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反比例函数、勾股定理、四边形、数据的分析知识在初中数学中具有承上启下的作用,也是学好其他知识的重要工具,既是初中数学的重要内容,也是中考的热点.现就这部分的知识要点作如下回顾,供同学们参考.
一、反比例函数
知识要点
反比例函数图像的性质:反比例函数 y=(k为常数,且x≠0)的图像是两条双曲线,分别位于不同象限,它们分别延着x轴、y轴无限延伸,但永远不与坐标轴相交.当x>0时,函数图像的两个分支分别位于第一、三象限内,在每一个象限内, y随着x的增大而减小;当x<0时,函数图像的两个分支分别位于第二、四象限内,在每一个象限内,y随着x 的增大而增大.
注意:双曲线的两个分支是断开的,在研究函数的增减性时,要对两个分支分别讨论,不能混为一谈.
考点解密
1.会画反比例函数的图像,并了解其性质;
2.会用待定系数法确定反比例函数的解析式;
3.会用反比例函数解决简单的实际问题.
链接中考
例1 (2009年黄石考题)反比例函数y= 的图像在每个象限内,y随x的增大而增大,则k___________.
解析:由反比例函数图像的特点可知,此反比例函数的系数为负,即2k-3<0,解不等式得,k< .
点拨:根据反比例函数图像的性质确定比例系数的正负是正确解此题的关键.
例2 (2009年遂宁考题)如图1,已知直线 y=ax+b经过点A(0,-3),与x轴交于点C,且与双曲线相交于点B(-4 ,-a )、点D.
(1)求直线和双曲线的函数关系式;
(2)求△CDO(其中O为原点)的面积.
解析:(1)将A、B两点的坐标代入直线解析式得
-3=b,-a=-4a+b, 解得a=-1,b=-3.
所以直线的函数关系式为y=-x-3 ,点B的坐标为(-4,1).
设双曲线的函数关系式为 y=, 将点B坐标代入得,k=-4.双曲线的函数关系式为 y=-.
(2)解方程组y=-x-3,y=-得,x1=-4,y1=1,x2=1,y2=-4, 所以点D的坐标为(1,-4),则点D到x轴的距离为4.
在y=-x-3中,令y=0得,x=-3 ,即OC=3,所以△CDO的面积为×3×4=6.
点拨:两个函数图像的交点坐标就是这两个函数解析式所组成的方程组的解.
二、勾股定理
知识要点
勾股定理的应用:(1)已知直角三角形的两边,求第三边;(2)已知直角三角形的一边,求另两边的关系;(3)证明平方关系;(4)借助勾股定理的方程模型,研究实际问题.
考点解密
1.掌握勾股定理的内容,并会利用拼图的方法来验证勾股定理;
2.给出直角三角形的其中两边,能利用勾股定理准确求出第三边,也能利用勾股定理的逆定理,从给定的三角形三边长来判断一个三角形是否是直角三角形;
3.能综合利用勾股定理及其逆定理建立数学模型,解决简单的实际问题.
链接中考
例3 (2009年深圳考题)如图2,在Rt△ABC中,∠C=90,点D是BC上一点,AD=BD,若AB=8,BD=5,则CD=_________.
解析:设CD=x.
在Rt△ABC中,AC2+(CD+BD)2=AB2 ,即AC2=AB2
-(CD+BD)2=64-(x+5)2.
在Rt△ADC中,AC2+CD2=AD2,即AC2 =AD2-CD2 =
25-x2.
所以64-(x+5)2 =25-x2,解得,x=1.4,即CD的值为1.4.
点拨:勾股定理反映了直角三角形三边之间的数量关系,利用勾股定理列方程可使思路清晰,直观易懂.
例4 (2009年河南考题)动手操作:在矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=5.如图3所示,折叠纸片,使点A落在BC边上的A′处,折痕为PQ,当点A′在BC边上移动时,折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动,则点A′在BC边上可移动的最大距离为_________.
解析:通过动手操作可以发现,当点A′在BC边上移动时,点P、Q在AB、AD边上的位置及折线PQ的变化关系.
当点P与点B重合(如图3)时,BA′=BA=3,则A′C=5-3=2;
当点Q与点D重合(如图4)时,A′D=AD=5,CD=3,由勾股定理可以求得A′C===4,从而得出点A′在BC边上可移动的最大距离为4-2=2.即A′在BC边上可移动的最大距离为2.
