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关键词：小学数学；摸球游戏；公平性
中图分类号：G623.5 文献标识码：B
文章编号：1009－010X(2012)07－0063－02
曾经因为经济落后、物质匮乏，我们都经历过排队购物的情景。如今购买车票、机票等需排队的现象依然存在。大家认为排队这种场景公开、公正、公平，谁叫你迟到呀?至少认同这种现象。这样先到者就能买到好的票子，后到者购不到好票或买不到票。更有甚者。某些商品房开发商刻意用赠送、降价、打折、抵冲等噱头，来吸引人们的眼球，特别是前几年房地产生意兴隆之际，许多开发商在开盘时，不惜抛出对前几位购买者进行这样那样的大优惠，不少群众怦然心动，为了得到实惠，不惜牺牲休息时间，整夜不眠、争先恐后带着被褥去售楼处排队争号。因此，在人们心中不少事情存有宁先勿后、先赢后亏的烙印。
遗憾的是小学生也存有这样的思想。有一次分析讲解某单元训练题，竟出现了令我惊异万分又难以想象的一幕。
题目：在不透明的筒中有大小、质地一样的红、黄、蓝小球各一个，甲、乙、丙三人玩摸球游戏，商定摸到红球者为胜。甲先摸，乙第二摸，丙最后摸(摸好后不放回筒中)，问这样摸公平吗?
是受生活中“排队思维——先者有利”的负迁移影响，还是被看似不平的假象所蒙蔽，大部分学生认为不公平。
生1：甲获胜机会最大，因为他挑选的余地大。
生2：甲先摸，万一红球被他摸走了，那乙和丙就不可能摸到红球了，所以我认为不公平。
生3：甲先摸，得到红球的可能性是1／3；如果甲没有摸走红球，乙得到红球的可能性就是1／2；如果乙还没有摸走红球，丙得到红球的可能性是1／1。我认为丙摸到红球的可能性最大。
生4：假如甲、乙摸好后仍放回筒中，这样就公平了。
生5：我认为要看谁的运气好就能摸到红球，这个游戏同超市里的摸奖一样。
生6：我举个例子吧，去年我们幸福小区因为要建造高铁，所以整个小区需要拆迁，镇政府规定先搬迁的人家可以优先挑选安置房，我家是第二个搬迁的人家，所以我爸挑选到了阳光充足、价格便宜又是中间层的好房子；而我二叔家是最后搬迁的人家，好房子已被选完，只能是没有阳光的一楼房子了。所以我认为先摸有利，后摸吃亏。
面对群情激扬的学生、众词不一的答案，我的心犹如打翻了五味瓶。是啊，受生活经验的影响，不要说是小学生，就是教师有时也理解不了此类游戏题目的公平性。其实，在n个形状、质地相同的物体中，如果只有一个标的物，现有n次机会随机抽取该标的物，每次只能从中抽取一个(抽后不放回)，第一次抽中标的物的概率为1／n，第二次抽中标的物的概率也为1／n，第三次抽中标的物的概率还是1／n……，任何一次抽中标的物的概率都为1／n，每次抽中标的物的概率与抽取的先后次序无关。
是因为教材没安排此类游戏公平性题目而回避呢?还是说这一知识已经超过了小学数学教学范畴而放弃呢?我暗忖与其压抑在学生心里，不如一学为快。但我该怎样让这些天真烂漫的年幼孩子轻松愉快地知晓、理解这个深奥、抽象的概率知识呢?我决定以就地取材、集体探究、各个击破的办法来巧解此题。
这么多思路从学生的嘴中流出，委实不易，就先给个表扬吧!
师：大家太有智慧了，居然想出了这么多思路，有的连老师我也没有想到呀，真棒!这样吧，我们先来看生3的思路：假如甲、乙摸好后不放回筒中，共会出现几种情况，我们把它排出来看一看，好不好?
生(齐口同声)：好。
师：谁来排?怎么排?
