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丁媛媛，高级教师，嘉兴市“高质量、高效率”教育教学能手，嘉兴经济技术开发区（国际商务区）教学能手。平时认真钻研教材，教学面向全体学生，基于学生认知起点，善于调动学生的学习主动性、积极性，课堂深受学生欢迎。工作以来曾多次获区级、街道优秀教师和先进工作者等荣誉，主持参与市、区级课题多个，承担市、区级公开课及讲座10多次，撰写的教育教学论文获省、市、区级奖项及各级各类杂志发表30多篇。教学理念：上高效的课堂，做有趣的老师。
【摘要】表征是学习者思维活动表达的过程和呈现的形式。不同的表征，反映了学生对认知对象的不同加工水平。学生在表达搭配问题时也展现了许多不同的方式，教师依据不同的表征方式对学生的思维过程进行解析，认清学生的思维状况，设计有针对性的教学策略，引导学生的思维从直观形象层面向抽象概括水平发展，提升学生思维力。
【关键词】数学广角 思维表征 思维水平 搭配
表征是学习者思维活动表达的过程和呈现的形式。学习者对认知对象的表征方式不同，反映的是其大脑加工过程的不同。数学知识学习同样如此。有研究者认为：以直观表征（如动作表征和图形表征）方式为主的学生，一般形象思维比较强，抽象思维能力较弱;利用符号表征的方式学习思考的学生，思维严谨规范，逻辑性强，抽象思维水平比较高。本文以人教版数学三年级下册“数学广角——搭配（二）”一课的教学为例，对学生在学习活动中生成的学习材料，从思维表征的维度进行解读分析，认清学生思维过程的异同，并就有效组织教学提出一些建议。
教师在课始呈现了如下学习任务：
这是教材的原有例题，设计意图在于：为学生提供生活中熟悉的衣服搭配的现实背景进入学习，易于激发学生的学习兴趣，把握问题结构。同时，也便于学生借助生活经验理解、思考并解决数学问题。
执教班级共有学生42人，现针对学生自主探索后的结果做分析。
学生主要用文字、原实物图、图形与数字等几种方式来呈现结果。具体人数比例如下表：
从表中数据我们可以发现，76.2%的学生用文字和原实物图像来表示结论。表达时，有学生还很细致地把上装分为长袖、短袖，下装分为短裙、裤子和长裙，甚至还描绘出了衣服上的花纹。这样的方式，在教师看来并不直观和简约，表达费时也不太方便，但对处于“具体运算阶段”的儿童来说，却是认识的基本方式。数据还告诉我们，能够想到用简约的图形或数字来表达思考过程的学生只有21%，可见这个年龄阶段的学生符号意识和抽象表达的意识均不强。
从学生的表达结果中我们还发现，学生在解决问题的过程中，其思考的过程也存在着明显的差异。有的学生用直接描述，有的学生是罗列，还有的学生结合符号的连线，而有一部分学生则是直接用算式表示结果。为了对学生的思维过程有更加清晰地了解， 教师又根据学生例题解答的情况，对学生进行了访谈，最终把学生在解决这个问题过程中体现出来的抽象思维水平分为以下几个层次：
从上表可以看出，无法全面、有序地解决服装搭配问题的水平0和水平1的學生总数占比不足10%;90%以上的学生不仅能解决，还使用了不同的表征（如文字、画图、图形）等方式把自己的想法写出来、画出来，水平2的学生采用枚举法，其思维处于罗列水平;水平3的学生用文字或原图配合连线的方法来表征，抽象思维水平高于水平2的学生;水平4的学生能利用图形或数字代替上装和下装并配合连线表征，抽象思维水平更高;有16.7%的学生能根据具体的表征抽象出数学模型，直接列式计算解决问题，属于思维最高层次水平5。由此可见， 搭配服装的思路和结果已经不应成为本课教学的重难点。教学中，让学生观察讨论抽象思维水平2至水平5中不同表征方式，启发学生对比方法的异同，体会抽象化图形、数字表征方式的优势，感悟其隐含的思维价值，更能体现本节内容学习的意义。