点拨:近几年的中考试题提倡在“做数学”中学数学,通过动手操作、剪拼组合来考查对知识的掌握程度.
三、四边形
知识要点
平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的定义及其性质.
考点解密
1.会运用平行四边形的性质解决线段相等、角相等以及求值问题;
2.会运用平行四边形的定义及判定定理判断一个四边形是否为平行四边形;
3.能够运用特殊平行四边形的定义、性质、判定定理解答与四边形有关的问题.
链接中考
例5 (2009年黄岗考题)如图5,在△ABC中,∠ACB=90,点E为AB中点,连结CE,过点E作ED⊥BC于点D,在DE的延长线上取一点F,使AF=CE.
求证:四边形ACEF是平行四边形.
证明:∵∠ACB=90,AE=EB,
∴CE=AE=EB,
∵AF=CE,∴AF=CE=AE=EB,
∵ED⊥BC,EB=EC,∴∠1=∠2,
∵∠2=∠3,∠3=∠F,
∴∠1=∠F,
∴CE∥AF,
又∵CE=AF,
∴四边形ACEF是平行四边形
点拨:本题涉及到的知识点较多,熟练掌握三角形和平行四边形的知识是解题的关键.
例6 (2009年恩施考题)两个完全相同的矩形纸片ABCD、 BFDE如图6放置,AB=BF .
求证:四边形BNDM为菱形.
证明:∵四边形ABCD、BFDE是矩形,
∴BM∥DN,DM∥BN ,
∴四边形BNDM是平行四边形,
∵AB=BF=ED,∠A=∠E=90,∠AMB=∠EMD,
∴△ABM≌△EDM,
∴BM=DM,
∴四边形BNDM是菱形.
点拨:本题涉及矩形的性质,平行四边形的判定,三角形全等和菱形的判定.通过△ABM≌△EDM得到BM=DM,是解题的关键.
四、数据的分析
知识要点
1.中位数:求中位数时,必须先将数据由小到大(或由大到小)排列,再找到中位数的序号,且一组数据的中位数是唯一的.
2.众数:众数是一组数据中出现次数最多的数据,而不是该数据出现的次数,如果有几个数据出现的次数一样且最多,那么这几个数据都是这组数据的众数,即一组数据的众数不唯一.
3.极差:一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差.
4.方差:设有n个数x1,x2,…,xn,各个数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1-x)2,(x2-x)2…,(xn-x)2 ,我们用它们的平均数即S2=[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2 ]来衡量这组数据的波动程度,并把它叫做这组数据的方差.
考点解密
1.会求一组数据的中位数和众数;
2.会计算极差和方差,理解它们的统计意义,会用它们判断数据的波动情况;
链接中考
例7 (2009年泰安考题)某校为了了解七年级学生的身高情况(单位:cm,精确到1cm),抽查了部分学生,将所得数据处理后分成7组(每组只含最低值,不含最高值),并制成下面两个图表(如图7、8).
根据以上信息可知,样本的中位数落在( ).
A.第二组 B.第三组 C.第四组 D.第五组
解析:从统计表中可知,第二组人数为12人,而从扇形统计图可知,第二组人数占12%,从而可以求得抽查的学生总人数为100人.再由第三组人数占18%,第五组人数占24%,第六组人数占10%,求得第三组18人,第五组24人,第六组10人,其中位数应是第50和51号数据的平均值,而这两个数据都落在第四组,故选C.
点拨:由统计图表求得各组人数,再根据中位数的定义,即可得知中位数落在第几组.从统计图表中获取相关信息是解本题的关键.
例8 (2009年孝感考题)某一段时间,小芳测得连续5天的日最低气温后,整理得出下表(有两个数据被遮盖).
被遮盖的两个数据依次是( ).
A.3℃,2 B.3℃, C.2℃,2 D.2℃,
解析:先由平均气温求得第5天的最低气温,再根据方差公式求得方差.
设第5天的最低气温为x℃,则有
=1,x=3 .
S2=[(1-1)2+(-1-1)2+(2-1)2+(0-1)2+(3-1)2]=2.
即第5天的最低气温为3℃,方差为2,故选A.
