从小学五年级开始，大家就知道，一个数的末位上的数字能被2、5整除，则这个数能被2、5整除，一个数的末两位的数字能被4、25整除，则这个数能被4、25整除，一个数的末三位数能被8、125整除，则这个数能被8、125整除等。当然，整除还有其他的性质，比如，如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除；如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除；如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除；如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。对这些性质的理解非常重要，大家在以后的数学学习中会经常遇到。
　　一、根据整除的数字特征求余数问题
　　定理：设a是整数，s、b是自然数，且a能被b整除，s除以b的余数是r（0　　证明：设a、s除以b所得的商分别是m、q，那么由已知条件可知，a=bm，s=bq+r（0　　例1设被除数为N=amam-1…a1a0，除数为b=11，求11|N的余数。
　　解析：设A=a1+a3+a5+…
　　B=a0+a2+a4+…
　　m=a1+9a2+（90+1）a3+909a4+…
　　因为N=a0+（11-1）a1+（99+1）a2+（990+11-1）a3+（9999+1）a4+…
　　=11[a1+9a2+（90+1）a3+909a4+…]+（a0+a2+…）-（a1+a3+…）
　　=11m+（B-A），（B-A≥0），11m-（A-B），（B-A<0）（m是整数）。
　　（1）如果B≥A，那么B-A除以11所得的余数就是N除以11所得的余数。
　　（2）如果B　　二、根据整除的数字特征求解整除问题
　　例2对任意给定的n∈N+，若n6+3a为正整数的立方，其中a为正整数，则（）。
　　A.这样的a有无数个
　　B.这样的a存在，只有有限个且不唯一
　　C.这样的a存在且唯一
　　D.这样的a不存在
　　解析：令a=3mn4+9m2n2+9m2，m∈N+，n6+3a=（n2+3m）3，则有无数个a满足要求，故选A。
　　例3在1，2，3，…，2000，2001，2002，2003这2003个数的前面任意添加一个正号或负号，则这些数的代数和是（）。
　　A.奇数B.偶数
　　C.3的倍数D.以上都不对
　　解析：因为两个整数的和与差的奇偶性相同，所以不论正、负号如何添加，它们的代数和的奇偶性都与1+2+3+…+2002+2003的奇偶性相同，而1+2+3+…+2002+2003=（1001个偶数）+（1002个奇数）=偶数，所以任意添加正、负号后的代数和一定是偶数。故选B。
　　例4在已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干个数之和能被11整除的数组共有组。
　　解析：由于是考虑被11整除的问题，故可将原数列改写为1，4，-3，-1，5，-3，-1，3，-3，-1。设其前n项和為Sn，则S1=S4=S10=1，S2=S8=5，S3=S7=S9=2，这样能被11整除的数组共有C23+C22+C23=7（组），它们是S4-S1，S10-S1，S10-S4，S8-S2，S7-S3，S9-S3，S9-S7。
　　作者单位：河南省新乡幼儿师范学校