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摘要：本文基于一定高温环境下经过热防护服传热到假人皮肤的热传导模型进行研究。我们对测试数据进行处理，得到假人表皮温度随时间变化的曲线，由此将温度场随时间的变化过程分化为暂态和稳态两部分，基于传热学的专业理论，暂态方面基于傅里叶定律和微元思想得到热传导定律偏微分形式，稳态方面通过构建逐层温度差分方程获得一维热传导问题的稳态解。基于两方面即得到温度在时间、空间两个维度上的分布场。
关键词：傅里叶定律;一维热传导模型;温度场分布
一、问题背景
热防护服装是应用人群非常庞大的一种服装，同时，热防护也是一项非常重要的功能，不断被人们关注，对其要求也逐渐提高。热防护服装的研究对我国的纺织行业的发展有着不可磨灭的作用。我们知道，像在战场、火场、石油化工厂等场景工作的人员经常遭受着高温液体和气体的伤害，而且，这些热量通过服装到达人体之后，皮肤和内脏都会有轻重不一的热损伤。所以，为了不让这些现象发生，我们就需要建立热防护服装的温度分布模型。
在高温环境下工作时，人们需要穿着专用服装避免灼伤。专用服装通常由三层织物材料构成，记为I、II、III层，其中I层与外界环境接触，III层与皮肤之间还存在空隙，将此空隙记为IV层。
为设计专用服装，将体内温度控制在37℃的假人放置在实验室的高温环境中，测量假人皮肤外侧的温度，利用材料的已知参数，对环境温度为75℃、II层厚度为6mm、IV层厚度为5mm、工作时间为90分钟的情形开展实验，测量得到假人皮肤外侧的温度数据。建立数学模型，计算温度分布。
二、模型假设
（一）热传导沿垂直于皮肤方向进行，故系统可假设为一维模型。
（二）热防护服的材质均匀，防护服与假人的形状抽象为均质套合柱体。
（三）忽略水蒸气、温度等对材料热传导率的影响，即同一介质中热传导率是一个恒定属性。
（四）温度在变化过程中是连续的。
（五）IV层空隙内的空气很薄，厚度值不超过6.4mm，不考虑热对流的情况。
（六）认为固体接触界面的热通量恒定。
（七）皮下组织的底部和人体的核心体温均为37℃，防护服初始温度和人体体温一致。
（八）假设防护服外侧可以阻挡大部分热辐射，可以忽略热辐射对织物与皮肤之间的热传导的影响。
三、符号说明
四、模型建立与求解
（一）问题的分析
在问题的大背景中我们了解到，这种高温作业专用服装由三层织物材料构成，即I、II、III层，并存在空隙层IV层，叙述中将四个层的厚度均给予确定的数值，如图示意：
在环境温度T0=75℃的稳定外界环境下，进行时长90min的工作。我们知道各层材料的密度、比热容、热传导率三种物性参量的准确值，根据数据，得到这种情况下的假人皮肤外侧温度随时间的分布，曲线如下：
通过对温度随时间变化图像的分析，我们从中可以看出，温度在t=0时刻从接近人体体温的位置开始缓慢上升，直到达到48℃左右开始接近平缓至稳定不变，那么我们可将温度场在时间维度上的变化分为两个阶段，分析温度场分布时将两种状态分开，即暂态分析和稳态分析。
顾名思义，暂态的分析是一个变化的过程，因此可以基于传热学的一些基本定律在时间和空间两个维度上取微元构建一维偏微分方程，运用数学物理方法中的一些手段以及Matlab相关化简及求数值解的算法，期望得到一个可描述暂态阶段的温度场函数T（x，t），并绘制出其空间曲面图。
对于稳态的分析，稳态即是一个传热达到动态平衡，从宏观上讲温度在时间上基本达到恒定的过程，那么我们可以初步考虑，试图用空间维度的角度，描述温度场在x轴方向上的分布特點，其中可以采用逐层差分的方式构建方程，基于稳态传热学相关理论进行合理的分析和求解。
（二）模型的建立
1.一维稳态热传导问题及其分析
对于任意层的多层壁的导热问题，假定层与层间接触良好，没有引入附加热阻，层间分界面就不会发生温度降落，且各分界面分别维持在均匀而稳定的温度上。已知各层厚度DⅠ、DⅡ、DⅢ、DⅣ，平壁无内热源，各层热传导率λ1 、λ2 、λ3 、λ4以及多层壁两外表面的温度T（假人体表温度）和T0（环境温度），由上述条件确定通过多层壁的热流密度q和各层平壁的层间温度。
由传热学中温度分布方程：
结合傅里叶热传导定律：
即可得到表达式：
写出各层的热阻表达式热阻叠加即可导得热流密度计算公式：
反解层间分界面上的温度：
2.一维暂态热传导问题
（1）一维热传导方程的构建和推广
服装材料密度ρ，比热容为c，热传导系数为λ，以与外界环境直接接触的I层处取原点，以垂直于皮肤的热传导方向确定x轴方向，即各层节点坐标确定为（x，0），以x轴法平面方向，确定温度u（x，t）满足的方程。
由傅里叶热传导定律：
五、模型评价
（一）模型的优点
1.将热传导过程分为稳态和暂态两种情况下分析，稳态下确定线性关系，暂态下应用微元思想建立偏微分方程进行推导和求解，并将传热学知识理论专业地应用于本题防护服设计实处上。
2.我们利用Matlab软件实现对方程的化简求解、对数据的拟合绘图，并使用了工具箱解决优化问题，使模型的解决更具合理性和准确性，在真正实施过程中保留了可不断修正的余地。
（二）模型的缺点
1.实际上热传递形式有三种，即传导、辐射、对流，而在本模型从建立到实施过程中，由于各层材料和参数限制，辐射和对流两种情况对温度场的影响并不能进行深度剖析，因此具备一定局限性和片面性。 2.模型复杂因素较多，其中各参量之间关系错综复杂，即使我们进行了合理的假设，依然无可避免与实际存在差异。
参考文献：
[1]卢琳珍.多层热防护服装的热传递模型及参数最优决定[D].浙江理工大学，2017.
