论文部分内容阅读
【摘 要】 新一轮的数学课程改革提出六大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析.如何将提升学生的核心素养落实到位，是当前中学教师亟需解决的问题.六大核心素养是在比较各国课程标准，研究国际数学教育发展，结合我国基础教育的状况下提出的，既继承了上一轮课程改革的优秀成果，又推动了我国数学教育的国际化.课堂教学将数学核心素养落实到位，学生才能理解数学.
【关键词】 核心素养；直观想象；截面；球
笔者在市教学研讨会上执教了一节高三理科复习课《球与几何体的切接问题》，在备课的过程中深入思考教学中如何落实数学核心素养，提升学生对问题的理解和解决能力.立体几何教学侧重提升学生的直观想象素养，备课中以高考真题为切入点，以数学方法为立足点，以提升数学核心素养为落脚点.
1 分析高考真题，提炼关键信息
分析 （1）真题中与球相关的题目侧重考查学生的空间想象能力，对作图能力要求较高.表现在：五年高考7题中3题有图，其中2题为三视图问题.说明高考题目要求学生必须能够作出直观图，然后利用直观图分析问题，学生要有较强的几何作图能力；（2）以截面问题为主，需选择恰当的截面解决问题，考查平面化的方法；（3）几何载体多变，以体积或表面积的计算为主.
结论 高考题目从“几何作图”和“分析图形”两个角度考查直观想象核心素养，同时考查“逻辑推理”和“数学运算”两个核心素养.
2 选择典型例题，提炼数学方法
鉴于对高考真题的分析，例题的选择具备以下两点特征：（1）题目中通常无直观图；（2）能从多角度入手解决问题.
例1 球O与棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面都相切，点M为棱DD1的中点，则平面ACM截球O所得截面的面积为（ ）.
A.4π3 B. π C. 2π3 D. π3
教学片段1：
师：同学们，你们解答这道题的困惑在哪里？
生（齐答）：不知道截面的位置.
师：截面的形状是什么？
生（齐答）：圆.
小组合作交流：大家思考截面的准确位置在哪里？（教师展示直观图）
生1：截面的形状是圆，在O1点处与直线AC相切.
师：如何求出这个截面圆的半径？请小组讨论一下.
生2：在截面O1DMO中，△O1OM为直角三角形，求出OO2的长度，然后利用勾股定理得出半径O1O2的长度.
生3：在Rt△O1OM中，利用射影定理求.由OO12= O1O2×O1M得出半径O1O2的长度.
生4：以O为坐标原点，OM为x轴，OO1为y轴，建立平面直角坐标系.求出直线O1M和直线OO2的方程，联立这两条直线的方程得到O2的坐标，然后利用两点间的距离公式得出半径O1O2的长度.
师：很好！咱们同学利用解析法解决立体几何问题，知识交汇，思路可嘉！请同学们思考，解决此类问题的关键是什么？
生5：首先，画出直观图，选取合适的截面图；然后，利用平面几何知识解答.
师：点M的位置与所画直观图正方体顶点字母顺序的关联程度很强，如果大家发现不容易看出截面图时，就要重新画图，交换点M的位置.按照“画出直观图——寻找截面圖——确定算法”三步走，此种类型的题目可快速解答！
设计意图 让学生有意识地去寻找截面图，认识球体中重要的三角形——球的半径、球心到小圆面的距离、小圆的半径构成的直角三角形.体会勾股定理和射影定理在解决此类问题中的应用.使学生对高考题形成初步感知，掌握问题求解的一般思路，重点强化平面化方法.
巩固反馈 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA1，DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（ ）.
A.22 B.1 C.1 22 D.2
设计意图 强化学生在球中寻找截面和构造重要直角三角形的意识，进一步明确“构造直角三角形”是解决此类问题的基本方法.
例2 （2009全国Ⅰ理15）直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于（ ）.
教学片段2：
师：请同学们作出直观图，寻找截面，并确定算法.
2分钟后.
师：你解答此题的困惑在哪里？
生6：球心和截面小圆的半径找不到.
师：换个角度想，直棱柱的外接球的球心位置在哪个平面内？
生7：（讨论后）球心在直棱柱高线的中垂面处.但是，具体的位置不好确定.
师：具体的说，直棱柱的外接球的球心在上、下底面外接圆圆心连线的中点处.
师：那么，球心到小圆面的距离是否可以直接得出？
生7：距离为1.就是直棱柱侧棱长的一半.