生说师归纳并有序地板书：当甲红，乙黄 丙蓝
甲红，乙蓝 丙黄
当甲黄，乙红 丙蓝
甲黄，乙蓝 丙红
当甲蓝，乙红 丙黄
甲蓝，乙黄 丙红
师：三个人摸三种球，共可出现几种情况?
生：6种。
师：还有别的可能吗?
生：没有了。
师：那甲摸到红球的可能性是多少?
生：2／6。
师：那乙摸到红球的可能性是多少?
生：2／6。
师：丙摸到红球的可能性是多少?
生：2／6。
师：三个人摸到红球的可能性都是2／6，说明了什么?
生：这游戏是公平的。
师：也就是说甲、乙摸好后都放回筒中的游戏是公平的。那甲、乙摸好后都不放回简中，共可出现几种情况呢?你能排出来吗?可以同桌讨论排一排。
经过排列、讨论、交流后，学生们自己发现也是以上6种情况，而且甲、乙、丙摸到红球的可能性都是2／6，游戏是公平的。紧接着我又一鼓作气、趁热打铁提问。
师：现在如果乙先摸，丙第二摸，甲最后摸，共会出现几种情况?三个人摸到红球的可能性是多少?
生(一部分)：不用排了，共出现6种情况，三个人摸到红球的可能性都是2／6。
师：如果丙先摸，甲和乙后摸，情况还一样吗?
生(大部分)：一样。
师：说明了什么?
生：说明不管谁先摸，摸到红球的可能性是一样的。
生：说明球摸好后放不放回筒中，与游戏的公平是无关的。
生：说明这个游戏的公平与谁先谁后摸的顺序无关。
至此，学生们已经知道了此类游戏题的公平与顺序无关，与摸好后放不放回筒中无关。但像刚才生6所说的先挑选安置房问题，确实是先挑者有好房，后挑者无好房，这对买过商品房的人来说是毋庸置疑的事实。难道生活经验与数学知识相冲突相矛盾了吗?如不然，那这个问题的症结在哪里?如何来解开这个症结呢?
为了让学生能更透彻、全面地理解此类游戏公平性问题，我没有回避，而是继续做深做宽做大。
师：我们现在已经知道了此类游戏题的公平与顺序无关、与放不放回筒中无关，但像刚才生6所说的先挑选安置房，确实能挑选到好房子呀!这是为什么呢?
生：(呈苦思状且无语)
为了突破这一难点，我想，采用由外人内、层层剥笋式的方法吧。
师：假如红、黄、蓝三个球放在桌面上，摸到红球为胜者，先摸和后摸还一样吗?
生：不一样。
师：这是为什么呢?
生：因为看得见了，先摸的人肯定摸红球。
师：是的，这样的游戏还公平吗?
生：不公平。
师：这与刚才我们讨论的放在不透明的筒中摸，一样吗?
生：不一样，现在看得见红球了，刚才放在不透明的筒中看不见红球的。
师：好，现在谁来解释“生6所说的先挑选安置房，确实能挑选到好房子”的道理?