点拨:本题重点考查学生对所给的数据进行运算和处理的能力,解题的关键是熟练运用平均数、方差的计算公式.
一、反比例函数
知识要点
反比例函数图像的性质:反比例函数 y=(k为常数,且x≠0)的图像是两条双曲线,分别位于不同象限,它们分别延着x轴、y轴无限延伸,但永远不与坐标轴相交.当x>0时,函数图像的两个分支分别位于第一、三象限内,在每一个象限内, y随着x的增大而减小;当x<0时,函数图像的两个分支分别位于第二、四象限内,在每一个象限内,y随着x 的增大而增大.
注意:双曲线的两个分支是断开的,在研究函数的增减性时,要对两个分支分别讨论,不能混为一谈.
考点解密
1.会画反比例函数的图像,并了解其性质;
2.会用待定系数法确定反比例函数的解析式;
3.会用反比例函数解决简单的实际问题.
链接中考
例1 (2009年黄石考题)反比例函数y= 的图像在每个象限内,y随x的增大而增大,则k___________.
解析:由反比例函数图像的特点可知,此反比例函数的系数为负,即2k-3<0,解不等式得,k< .
点拨:根据反比例函数图像的性质确定比例系数的正负是正确解此题的关键.
例2 (2009年遂宁考题)如图1,已知直线 y=ax+b经过点A(0,-3),与x轴交于点C,且与双曲线相交于点B(-4 ,-a )、点D.
(1)求直线和双曲线的函数关系式;
(2)求△CDO(其中O为原点)的面积.
解析:(1)将A、B两点的坐标代入直线解析式得
-3=b,-a=-4a+b, 解得a=-1,b=-3.
所以直线的函数关系式为y=-x-3 ,点B的坐标为(-4,1).
设双曲线的函数关系式为 y=, 将点B坐标代入得,k=-4.双曲线的函数关系式为 y=-.
(2)解方程组y=-x-3,y=-得,x1=-4,y1=1,x2=1,y2=-4, 所以点D的坐标为(1,-4),则点D到x轴的距离为4.
在y=-x-3中,令y=0得,x=-3 ,即OC=3,所以△CDO的面积为×3×4=6.
点拨:两个函数图像的交点坐标就是这两个函数解析式所组成的方程组的解.
二、勾股定理
知识要点
勾股定理的应用:(1)已知直角三角形的两边,求第三边;(2)已知直角三角形的一边,求另两边的关系;(3)证明平方关系;(4)借助勾股定理的方程模型,研究实际问题.
考点解密
1.掌握勾股定理的内容,并会利用拼图的方法来验证勾股定理;
2.给出直角三角形的其中两边,能利用勾股定理准确求出第三边,也能利用勾股定理的逆定理,从给定的三角形三边长来判断一个三角形是否是直角三角形;
3.能综合利用勾股定理及其逆定理建立数学模型,解决简单的实际问题.
链接中考
例3 (2009年深圳考题)如图2,在Rt△ABC中,∠C=90,点D是BC上一点,AD=BD,若AB=8,BD=5,则CD=_________.
解析:设CD=x.
在Rt△ABC中,AC2+(CD+BD)2=AB2 ,即AC2=AB2
-(CD+BD)2=64-(x+5)2.
在Rt△ADC中,AC2+CD2=AD2,即AC2 =AD2-CD2 =
25-x2.
所以64-(x+5)2 =25-x2,解得,x=1.4,即CD的值为1.4.
点拨:勾股定理反映了直角三角形三边之间的数量关系,利用勾股定理列方程可使思路清晰,直观易懂.
例4 (2009年河南考题)动手操作:在矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=5.如图3所示,折叠纸片,使点A落在BC边上的A′处,折痕为PQ,当点A′在BC边上移动时,折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动,则点A′在BC边上可移动的最大距离为_________.
解析:通过动手操作可以发现,当点A′在BC边上移动时,点P、Q在AB、AD边上的位置及折线PQ的变化关系.
当点P与点B重合(如图3)时,BA′=BA=3,则A′C=5-3=2;
当点Q与点D重合(如图4)时,A′D=AD=5,CD=3,由勾股定理可以求得A′C===4,从而得出点A′在BC边上可移动的最大距离为4-2=2.即A′在BC边上可移动的最大距离为2.