东北师范大学史宁中教授认为，就抽象的深度而言，大体上分为三个阶段：简约阶段、符号阶段、普适阶段。简约阶段是指把握事物的本质，把复杂的问题简单化、条理化，能够清晰地表达的阶段;符号阶段是指去掉具体的内容，利用概念、图形、符号、关系表达包括已经简化了的事物在内的一类事物;普适阶段是指通过假设和推理建立法则、模式或者模型，能够在一般意义上解释具体事物。这三个阶段中，简约阶段最为基础，也相当重要，因为小学阶段学生的思维特点是形象思维占主导的。唯有积累了相当丰富的简约化经验后，才能更好地进入符号化、逻辑化阶段。
由此，笔者针对“数学广角——搭配（二）”一课的例题探究后的进一步组织教学提出以下建议：
一、循思而导，经历具体到抽象的过程
“数学广角——搭配（二）”中涉及排列与组合的内容，对于三年级学生来说，还是比较抽象的。教学中，教师需要把握学生的思维基础，才能做出针对性的引导。这也是“以学定教”课堂的基本要求。
课堂上，教师可以提出这样一个学习任务：一共有多少种不同的穿法？同学们能把搭配的过程表示出来吗？此问题把学生从仅仅关注答案引导到关注寻找答案的过程上，在学习单上把动态的思考过程呈现出来，既生成丰富的教学资源，又展现了学生的思考过程。此时，教师通过交流，引导学生经历“文字枚举—实物连线—图形连线—整体对比”的反馈教学（如图1），体会表征方式从烦琐到简约，从具体到抽象的演变过程。当然，过程中教师需要引导学生学会看懂别人的图示，体会不同的表征方式所蕴含的不同思维价值。
二、以问聚焦，引导把握知识的本质
对于三年级学生来说，其思维更多停留在具体形象思维层面上。此时便需要教师通过质疑、追问等方式，引导学生深入思考，关注数学知识的本质内涵。
比如，当呈现学生符号化图示（如图2）后，教师追问：你是怎么想到用○来表示上装和下装的？为什么还要在旁边标注上装和下装？不标注可以吗？有什么办法吗？当呈现图3时，教师可这样问：你的△和○分别表示什么？你是怎么想的？还需要加上标注吗？为什么？学生呈现图4后继续追问：图上的数字是什么意思你们看得懂吗？除了用图形和数字组合之外，还可以用什么方式来表示？怎样的表示方法既能区分上装和下装，又能区分是第几件呢？你有什么好办法呢？目的在于引领学生体会：图形 数字、图形 颜色、字母 数字等简约化表达的数学意义。
在学生学习数学的过程中，知识技能的理解与掌握是重要的，而充分体会数学规律的发现、抽象、概括的过程，对学生体悟数学抽象、发展抽象思维能力更有意义。
三、回顾比较，体悟数学抽象的特质内涵
数学方法的体悟与习得，并不是一蹴而就的，它需要多次的往复，不断地经历与体验。符号化作为本节课的重要思想，就具有这样的特点。本节课结合学习内容的回顾与比较，是一种很好地帮助学生体会与发展符号意识的重要方式。
课堂上，当学生完成例题的学习并把抽象出来的数学模型应用于解决其他问题后，教师可以引导学生对比解决两个不同问题的图示（如图5）：为什么图中物品数量增加了，情况更复杂了，你反而更快地完成了呢？