生（齐）：哦……
师：我们已经构造了直角三角形，请同学们思考，如何求出△ABC外接圆的半径？
生8：利用正弦定理求出.
设计意图 几何体的结构特征可以为解题提供思路.基于直棱柱和球的结构特征，本例中球心的位置可以“忽略”，球心到小圆面的距离就是直棱柱侧棱长的一半，小圆的半径就是底面三角形外接圆的半径，用勾股定理求得直棱柱的外接球半径即可.熟练之后，此类问题便可以“以想代算”.同时，本例与正弦定理关联，拓宽了解题视野.
巩固反馈 已知三棱锥P-ABC，在底面△ABC中，∠CAB=60°，BC=3，PA⊥面ABC，PA=2，则此三棱锥外接球的半径为（ ）.
设计意图 本题的几何体可以补体为直棱柱，然后采用例2的方法，快速找到球心到小圆面的距离，简化运算.让学生在解题的过程中体会补形的思想与类比的方法，提倡并鼓励一题多解. 3 开展头脑风暴，优化思维结构
例3 四面体ABCD中，共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长别分为1、6、3，若四面体ABCD的四个项点同在一个球面上，则这个球的表面积为（ ）.
师：同学们思考，如何得到四面体ABCD外接球的半径？
生9：因为四面体ABCD中，共顶点A的三条棱两两相互垂直，可以构造长方体，从而得出外接球的直径为2R=12 （6）2 32=4.
师：非常好！请同学们思考，哪种类型的四面体外接球问题可以构造长方体？
生10：共顶点的三条侧棱两两垂直.
生11：共顶点的三个面互相垂直.
生12：底面为直角三角形，并且有一条侧棱垂直于底面.
师：很好，还有吗？
生（齐）：（沉默）没有了.
师：（在长方体中板演）三条棱顺次首尾相连，且互相垂直，能否构造长方体？
生（齐）：……可以.
师：（在长方体中板演）三组相对棱长度分别相等的四面体，能否构造长方体？
生（齐）：……可以.
师：其实，只要是从长方体中提取不共面的四个点构成的四面体，都可以进行如此“逆”操作，补体为一个长方体.
师：请同学们对上述问题进行归纳研究，并分析此四面体的体积与补体得到的长方体的体积之间的关系？留作课后研究性学习，写成小论文，展示交流.
設计意图 通过构造几何体得到问题的答案，本质是“建立数学模型”和“解答数学模型”的过程，提升了学生的几何直观素养和数学建模素养.留给学生1个问题，让学生进行研究性学习，提升认真钻研的科学精神.
巩固反馈 （快速抢答）已知正四面体的棱长为2a，求这个正四面体外接球的半径.
设计意图 将构造长方体的问题迁移到构造正方体的问题之中，平淡出奇，凸显“模型化”方法的解题魅力.
4 几点思考
4.1 课堂教学要“以人为本”提升核心素养.
“以人为本”就是以促进人的发展为本，注重学生数学思维品质的发展和数学应用能力的提升.教会学生学会分析问题和解决问题特别重要，但是学生能够思维发散，创造性地提出新的问题，更加符合新时期“创新型”人才培养的格局.立体几何教学，学生的空间想象力的提升是第一任务，学生学会分析立体图形，能主动构造和使用几何模型解题，几何直观素养才算得到提升.
4.2 课堂教学要将“知识学习”与“素养提升”并重.
学生的数学核心素养是可发展、可提升的.教师备课中例习题的选择要尽量入口宽泛，讲解时体现数学思想方法.如立体几何的教学，教师授课时注重多采用“举例”、“建模”、“类比”等方式对知识整合，提升空间想象能力.同时，“补体法”、“分割法”、“等体积法”、“平面化方法”、添加各种辅助线（或辅助平面）等都属于立体几何中的算法问题，是立体几何教学中要提升的“数学运算”素养.
4.3 课堂教学的一个重要任务是“数学育人”.
数学教学既要教会学生数学知识，还要教会学生用数学知识解决生活中的问题.即用数学的眼光看问题，用数学的理性思维分析问题，用数学的方法去解决问题.数学推理的严谨性影响人的一生，对树立求真务实的价值观非常有利.学生学习了有用的数学、能用的数学和会用的数学，数学教育的核心价值才能够得到体现.