点拨:近几年的中考试题提倡在“做数学”中学数学,通过动手操作、剪拼组合来考查对知识的掌握程度.
三、四边形
知识要点
平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的定义及其性质.
考点解密
1.会运用平行四边形的性质解决线段相等、角相等以及求值问题;
2.会运用平行四边形的定义及判定定理判断一个四边形是否为平行四边形;
3.能够运用特殊平行四边形的定义、性质、判定定理解答与四边形有关的问题.
链接中考
例5 (2009年黄岗考题)如图5,在△ABC中,∠ACB=90,点E为AB中点,连结CE,过点E作ED⊥BC于点D,在DE的延长线上取一点F,使AF=CE.
求证:四边形ACEF是平行四边形.
证明:∵∠ACB=90,AE=EB,
∴CE=AE=EB,
∵AF=CE,∴AF=CE=AE=EB,
∵ED⊥BC,EB=EC,∴∠1=∠2,
∵∠2=∠3,∠3=∠F,
∴∠1=∠F,
∴CE∥AF,
又∵CE=AF,
∴四边形ACEF是平行四边形
点拨:本题涉及到的知识点较多,熟练掌握三角形和平行四边形的知识是解题的关键.
例6 (2009年恩施考题)两个完全相同的矩形纸片ABCD、 BFDE如图6放置,AB=BF .
求证:四边形BNDM为菱形.
证明:∵四边形ABCD、BFDE是矩形,
∴BM∥DN,DM∥BN ,
∴四边形BNDM是平行四边形,
∵AB=BF=ED,∠A=∠E=90,∠AMB=∠EMD,
∴△ABM≌△EDM,
∴BM=DM,
∴四边形BNDM是菱形.
点拨:本题涉及矩形的性质,平行四边形的判定,三角形全等和菱形的判定.通过△ABM≌△EDM得到BM=DM,是解题的关键.
四、数据的分析
知识要点
1.中位数:求中位数时,必须先将数据由小到大(或由大到小)排列,再找到中位数的序号,且一组数据的中位数是唯一的.
2.众数:众数是一组数据中出现次数最多的数据,而不是该数据出现的次数,如果有几个数据出现的次数一样且最多,那么这几个数据都是这组数据的众数,即一组数据的众数不唯一.
3.极差:一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差.
4.方差:设有n个数x1,x2,…,xn,各个数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1-x)2,(x2-x)2…,(xn-x)2 ,我们用它们的平均数即S2=[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2 ]来衡量这组数据的波动程度,并把它叫做这组数据的方差.
考点解密
1.会求一组数据的中位数和众数;
2.会计算极差和方差,理解它们的统计意义,会用它们判断数据的波动情况;
链接中考
例7 (2009年泰安考题)某校为了了解七年级学生的身高情况(单位:cm,精确到1cm),抽查了部分学生,将所得数据处理后分成7组(每组只含最低值,不含最高值),并制成下面两个图表(如图7、8).
根据以上信息可知,样本的中位数落在( ).
A.第二组 B.第三组 C.第四组 D.第五组
解析:从统计表中可知,第二组人数为12人,而从扇形统计图可知,第二组人数占12%,从而可以求得抽查的学生总人数为100人.再由第三组人数占18%,第五组人数占24%,第六组人数占10%,求得第三组18人,第五组24人,第六组10人,其中位数应是第50和51号数据的平均值,而这两个数据都落在第四组,故选C.
点拨:由统计图表求得各组人数,再根据中位数的定义,即可得知中位数落在第几组.从统计图表中获取相关信息是解本题的关键.
例8 (2009年孝感考题)某一段时间,小芳测得连续5天的日最低气温后,整理得出下表(有两个数据被遮盖).
被遮盖的两个数据依次是( ).
A.3℃,2 B.3℃, C.2℃,2 D.2℃,
解析:先由平均气温求得第5天的最低气温,再根据方差公式求得方差.
设第5天的最低气温为x℃,则有
=1,x=3 .
S2=[(1-1)2+(-1-1)2+(2-1)2+(0-1)2+(3-1)2]=2.
即第5天的最低气温为3℃,方差为2,故选A.
点拨:本题重点考查学生对所给的数据进行运算和处理的能力,解题的关键是熟练运用平均数、方差的计算公式.