生：因为看得见哪个是好房子，所以先挑者有利，后挑者吃亏。
师：是的，这是政府催促拆迁户早日搬迁的良策。可见，在透明的情况下，先者确实有利；不透明的情况下，就公平了。
课后，我进行了反思，人教版小学数学教材没有安排“游戏公平性与顺序无关”这一知识，是担心小学生接受不了，还是想到初中高中要深一步学习，不得而知。众所周知，人与人、事与事都是相互联系的，数与数也一样。我通过“摸好放回和不放回”的比较，通过“无论谁先摸和谁后摸”的排列，通过“透明挑选和不透明挑选”的权衡，再通过自探、交流、分析、比较、归纳等形式，结合生活经验，联系数学知识，让学生的思维和认知在不断冲突中，渐渐清晰起来，并接纳正确的数学模型。
看来，只要教师设计、铺垫、点拨、引导到位，小学生是有能力解决“游戏公平性与顺序无关”这一知识点的。
责任编辑 高洁
中图分类号：G623.5 文献标识码：B
文章编号：1009－010X(2012)07－0063－02
曾经因为经济落后、物质匮乏，我们都经历过排队购物的情景。如今购买车票、机票等需排队的现象依然存在。大家认为排队这种场景公开、公正、公平，谁叫你迟到呀?至少认同这种现象。这样先到者就能买到好的票子，后到者购不到好票或买不到票。更有甚者。某些商品房开发商刻意用赠送、降价、打折、抵冲等噱头，来吸引人们的眼球，特别是前几年房地产生意兴隆之际，许多开发商在开盘时，不惜抛出对前几位购买者进行这样那样的大优惠，不少群众怦然心动，为了得到实惠，不惜牺牲休息时间，整夜不眠、争先恐后带着被褥去售楼处排队争号。因此，在人们心中不少事情存有宁先勿后、先赢后亏的烙印。
遗憾的是小学生也存有这样的思想。有一次分析讲解某单元训练题，竟出现了令我惊异万分又难以想象的一幕。
题目：在不透明的筒中有大小、质地一样的红、黄、蓝小球各一个，甲、乙、丙三人玩摸球游戏，商定摸到红球者为胜。甲先摸，乙第二摸，丙最后摸(摸好后不放回筒中)，问这样摸公平吗?
是受生活中“排队思维——先者有利”的负迁移影响，还是被看似不平的假象所蒙蔽，大部分学生认为不公平。
生1：甲获胜机会最大，因为他挑选的余地大。
生2：甲先摸，万一红球被他摸走了，那乙和丙就不可能摸到红球了，所以我认为不公平。
生3：甲先摸，得到红球的可能性是1／3；如果甲没有摸走红球，乙得到红球的可能性就是1／2；如果乙还没有摸走红球，丙得到红球的可能性是1／1。我认为丙摸到红球的可能性最大。
生4：假如甲、乙摸好后仍放回筒中，这样就公平了。
生5：我认为要看谁的运气好就能摸到红球，这个游戏同超市里的摸奖一样。
生6：我举个例子吧，去年我们幸福小区因为要建造高铁，所以整个小区需要拆迁，镇政府规定先搬迁的人家可以优先挑选安置房，我家是第二个搬迁的人家，所以我爸挑选到了阳光充足、价格便宜又是中间层的好房子；而我二叔家是最后搬迁的人家，好房子已被选完，只能是没有阳光的一楼房子了。所以我认为先摸有利，后摸吃亏。
面对群情激扬的学生、众词不一的答案，我的心犹如打翻了五味瓶。是啊，受生活经验的影响，不要说是小学生，就是教师有时也理解不了此类游戏题目的公平性。其实，在n个形状、质地相同的物体中，如果只有一个标的物，现有n次机会随机抽取该标的物，每次只能从中抽取一个(抽后不放回)，第一次抽中标的物的概率为1／n，第二次抽中标的物的概率也为1／n，第三次抽中标的物的概率还是1／n……，任何一次抽中标的物的概率都为1／n，每次抽中标的物的概率与抽取的先后次序无关。
是因为教材没安排此类游戏公平性题目而回避呢?还是说这一知识已经超过了小学数学教学范畴而放弃呢?我暗忖与其压抑在学生心里，不如一学为快。但我该怎样让这些天真烂漫的年幼孩子轻松愉快地知晓、理解这个深奥、抽象的概率知识呢?我决定以就地取材、集体探究、各个击破的办法来巧解此题。
这么多思路从学生的嘴中流出，委实不易，就先给个表扬吧!
师：大家太有智慧了，居然想出了这么多思路，有的连老师我也没有想到呀，真棒!这样吧，我们先来看生3的思路：假如甲、乙摸好后不放回筒中，共会出现几种情况，我们把它排出来看一看，好不好?
生(齐口同声)：好。
师：谁来排?怎么排?