作者简介
崔文（1979—），男，中学数学一级教师，威海市教学能手，威海市教育名家工作室成员.主要从事中学数学课堂教学研究，在《中学数学杂志》、《中国数学教育》、《数理天地》等期刊发表论文10余篇.
【关键词】 核心素养；直观想象；截面；球
笔者在市教学研讨会上执教了一节高三理科复习课《球与几何体的切接问题》，在备课的过程中深入思考教学中如何落实数学核心素养，提升学生对问题的理解和解决能力.立体几何教学侧重提升学生的直观想象素养，备课中以高考真题为切入点，以数学方法为立足点，以提升数学核心素养为落脚点.
1 分析高考真题，提炼关键信息
分析 （1）真题中与球相关的题目侧重考查学生的空间想象能力，对作图能力要求较高.表现在：五年高考7题中3题有图，其中2题为三视图问题.说明高考题目要求学生必须能够作出直观图，然后利用直观图分析问题，学生要有较强的几何作图能力；（2）以截面问题为主，需选择恰当的截面解决问题，考查平面化的方法；（3）几何载体多变，以体积或表面积的计算为主.
结论 高考题目从“几何作图”和“分析图形”两个角度考查直观想象核心素养，同时考查“逻辑推理”和“数学运算”两个核心素养.
2 选择典型例题，提炼数学方法
鉴于对高考真题的分析，例题的选择具备以下两点特征：（1）题目中通常无直观图；（2）能从多角度入手解决问题.
例1 球O与棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面都相切，点M为棱DD1的中点，则平面ACM截球O所得截面的面积为（ ）.
A.4π3 B. π C. 2π3 D. π3
教学片段1：
师：同学们，你们解答这道题的困惑在哪里？
生（齐答）：不知道截面的位置.
师：截面的形状是什么？
生（齐答）：圆.
小组合作交流：大家思考截面的准确位置在哪里？（教师展示直观图）
生1：截面的形状是圆，在O1点处与直线AC相切.
师：如何求出这个截面圆的半径？请小组讨论一下.
生2：在截面O1DMO中，△O1OM为直角三角形，求出OO2的长度，然后利用勾股定理得出半径O1O2的长度.
生3：在Rt△O1OM中，利用射影定理求.由OO12= O1O2×O1M得出半径O1O2的长度.
生4：以O为坐标原点，OM为x轴，OO1为y轴，建立平面直角坐标系.求出直线O1M和直线OO2的方程，联立这两条直线的方程得到O2的坐标，然后利用两点间的距离公式得出半径O1O2的长度.
师：很好！咱们同学利用解析法解决立体几何问题，知识交汇，思路可嘉！请同学们思考，解决此类问题的关键是什么？
生5：首先，画出直观图，选取合适的截面图；然后，利用平面几何知识解答.
师：点M的位置与所画直观图正方体顶点字母顺序的关联程度很强，如果大家发现不容易看出截面图时，就要重新画图，交换点M的位置.按照“画出直观图——寻找截面圖——确定算法”三步走，此种类型的题目可快速解答！
设计意图 让学生有意识地去寻找截面图，认识球体中重要的三角形——球的半径、球心到小圆面的距离、小圆的半径构成的直角三角形.体会勾股定理和射影定理在解决此类问题中的应用.使学生对高考题形成初步感知，掌握问题求解的一般思路，重点强化平面化方法.
巩固反馈 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA1，DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（ ）.
A.22 B.1 C.1 22 D.2
设计意图 强化学生在球中寻找截面和构造重要直角三角形的意识，进一步明确“构造直角三角形”是解决此类问题的基本方法.
例2 （2009全国Ⅰ理15）直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于（ ）.
教学片段2：
师：请同学们作出直观图，寻找截面，并确定算法.
2分钟后.
师：你解答此题的困惑在哪里？
生6：球心和截面小圆的半径找不到.
师：换个角度想，直棱柱的外接球的球心位置在哪个平面内？
生7：（讨论后）球心在直棱柱高线的中垂面处.但是，具体的位置不好确定.
师：具体的说，直棱柱的外接球的球心在上、下底面外接圆圆心连线的中点处.
师：那么，球心到小圆面的距离是否可以直接得出？
生7：距离为1.就是直棱柱侧棱长的一半.
生（齐）：哦……
师：我们已经构造了直角三角形，请同学们思考，如何求出△ABC外接圆的半径？
生8：利用正弦定理求出.
