论文部分内容阅读
苏教版五年级上册的“除数是小数的除法”，通过“妈妈买鸡蛋用去7.98元，鸡蛋4.2元/千克，妈妈买了多少千克鸡蛋？”的购物情境让学生列出算式7.98÷4.2，引导学生思考“除数是小数的除法，能不能转化成除数是整数的除法来计算”。
教材的安排是通过例题引导学生去探究除数是一位小数的算法，将除数转化成整数后进行计算，即根据商不变的规律，把被除数与除数同时扩大10倍，把“7.98÷4.2”转化成“79.8÷42”，这样就可以根据前面所学习的知识进行计算。承前，演绎的是除数是整数的小数除法的计算法则，启后，教学的是如何确定商的小数点位置。这样，为什么只需要将除数转化成整数以及如何确定商的小数点位置就成了本节课研究与讨论的重点，也是本节课的难点。
针对以上分析，教研组决定从关键的两点出发，对本校五年级一个班48名学生展开前测，希望能够看到学生真实的原生态状态。
同學们，这是一份前测试卷，你不用写自己的名字，请把你的真实想法写出来。
1.你会算“3.84÷2.4”吗？请用算式表示出你的思路。
2.如果用竖式来计算“3.84÷2.4”该怎么办？请写出你的结果。
期待你的精彩表现！
统计结果表明，不同的学生有着不同的认知水平，同时测试的结果也反映了学生的困惑。
困惑一，究竟是将除数转化为整数，还是将被除数与除数都转化为整数？
前测第1题的统计结果如下。
原来学生心中装着这么多的算法，如果不给学生一个明确的答案，这些困惑将一直影响着学生。对于如何计算，教材给出了一条建设性的建议：
除数是小数的除法，能不能转化成除数是整数的除法来计算？
至于如何转化，为什么要转化？教材没有过多的涉及，学生对此又不甚了解。更重要的是，如果单从教材给出的建议“转化成除数是整数的除法计算”，上述“方法二”“方法三”以及“方法四”都可以算是教材建议下的三种不同演绎。
方法二，“（3.84×10）÷（2.4×10）”，严格按照教材的要求将除数还原成整数，然后被除数相应地扩大相同的倍数，在很多教师眼里这也是最正统、最合乎规范的计算方法，用此方法的人占全班人数的52.1%;方法三，“（3.84×100）÷（2.4×100）”，的确是将除数转化成了整数，但它同时还兼顾被除数小数的位数，将被除数以及除数都转化成整数，它符合学生的认知规律，从算理上讲也无可挑剔，有四分之一的学生选择此种方法就是最好的见证;方法四，“（3.84×100）÷（2.4×10）÷10”，也代表着部分学生的认知，将被除数、除数分别扩大一定的倍数，使它们同时成为整数，只不过因为最后两者扩大的倍数不一样，如果需要还原成正确的结果还要再次除以10 。
教师请学生就上面三种不同的算法展开讨论。经过讨论以后首先将方法四给否定了。虽然最后的“÷10”有一定的道理，但过不了竖式这一关，更重要的是，如果将“÷10”与这道算式中的“3.84×100”结合起来理解，实际上就是将3.84扩大10倍。这样来看，方法四与方法二如出一辙。
方法二和方法三究竟孰优孰劣，还真是难分伯仲。教师不置可否，只是在黑板上写下了这样的两组算式：
[第一组 456÷12 456÷1.2 456÷0.12 456÷0.012 第二组 4.56÷0.12 0.456÷0.12 0.0456÷0.12 456÷0.12 ]
经过讨论，全班同学基本形成共识。对于第一组，虽然被除数都是整数也没有发生变化，但是如果借助以前学习的知识来解决问题的话，还需要将除数转化成整数，不难看出，这里的被除数是不是整数无关紧要，最关键的还是要把除数转化成整数。第二组，就更加明显，虽然被除数各不相同，但只需要将相同的除数“0.12”转化成“12”就可运用除数是整数的除法进行计算了，当然也可以将被除数、除数一并转化成整数，比如“0.0456÷0.12”可以转化成“456÷1200”进行计算，这样算出来的结果也是一样的，但数据过大计算烦琐一些。
