力，冲淡学生理解数学主题.
古人云：“不全不粹之不足以为美.” 全，在我们这里应该指的就是实；粹，就是隐略或去掉粗的部分. “洗尽尘渣，独存孤迥”，历史材料在课堂中追求“全”和“粹”的辩证统一，则课堂教学自然会多几分美的欣赏.
2. 数学思想与知识的虚与实
解一元二次方程，几何方法的介入是对传统教学直接讲解配方法、单纯用代数方法的一次大大改进，让人耳目一新，为学生构建数学问题的几何模型提供了很好的素材，以致老师例1讲了几何方法，例2继续深入，舍不得丢了例2. 例2相对于例1来说，更能让学生深入思考，可是例2影响了一节课的教学效果，因为例2的讲解，后来已没有时间展现代数方法配方的一般步骤，课堂练习训练不到位. 这是“实”没做好. 如何利用好例2这个好素材？借用一点“明修栈道，暗度陈仓”的策略. 明面上，让学生扎扎实实掌握配方法，可以把例1学得更深入，在例1的几何方法之后，深入分析数与形之间的关系，同时给出配方法的定义和一般步骤. 呈现历史上海伦和婆罗芨多的配方法，让学生比对各种方法，同时在板书、训练等方面做实、做好. 例2可以留作练习，在众多练习中，选一题（例2）给出几何构图，暗地里悄悄渗透数形结合的思想，润物无声，看似“虚”，其实是真正的意图、长远的目标.
整合历史，吃透数学历史的精髓，拟成这节课的“虚线”和“实线”. 虚线是数形结合的数学思想，实线是让学生掌握解决一元二次方程的配方法. 虚与实是课堂的两翼，“避实就虚”或“就实避虚”都不可取，仅有哪一方面都会给数学学习带来不可弥补的缺憾.
兵法之：虚则实之，实则虚之，虚和实是矛盾统一体. 从这节课来看，实是代数配方法，虚是数形结合. 从长远看，数形结合是数学本质的思想方法，是实的，而这节课的具体知识是载体，是虚的. 虚实并御、虚实互济还需要一种整体性的教学思维，即从这节课出发，从一元二次方程的概念，到解一元二次方程的直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等，整体配置数学史料. （见表1）
这样便在教学配方法之前充分体现了方程来源于实际问题，凸显了几何背景，为配方法中几何方法的探究做铺垫，节省了这节课引入的时间，为后面的“实”留下了空间. 在每一节课中，“数形结合”隐隐渗透，是虚线，但每一节都渗透一点，却把数形结合的思想渗透做到了实处.
课堂演绎：虚实相生，追求自然融合
1. 课堂教学结构的虚实
狄德罗说：“美在关系. ”虚与实是一种结构性的关系，虚实关系的研究就是对虚实美学结构的研究. 课堂中的虚实是一个立体性的结构模型，虚中有实，实中有虚. 课堂教学也有结构的美，头重脚轻、前松后紧或前紧后松等都是不可取的. 在课堂上，哪些应该呈现出来，或者还要重点标注，显示出来，哪些不该显示出来，都应该有所讲究. 在呈现的历史史料中，有的故事或美丽的图片、诗歌等，如果用于激发学生的情趣，呈现的时间要短，可以放在学生一小段紧张的思维劳动后；对于启迪思维的本质要素，呈现的时间则要长. 课堂教学的虚实犹如太极拳，有快有慢，有徐有疾. 这节课过多的时间用于显示几何方法，代数方法这个实没有显示好，代数配方法没有有效稳固好，会影响虚，即所谓的以实才能出虚. 虚是指导思想，知识是一个载体，以虚出实. 虚实结合，才能化实为虚.
2. 教学方式的虚实
好的史料很多，但要仔细揣摩，讲究科学的教学方法，使其很好地融入课堂. 如果仅仅机械拼凑，教学方法不是有虚有实，就不能虚实交融. 例1、例2是一个类型，例2是在例1的基础上构图思路稍微复杂一些. 如果还用相同的教学方法，势必有一种“疲劳感”. 课后，有老师评论说例2会不会让学生觉得累了，累与不累也许可以不深究，但同一类例题，用相同的教学方式，不可取. 课堂教学中的虚实就是说不能平均用力，要有着力点，当然也有轻松点. 灵活多样的教学方式、手段肯定受学生欢迎. 既然例1已经仔细讲解、深入分析了，这就是“实实在在”，那例2就可以放手让学生自由发挥，换一换形式，由课内到课外. 不是所有的好东西都要老师讲，讲多了，嚼烂了喂给学生，学生吃了反而不会觉得香. 人们时常说课堂教学有留白艺术，即虚实结合. 没有通过虚与实的碰撞，就不会有交感、产生新质，而是一览而尽，略无余韵.
3. 学生思维的实意与虚境
在例1几何方法的探究中，有学生试着用代数方法配，即x2 10x=（x 5）2，尽管结果不对，但学生有了化归“直接开平方法”的意识，但老师没有理会学生. 由例1给出配方法的定义后，对于例2，很多学生直接用代数方法，那也是自然的事情，可老师“强拉”学生用几何方法，此时，学生不会觉得几何方法好，也不会领略到古人“思维”的魅力. 其实，这节课的历史相似性有些出入，原因在于学生的头脑中已有符号代数. 如果我们从学生的“实际”思维意图出发，顺势而下，做实学生的代数方法，介绍花拉子米的历史功绩，介绍“algebra”的由来（与解方程有关），顺势介绍花拉子米的几何方法，海伦和婆罗芨多的配方法，就能让学生比较自己与古人的方法，纵观古人代数方法的不断改进，比较几何方法与代数方法，体会数形结合，体会代数符号的作用，提高判断能力，增强批判意识. 其实，古人无论是几何方法还是代数方法，都是为了更简洁地表达与解决问题，这是数学求简精神的体现. 如果学生在体会中悟出这些，就能真正走进古人的心灵. 数学史融入数学教学与学习中的一个重要作用就在于培养人的才、学、识. 现在的教育重视“学”，即学知识，也强调“才”，即能力，但对“识”重视不够. “识”，即见识，是引导知识和能力走向何方的根本性问题，属于对知识融会贯通之后的个人见解，其背后的支撑是世界观、人生观. 数学史的作用恰恰在此体现.
从学生的实际思维出发，做实代数方法，利用几何方法等史料开拓“思界”，营造“虚”境，让学生穿越时空，与古人来一次对话，可谓今有代数方法、古有几何方法. 在自我体会中，加深对数学知识的理解，形成数学思想，领悟数学精神.
结语
以虚为本，以实为用. “以史为鉴”的数学课堂的虚境（数学思想渗透）的提炼，提升了数学课堂的文化品位；虚又需借实去表现，使重心落到实上，以实为用. 在虚的统运之下，实者逼肖，而虚者自出. “虚实结合”是数学史融入数学课堂的一种状态，糅合了数学史融入课堂的多种方法和途径，既重视针对性又关注发展性.
一线教师的大胆尝试所展示出的“理念”影响了我们甚至更多人，给我们带来了无尽的思考，这是可取之处. 数学史给数学教学带来了兴奋点，但我们必须认识到HPM视野下的数学课堂需要精耕细作，粗放式的融合将损害课堂教学，不能让人信服. 只有恰当地、适时地深度融合，做到简单而精巧，自然而不生硬，既“上得厅堂”，又“下得厨房”，既出现在公开课的“秀”上，也出现在日常课堂中，数学史与数学教育才会走出“高评价、低运用”的实然困境，发挥出它的应然向度.