设计意图 几何体的结构特征可以为解题提供思路.基于直棱柱和球的结构特征，本例中球心的位置可以“忽略”，球心到小圆面的距离就是直棱柱侧棱长的一半，小圆的半径就是底面三角形外接圆的半径，用勾股定理求得直棱柱的外接球半径即可.熟练之后，此类问题便可以“以想代算”.同时，本例与正弦定理关联，拓宽了解题视野.
巩固反馈 已知三棱锥P-ABC，在底面△ABC中，∠CAB=60°，BC=3，PA⊥面ABC，PA=2，则此三棱锥外接球的半径为（ ）.
设计意图 本题的几何体可以补体为直棱柱，然后采用例2的方法，快速找到球心到小圆面的距离，简化运算.让学生在解题的过程中体会补形的思想与类比的方法，提倡并鼓励一题多解. 3 开展头脑风暴，优化思维结构
例3 四面体ABCD中，共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长别分为1、6、3，若四面体ABCD的四个项点同在一个球面上，则这个球的表面积为（ ）.
师：同学们思考，如何得到四面体ABCD外接球的半径？
生9：因为四面体ABCD中，共顶点A的三条棱两两相互垂直，可以构造长方体，从而得出外接球的直径为2R=12 （6）2 32=4.
师：非常好！请同学们思考，哪种类型的四面体外接球问题可以构造长方体？
生10：共顶点的三条侧棱两两垂直.
生11：共顶点的三个面互相垂直.
生12：底面为直角三角形，并且有一条侧棱垂直于底面.
师：很好，还有吗？
生（齐）：（沉默）没有了.
师：（在长方体中板演）三条棱顺次首尾相连，且互相垂直，能否构造长方体？
生（齐）：……可以.
师：（在长方体中板演）三组相对棱长度分别相等的四面体，能否构造长方体？
生（齐）：……可以.
师：其实，只要是从长方体中提取不共面的四个点构成的四面体，都可以进行如此“逆”操作，补体为一个长方体.
师：请同学们对上述问题进行归纳研究，并分析此四面体的体积与补体得到的长方体的体积之间的关系？留作课后研究性学习，写成小论文，展示交流.
設计意图 通过构造几何体得到问题的答案，本质是“建立数学模型”和“解答数学模型”的过程，提升了学生的几何直观素养和数学建模素养.留给学生1个问题，让学生进行研究性学习，提升认真钻研的科学精神.
巩固反馈 （快速抢答）已知正四面体的棱长为2a，求这个正四面体外接球的半径.
设计意图 将构造长方体的问题迁移到构造正方体的问题之中，平淡出奇，凸显“模型化”方法的解题魅力.
4 几点思考
4.1 课堂教学要“以人为本”提升核心素养.
“以人为本”就是以促进人的发展为本，注重学生数学思维品质的发展和数学应用能力的提升.教会学生学会分析问题和解决问题特别重要，但是学生能够思维发散，创造性地提出新的问题，更加符合新时期“创新型”人才培养的格局.立体几何教学，学生的空间想象力的提升是第一任务，学生学会分析立体图形，能主动构造和使用几何模型解题，几何直观素养才算得到提升.
4.2 课堂教学要将“知识学习”与“素养提升”并重.
学生的数学核心素养是可发展、可提升的.教师备课中例习题的选择要尽量入口宽泛，讲解时体现数学思想方法.如立体几何的教学，教师授课时注重多采用“举例”、“建模”、“类比”等方式对知识整合，提升空间想象能力.同时，“补体法”、“分割法”、“等体积法”、“平面化方法”、添加各种辅助线（或辅助平面）等都属于立体几何中的算法问题，是立体几何教学中要提升的“数学运算”素养.
4.3 课堂教学的一个重要任务是“数学育人”.
数学教学既要教会学生数学知识，还要教会学生用数学知识解决生活中的问题.即用数学的眼光看问题，用数学的理性思维分析问题，用数学的方法去解决问题.数学推理的严谨性影响人的一生，对树立求真务实的价值观非常有利.学生学习了有用的数学、能用的数学和会用的数学，数学教育的核心价值才能够得到体现.
作者简介
崔文（1979—），男，中学数学一级教师，威海市教学能手，威海市教育名家工作室成员.主要从事中学数学课堂教学研究，在《中学数学杂志》、《中国数学教育》、《数理天地》等期刊发表论文10余篇.