到此为止，困扰学生的第一个问题基本解决了，就是除数是小数的除法首先要将除数转化成整数再进行计算。
困惑二，除数是小数的除法究竟如何进行竖式计算？
前测第2题，虽然大部分学生都知道将除数转化成整数进行计算，但是列竖式计算以及商的小数点位置确定是易错点。统计结果表明，全班48名学生有6种不同的方法。
对“方法①”，全班一致认为没有研究的价值。
剩下的5种方法中，学生都将除数转化成整数来计算，这里的主要问题有两个，首先是商的小数点位置如何确定？其次就是在竖式的中间需不需要写上小数点？
商的小数点位置究竟写在什么地方？全班分成两派，第一种认为商的小数点与被除数的小数点对齐，因为在学习“除数是整数的小数除法”中就是将商的小数点与被除数的小数点对齐的;第二种认为必须与变化后的被除数小数点对齐，因为这里已经不将除数看成“2.4”了，而是看成了“24个十分之一”或“240个百分之一”，所以算出来的结果应该表示成多少个“十分之一”或者“百分之一”，所以不必要与被除数的小数点对齐。
最后有位学生站起来说，不管是“除数是小数的除法”，还是四年级学习过的“除数是整十、整百数等的除法”，实际上它们的依据都是一样的，都是商不变规律。他还在黑板上写下了算式“12000÷800”，并从两个不同的阵营中各请一名学生上台板演，结果却是出奇的一致。为什么呢？因为根据商不变规律，最后应该转化成“120÷8”，这里的“8”实际上表示的是“8个百”，这样列出的竖式中的“12000”也相应地表示“120个百”，不管怎样，只要能够得到“120”里面有多少个“8”就可以解决问题了，而在这个竖式中，商的位置并不是与原来的被除数的相对应的位置对齐的，是与变化后的数位相对应。至此，学生豁然开朗。
至于竖式的中间需不需要写上小数点，由于经过前面的讨论，再结合前面对除数是整数的除法的认识，到此学生基本上已经不存在问题了。
就这样，教研活动从学生的前测结果出发，引导学生展开推理活动，组织深入的研讨，有针对性地对课堂进行调整，让学生不仅知其然，更知其所以然。用教材中原来的例题作为后测素材，结果十分喜人。
（江苏省南京市拉萨路小学
教材的安排是通过例题引导学生去探究除数是一位小数的算法，将除数转化成整数后进行计算，即根据商不变的规律，把被除数与除数同时扩大10倍，把“7.98÷4.2”转化成“79.8÷42”，这样就可以根据前面所学习的知识进行计算。承前，演绎的是除数是整数的小数除法的计算法则，启后，教学的是如何确定商的小数点位置。这样，为什么只需要将除数转化成整数以及如何确定商的小数点位置就成了本节课研究与讨论的重点，也是本节课的难点。
针对以上分析，教研组决定从关键的两点出发，对本校五年级一个班48名学生展开前测，希望能够看到学生真实的原生态状态。
同學们，这是一份前测试卷，你不用写自己的名字，请把你的真实想法写出来。
1.你会算“3.84÷2.4”吗？请用算式表示出你的思路。
2.如果用竖式来计算“3.84÷2.4”该怎么办？请写出你的结果。
期待你的精彩表现！
统计结果表明，不同的学生有着不同的认知水平，同时测试的结果也反映了学生的困惑。
困惑一，究竟是将除数转化为整数，还是将被除数与除数都转化为整数？
前测第1题的统计结果如下。
原来学生心中装着这么多的算法，如果不给学生一个明确的答案，这些困惑将一直影响着学生。对于如何计算，教材给出了一条建设性的建议：
除数是小数的除法，能不能转化成除数是整数的除法来计算？
至于如何转化，为什么要转化？教材没有过多的涉及，学生对此又不甚了解。更重要的是，如果单从教材给出的建议“转化成除数是整数的除法计算”，上述“方法二”“方法三”以及“方法四”都可以算是教材建议下的三种不同演绎。