生说师归纳并有序地板书：当甲红，乙黄 丙蓝
甲红，乙蓝 丙黄
当甲黄，乙红 丙蓝
甲黄，乙蓝 丙红
当甲蓝，乙红 丙黄
甲蓝，乙黄 丙红
师：三个人摸三种球，共可出现几种情况?
生：6种。
师：还有别的可能吗?
生：没有了。
师：那甲摸到红球的可能性是多少?
生：2／6。
师：那乙摸到红球的可能性是多少?
生：2／6。
师：丙摸到红球的可能性是多少?
生：2／6。
师：三个人摸到红球的可能性都是2／6，说明了什么?
生：这游戏是公平的。
师：也就是说甲、乙摸好后都放回筒中的游戏是公平的。那甲、乙摸好后都不放回简中，共可出现几种情况呢?你能排出来吗?可以同桌讨论排一排。
经过排列、讨论、交流后，学生们自己发现也是以上6种情况，而且甲、乙、丙摸到红球的可能性都是2／6，游戏是公平的。紧接着我又一鼓作气、趁热打铁提问。
师：现在如果乙先摸，丙第二摸，甲最后摸，共会出现几种情况?三个人摸到红球的可能性是多少?
生(一部分)：不用排了，共出现6种情况，三个人摸到红球的可能性都是2／6。
师：如果丙先摸，甲和乙后摸，情况还一样吗?
生(大部分)：一样。
师：说明了什么?
生：说明不管谁先摸，摸到红球的可能性是一样的。
生：说明球摸好后放不放回筒中，与游戏的公平是无关的。
生：说明这个游戏的公平与谁先谁后摸的顺序无关。
至此，学生们已经知道了此类游戏题的公平与顺序无关，与摸好后放不放回筒中无关。但像刚才生6所说的先挑选安置房问题，确实是先挑者有好房，后挑者无好房，这对买过商品房的人来说是毋庸置疑的事实。难道生活经验与数学知识相冲突相矛盾了吗?如不然，那这个问题的症结在哪里?如何来解开这个症结呢?
为了让学生能更透彻、全面地理解此类游戏公平性问题，我没有回避，而是继续做深做宽做大。
师：我们现在已经知道了此类游戏题的公平与顺序无关、与放不放回筒中无关，但像刚才生6所说的先挑选安置房，确实能挑选到好房子呀!这是为什么呢?
生：(呈苦思状且无语)
为了突破这一难点，我想，采用由外人内、层层剥笋式的方法吧。
师：假如红、黄、蓝三个球放在桌面上，摸到红球为胜者，先摸和后摸还一样吗?
生：不一样。
师：这是为什么呢?
生：因为看得见了，先摸的人肯定摸红球。
师：是的，这样的游戏还公平吗?
生：不公平。
师：这与刚才我们讨论的放在不透明的筒中摸，一样吗?
生：不一样，现在看得见红球了，刚才放在不透明的筒中看不见红球的。
师：好，现在谁来解释“生6所说的先挑选安置房，确实能挑选到好房子”的道理?
生：因为看得见哪个是好房子，所以先挑者有利，后挑者吃亏。
师：是的，这是政府催促拆迁户早日搬迁的良策。可见，在透明的情况下，先者确实有利；不透明的情况下，就公平了。
课后，我进行了反思，人教版小学数学教材没有安排“游戏公平性与顺序无关”这一知识，是担心小学生接受不了，还是想到初中高中要深一步学习，不得而知。众所周知，人与人、事与事都是相互联系的，数与数也一样。我通过“摸好放回和不放回”的比较，通过“无论谁先摸和谁后摸”的排列，通过“透明挑选和不透明挑选”的权衡，再通过自探、交流、分析、比较、归纳等形式，结合生活经验，联系数学知识，让学生的思维和认知在不断冲突中，渐渐清晰起来，并接纳正确的数学模型。
看来，只要教师设计、铺垫、点拨、引导到位，小学生是有能力解决“游戏公平性与顺序无关”这一知识点的。
责任编辑 高洁