这样的问题，更多在于引导学生通过比较，真切体会符号化表达的简约，更加简洁地解决数学问题。如果还有学生不能感受这种特点，教师可再进一步拓展和延伸，再增加一杯饮料或者一份点心，让学生思考搭配方法和结果，并再次组织学生对比思考：增加一杯饮料与增加一份点心，两种“搭配的结果”一样吗？如果不一样，它们的区别又在哪里呢？请用简洁、清晰的方式展示你的思考过程。如此帮助学生进一步体会采用符号化的思考与运算，使得解决问题的过程与表达更简洁、思维更清晰的过程，而这也正是数学抽象的魅力所在。
【摘要】表征是学习者思维活动表达的过程和呈现的形式。不同的表征，反映了学生对认知对象的不同加工水平。学生在表达搭配问题时也展现了许多不同的方式，教师依据不同的表征方式对学生的思维过程进行解析，认清学生的思维状况，设计有针对性的教学策略，引导学生的思维从直观形象层面向抽象概括水平发展，提升学生思维力。
【关键词】数学广角 思维表征 思维水平 搭配
表征是学习者思维活动表达的过程和呈现的形式。学习者对认知对象的表征方式不同，反映的是其大脑加工过程的不同。数学知识学习同样如此。有研究者认为：以直观表征（如动作表征和图形表征）方式为主的学生，一般形象思维比较强，抽象思维能力较弱;利用符号表征的方式学习思考的学生，思维严谨规范，逻辑性强，抽象思维水平比较高。本文以人教版数学三年级下册“数学广角——搭配（二）”一课的教学为例，对学生在学习活动中生成的学习材料，从思维表征的维度进行解读分析，认清学生思维过程的异同，并就有效组织教学提出一些建议。
教师在课始呈现了如下学习任务：
这是教材的原有例题，设计意图在于：为学生提供生活中熟悉的衣服搭配的现实背景进入学习，易于激发学生的学习兴趣，把握问题结构。同时，也便于学生借助生活经验理解、思考并解决数学问题。
执教班级共有学生42人，现针对学生自主探索后的结果做分析。
学生主要用文字、原实物图、图形与数字等几种方式来呈现结果。具体人数比例如下表：
从表中数据我们可以发现，76.2%的学生用文字和原实物图像来表示结论。表达时，有学生还很细致地把上装分为长袖、短袖，下装分为短裙、裤子和长裙，甚至还描绘出了衣服上的花纹。这样的方式，在教师看来并不直观和简约，表达费时也不太方便，但对处于“具体运算阶段”的儿童来说，却是认识的基本方式。数据还告诉我们，能够想到用简约的图形或数字来表达思考过程的学生只有21%，可见这个年龄阶段的学生符号意识和抽象表达的意识均不强。
从学生的表达结果中我们还发现，学生在解决问题的过程中，其思考的过程也存在着明显的差异。有的学生用直接描述，有的学生是罗列，还有的学生结合符号的连线，而有一部分学生则是直接用算式表示结果。为了对学生的思维过程有更加清晰地了解， 教师又根据学生例题解答的情况，对学生进行了访谈，最终把学生在解决这个问题过程中体现出来的抽象思维水平分为以下几个层次：
从上表可以看出，无法全面、有序地解决服装搭配问题的水平0和水平1的學生总数占比不足10%;90%以上的学生不仅能解决，还使用了不同的表征（如文字、画图、图形）等方式把自己的想法写出来、画出来，水平2的学生采用枚举法，其思维处于罗列水平;水平3的学生用文字或原图配合连线的方法来表征，抽象思维水平高于水平2的学生;水平4的学生能利用图形或数字代替上装和下装并配合连线表征，抽象思维水平更高;有16.7%的学生能根据具体的表征抽象出数学模型，直接列式计算解决问题，属于思维最高层次水平5。由此可见， 搭配服装的思路和结果已经不应成为本课教学的重难点。教学中，让学生观察讨论抽象思维水平2至水平5中不同表征方式，启发学生对比方法的异同，体会抽象化图形、数字表征方式的优势，感悟其隐含的思维价值，更能体现本节内容学习的意义。