方法二，“（3.84×10）÷（2.4×10）”，严格按照教材的要求将除数还原成整数，然后被除数相应地扩大相同的倍数，在很多教师眼里这也是最正统、最合乎规范的计算方法，用此方法的人占全班人数的52.1%;方法三，“（3.84×100）÷（2.4×100）”，的确是将除数转化成了整数，但它同时还兼顾被除数小数的位数，将被除数以及除数都转化成整数，它符合学生的认知规律，从算理上讲也无可挑剔，有四分之一的学生选择此种方法就是最好的见证;方法四，“（3.84×100）÷（2.4×10）÷10”，也代表着部分学生的认知，将被除数、除数分别扩大一定的倍数，使它们同时成为整数，只不过因为最后两者扩大的倍数不一样，如果需要还原成正确的结果还要再次除以10 。
教师请学生就上面三种不同的算法展开讨论。经过讨论以后首先将方法四给否定了。虽然最后的“÷10”有一定的道理，但过不了竖式这一关，更重要的是，如果将“÷10”与这道算式中的“3.84×100”结合起来理解，实际上就是将3.84扩大10倍。这样来看，方法四与方法二如出一辙。
方法二和方法三究竟孰优孰劣，还真是难分伯仲。教师不置可否，只是在黑板上写下了这样的两组算式：
[第一组 456÷12 456÷1.2 456÷0.12 456÷0.012 第二组 4.56÷0.12 0.456÷0.12 0.0456÷0.12 456÷0.12 ]
经过讨论，全班同学基本形成共识。对于第一组，虽然被除数都是整数也没有发生变化，但是如果借助以前学习的知识来解决问题的话，还需要将除数转化成整数，不难看出，这里的被除数是不是整数无关紧要，最关键的还是要把除数转化成整数。第二组，就更加明显，虽然被除数各不相同，但只需要将相同的除数“0.12”转化成“12”就可运用除数是整数的除法进行计算了，当然也可以将被除数、除数一并转化成整数，比如“0.0456÷0.12”可以转化成“456÷1200”进行计算，这样算出来的结果也是一样的，但数据过大计算烦琐一些。
到此为止，困扰学生的第一个问题基本解决了，就是除数是小数的除法首先要将除数转化成整数再进行计算。
困惑二，除数是小数的除法究竟如何进行竖式计算？
前测第2题，虽然大部分学生都知道将除数转化成整数进行计算，但是列竖式计算以及商的小数点位置确定是易错点。统计结果表明，全班48名学生有6种不同的方法。
对“方法①”，全班一致认为没有研究的价值。
剩下的5种方法中，学生都将除数转化成整数来计算，这里的主要问题有两个，首先是商的小数点位置如何确定？其次就是在竖式的中间需不需要写上小数点？
商的小数点位置究竟写在什么地方？全班分成两派，第一种认为商的小数点与被除数的小数点对齐，因为在学习“除数是整数的小数除法”中就是将商的小数点与被除数的小数点对齐的;第二种认为必须与变化后的被除数小数点对齐，因为这里已经不将除数看成“2.4”了，而是看成了“24个十分之一”或“240个百分之一”，所以算出来的结果应该表示成多少个“十分之一”或者“百分之一”，所以不必要与被除数的小数点对齐。
最后有位学生站起来说，不管是“除数是小数的除法”，还是四年级学习过的“除数是整十、整百数等的除法”，实际上它们的依据都是一样的，都是商不变规律。他还在黑板上写下了算式“12000÷800”，并从两个不同的阵营中各请一名学生上台板演，结果却是出奇的一致。为什么呢？因为根据商不变规律，最后应该转化成“120÷8”，这里的“8”实际上表示的是“8个百”，这样列出的竖式中的“12000”也相应地表示“120个百”，不管怎样，只要能够得到“120”里面有多少个“8”就可以解决问题了，而在这个竖式中，商的位置并不是与原来的被除数的相对应的位置对齐的，是与变化后的数位相对应。至此，学生豁然开朗。
至于竖式的中间需不需要写上小数点，由于经过前面的讨论，再结合前面对除数是整数的除法的认识，到此学生基本上已经不存在问题了。
就这样，教研活动从学生的前测结果出发，引导学生展开推理活动，组织深入的研讨，有针对性地对课堂进行调整，让学生不仅知其然，更知其所以然。用教材中原来的例题作为后测素材，结果十分喜人。
（江苏省南京市拉萨路小学