[2]杨世铭.传热学（第四版）[M].高等教育出版社，2016.
[3]程建春.数学物理方程及其近似解法[M].科学出版社，2004.
[4]温正.MATLAB 8.0从入门到精通[M].清华大学出版社，2013.
[5]司守奎，孙兆亮.数学建模算法与应用（第二版）[M].国防工业出版社，2015.
[6]王健，趙国生.MATLAB数学建模与仿真[M].清华大学出版社，2015.
[7]卢琳珍.应用三层热防护服热传递改进模型的皮肤烧伤度预测[J].纺织学报，2018.
[8]王海燕.复合墙体热工特性与能耗分析[D].哈尔滨工业大学，2007.
[9]G.N. Mercer and H.S. Sidhu. Mathematical modelling of the effect of fire exposure on a new type of protective clothing[J].ANZI AM Journal，2007.
[10]G.W. Song，R. Barker and H. Hamouda. Modeling the th ermal protective perfor mance of heat resistant gar ments in flash fire exposures[J].Textile Research Journal，2004，74（12）：103340.
[11]G.W.Song，P.Chitrphiromsri，D.Ding.Numerical simulations of heat and moisture transport in thermal protective clothing under flash fire conditions[J].International Journal of Occupational Safety and Ergonomics Jose，2008，14（1）：89-106.
关键词：傅里叶定律;一维热传导模型;温度场分布
一、问题背景
热防护服装是应用人群非常庞大的一种服装，同时，热防护也是一项非常重要的功能，不断被人们关注，对其要求也逐渐提高。热防护服装的研究对我国的纺织行业的发展有着不可磨灭的作用。我们知道，像在战场、火场、石油化工厂等场景工作的人员经常遭受着高温液体和气体的伤害，而且，这些热量通过服装到达人体之后，皮肤和内脏都会有轻重不一的热损伤。所以，为了不让这些现象发生，我们就需要建立热防护服装的温度分布模型。
在高温环境下工作时，人们需要穿着专用服装避免灼伤。专用服装通常由三层织物材料构成，记为I、II、III层，其中I层与外界环境接触，III层与皮肤之间还存在空隙，将此空隙记为IV层。
为设计专用服装，将体内温度控制在37℃的假人放置在实验室的高温环境中，测量假人皮肤外侧的温度，利用材料的已知参数，对环境温度为75℃、II层厚度为6mm、IV层厚度为5mm、工作时间为90分钟的情形开展实验，测量得到假人皮肤外侧的温度数据。建立数学模型，计算温度分布。
二、模型假设
（一）热传导沿垂直于皮肤方向进行，故系统可假设为一维模型。
（二）热防护服的材质均匀，防护服与假人的形状抽象为均质套合柱体。
（三）忽略水蒸气、温度等对材料热传导率的影响，即同一介质中热传导率是一个恒定属性。
（四）温度在变化过程中是连续的。
（五）IV层空隙内的空气很薄，厚度值不超过6.4mm，不考虑热对流的情况。
（六）认为固体接触界面的热通量恒定。
（七）皮下组织的底部和人体的核心体温均为37℃，防护服初始温度和人体体温一致。
（八）假设防护服外侧可以阻挡大部分热辐射，可以忽略热辐射对织物与皮肤之间的热传导的影响。
三、符号说明
四、模型建立与求解
（一）问题的分析
在问题的大背景中我们了解到，这种高温作业专用服装由三层织物材料构成，即I、II、III层，并存在空隙层IV层，叙述中将四个层的厚度均给予确定的数值，如图示意：
在环境温度T0=75℃的稳定外界环境下，进行时长90min的工作。我们知道各层材料的密度、比热容、热传导率三种物性参量的准确值，根据数据，得到这种情况下的假人皮肤外侧温度随时间的分布，曲线如下：
通过对温度随时间变化图像的分析，我们从中可以看出，温度在t=0时刻从接近人体体温的位置开始缓慢上升，直到达到48℃左右开始接近平缓至稳定不变，那么我们可将温度场在时间维度上的变化分为两个阶段，分析温度场分布时将两种状态分开，即暂态分析和稳态分析。