东北师范大学史宁中教授认为，就抽象的深度而言，大体上分为三个阶段：简约阶段、符号阶段、普适阶段。简约阶段是指把握事物的本质，把复杂的问题简单化、条理化，能够清晰地表达的阶段;符号阶段是指去掉具体的内容，利用概念、图形、符号、关系表达包括已经简化了的事物在内的一类事物;普适阶段是指通过假设和推理建立法则、模式或者模型，能够在一般意义上解释具体事物。这三个阶段中，简约阶段最为基础，也相当重要，因为小学阶段学生的思维特点是形象思维占主导的。唯有积累了相当丰富的简约化经验后，才能更好地进入符号化、逻辑化阶段。
由此，笔者针对“数学广角——搭配（二）”一课的例题探究后的进一步组织教学提出以下建议：
一、循思而导，经历具体到抽象的过程
“数学广角——搭配（二）”中涉及排列与组合的内容，对于三年级学生来说，还是比较抽象的。教学中，教师需要把握学生的思维基础，才能做出针对性的引导。这也是“以学定教”课堂的基本要求。
课堂上，教师可以提出这样一个学习任务：一共有多少种不同的穿法？同学们能把搭配的过程表示出来吗？此问题把学生从仅仅关注答案引导到关注寻找答案的过程上，在学习单上把动态的思考过程呈现出来，既生成丰富的教学资源，又展现了学生的思考过程。此时，教师通过交流，引导学生经历“文字枚举—实物连线—图形连线—整体对比”的反馈教学（如图1），体会表征方式从烦琐到简约，从具体到抽象的演变过程。当然，过程中教师需要引导学生学会看懂别人的图示，体会不同的表征方式所蕴含的不同思维价值。
二、以问聚焦，引导把握知识的本质
对于三年级学生来说，其思维更多停留在具体形象思维层面上。此时便需要教师通过质疑、追问等方式，引导学生深入思考，关注数学知识的本质内涵。
比如，当呈现学生符号化图示（如图2）后，教师追问：你是怎么想到用○来表示上装和下装的？为什么还要在旁边标注上装和下装？不标注可以吗？有什么办法吗？当呈现图3时，教师可这样问：你的△和○分别表示什么？你是怎么想的？还需要加上标注吗？为什么？学生呈现图4后继续追问：图上的数字是什么意思你们看得懂吗？除了用图形和数字组合之外，还可以用什么方式来表示？怎样的表示方法既能区分上装和下装，又能区分是第几件呢？你有什么好办法呢？目的在于引领学生体会：图形 数字、图形 颜色、字母 数字等简约化表达的数学意义。
在学生学习数学的过程中，知识技能的理解与掌握是重要的，而充分体会数学规律的发现、抽象、概括的过程，对学生体悟数学抽象、发展抽象思维能力更有意义。
三、回顾比较，体悟数学抽象的特质内涵
数学方法的体悟与习得，并不是一蹴而就的，它需要多次的往复，不断地经历与体验。符号化作为本节课的重要思想，就具有这样的特点。本节课结合学习内容的回顾与比较，是一种很好地帮助学生体会与发展符号意识的重要方式。
课堂上，当学生完成例题的学习并把抽象出来的数学模型应用于解决其他问题后，教师可以引导学生对比解决两个不同问题的图示（如图5）：为什么图中物品数量增加了，情况更复杂了，你反而更快地完成了呢？
这样的问题，更多在于引导学生通过比较，真切体会符号化表达的简约，更加简洁地解决数学问题。如果还有学生不能感受这种特点，教师可再进一步拓展和延伸，再增加一杯饮料或者一份点心，让学生思考搭配方法和结果，并再次组织学生对比思考：增加一杯饮料与增加一份点心，两种“搭配的结果”一样吗？如果不一样，它们的区别又在哪里呢？请用简洁、清晰的方式展示你的思考过程。如此帮助学生进一步体会采用符号化的思考与运算，使得解决问题的过程与表达更简洁、思维更清晰的过程，而这也正是数学抽象的魅力所在。