顾名思义，暂态的分析是一个变化的过程，因此可以基于传热学的一些基本定律在时间和空间两个维度上取微元构建一维偏微分方程，运用数学物理方法中的一些手段以及Matlab相关化简及求数值解的算法，期望得到一个可描述暂态阶段的温度场函数T（x，t），并绘制出其空间曲面图。
对于稳态的分析，稳态即是一个传热达到动态平衡，从宏观上讲温度在时间上基本达到恒定的过程，那么我们可以初步考虑，试图用空间维度的角度，描述温度场在x轴方向上的分布特點，其中可以采用逐层差分的方式构建方程，基于稳态传热学相关理论进行合理的分析和求解。
（二）模型的建立
1.一维稳态热传导问题及其分析
对于任意层的多层壁的导热问题，假定层与层间接触良好，没有引入附加热阻，层间分界面就不会发生温度降落，且各分界面分别维持在均匀而稳定的温度上。已知各层厚度DⅠ、DⅡ、DⅢ、DⅣ，平壁无内热源，各层热传导率λ1 、λ2 、λ3 、λ4以及多层壁两外表面的温度T（假人体表温度）和T0（环境温度），由上述条件确定通过多层壁的热流密度q和各层平壁的层间温度。
由传热学中温度分布方程：
结合傅里叶热传导定律：
即可得到表达式：
写出各层的热阻表达式热阻叠加即可导得热流密度计算公式：
反解层间分界面上的温度：
2.一维暂态热传导问题
（1）一维热传导方程的构建和推广
服装材料密度ρ，比热容为c，热传导系数为λ，以与外界环境直接接触的I层处取原点，以垂直于皮肤的热传导方向确定x轴方向，即各层节点坐标确定为（x，0），以x轴法平面方向，确定温度u（x，t）满足的方程。
由傅里叶热传导定律：
五、模型评价
（一）模型的优点
1.将热传导过程分为稳态和暂态两种情况下分析，稳态下确定线性关系，暂态下应用微元思想建立偏微分方程进行推导和求解，并将传热学知识理论专业地应用于本题防护服设计实处上。
2.我们利用Matlab软件实现对方程的化简求解、对数据的拟合绘图，并使用了工具箱解决优化问题，使模型的解决更具合理性和准确性，在真正实施过程中保留了可不断修正的余地。
（二）模型的缺点
1.实际上热传递形式有三种，即传导、辐射、对流，而在本模型从建立到实施过程中，由于各层材料和参数限制，辐射和对流两种情况对温度场的影响并不能进行深度剖析，因此具备一定局限性和片面性。 2.模型复杂因素较多，其中各参量之间关系错综复杂，即使我们进行了合理的假设，依然无可避免与实际存在差异。
参考文献：
[1]卢琳珍.多层热防护服装的热传递模型及参数最优决定[D].浙江理工大学，2017.
[2]杨世铭.传热学（第四版）[M].高等教育出版社，2016.
[3]程建春.数学物理方程及其近似解法[M].科学出版社，2004.
[4]温正.MATLAB 8.0从入门到精通[M].清华大学出版社，2013.
[5]司守奎，孙兆亮.数学建模算法与应用（第二版）[M].国防工业出版社，2015.
[6]王健，趙国生.MATLAB数学建模与仿真[M].清华大学出版社，2015.
[7]卢琳珍.应用三层热防护服热传递改进模型的皮肤烧伤度预测[J].纺织学报，2018.
[8]王海燕.复合墙体热工特性与能耗分析[D].哈尔滨工业大学，2007.
[9]G.N. Mercer and H.S. Sidhu. Mathematical modelling of the effect of fire exposure on a new type of protective clothing[J].ANZI AM Journal，2007.
[10]G.W. Song，R. Barker and H. Hamouda. Modeling the th ermal protective perfor mance of heat resistant gar ments in flash fire exposures[J].Textile Research Journal，2004，74（12）：103340.
[11]G.W.Song，P.Chitrphiromsri，D.Ding.Numerical simulations of heat and moisture transport in thermal protective clothing under flash fire conditions[J].International Journal of Occupational Safety and Ergonomics Jose，2008，14（1）：89-106.