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摘要研究了常利率下具有相依索赔结构的Sparre Andersen风险模型的破产问题，其中理赔间隔时间与随后的理赔数额具有特殊相依结构.利用递归方法，得到该模型破产赤字分布的上界估计，并且考察了参数为指数函数的例子，加深对定理中破产赤字上界的了解.
关键词概率论；赤字分布；递归方法；Sparre Andersen模型；相依结构
中图分类号O211.4；F224文献标识码A
AbstractUnder the constant interest rate， we studied the Sparre Andersen risk model with dependent claims，assuming a particular dependence structure among the interclaim time and the subsequent claim size . By recursive techniques， an upper bound for the deficit distribution at ruin in the model was given. Supposing that the parameters are exponential， we can much more understand the upper bound for the deficit distribution.
Keywordsprobability theory； deficit distribution； recursive techniques； Sparre Andersen model； dependence structure
1引言
在保险实践中，保险公司的大部分盈余主要来源于投资收入，因此考虑具有固定利率的风险模型受到很多精算理论和实践者的关注. Sundt和Teugels[1]最早提出常利率下的复合泊松模型，并利用更新技巧给出了破产概率满足的分析表达式及上下界估计；Yang和Zhang[2，3]则利用Sundt和Teugels[1]中的方法分别解决了该模型的破产前的盈余以及破产后的赤字分布；Cai和Dickson[4]研究了罚金折现期望，得到了它满足的积分表达式，并且通过LS变换对它进行了估计.进一步，Cai和Dickson[5]利用递归技巧及鞅方法研究了带有常利率Sparre Andersen模型概率的上界估计；而Bao和Ye[6]则同样应用递归方法给出了关于赤字分布的不同形式的上界.
需要指出的是，上述带有常利率的模型中都假设索赔间隔时间和索赔额是相互独立的.然而，在保险实务中，独立性假设可能导致对风险估计的较大偏离.因此在风险过程中考虑相依结构是非常必要的.
考虑一类具有常值利率和索赔相依的风险过程，相依结构由文献[7]提出.采用递归技巧得到了赤字分布的上界估计.
2模型的结构
索赔间隔时间{Wn，n≥1}和索赔额{Yn，n≥1}为两个独立同分布的随机变量序列， W和Y分别为对应的遗传变量. 假设{（Yn，Wn），n≥1}为独立同分布的随机向量序列，而Yk与Wk不再相互独立，两者之间具有一定的相依关系：在已知时间间隔Wk条件下索赔额Yk的条件密度函数为：
4结论
相较于索赔额与索赔间隔时间的独立假设，相依问题的研究更具有实际意义.考虑了常利率下一类具有相依结构的Sparre Andersen模型，利用递归方法，得到该模型破产赤字分布的函数型不等式.作为应用，还得到了指数型上界以及一系列的推论.
参考文献
[1]Bjrn SUNDT，Jozef L TEUGELS.Ruin estimates under interest force[J].Insurance Mathematics and Economics，1995，16（1）：7-22.
[2]Hailiang YANG，Lihong ZHANG.On the distribution of surplus immediately before ruin under interest force[J].Statistics and Probability Letters，2001，55（3）：329-338.
[3]Hailiang YAN，Lihong ZHANG.On the distribution of surplus immediately after ruin under interest force[J].Insurance：Mathematics and Economics，2001，29（2）：247–255.
[4]Jun CAI，David C M DICKSON.On the expected discounted penalty function at ruin of a surplus process with interest[J].Insurance Mathematics and Economics，2002，30（3）：389-404.
[5]Jun CAI，David C M DICKSON.Upper bounds for ultimate ruin probabilities in the Sparre Andersen model with interest[J].Insurance Mathematics and Economics，2003，32（1）：61-71.
[6]Zhenhua BAO，Zhongxing YE.The deficit at ruin in the Sparre Andersen model with interest[J]. Journal of Applied Mathematics and Computing，2007，23（1/2）：87-99.
[7]Mathieu BOUDREAULT，Hélène COSSETTE，David LANDRIAULT，et al.On a risk model with dependence between interclaim arrivals and claim sizes.Scandinavian Actuarial Journal，2006，（5）：265-285.
[8]盖维丹.常利率下相依复合泊松风险模型的破产概率[J].高师理科学刊，2016，36（2）：22-25.
关键词概率论；赤字分布；递归方法；Sparre Andersen模型；相依结构
中图分类号O211.4；F224文献标识码A
AbstractUnder the constant interest rate， we studied the Sparre Andersen risk model with dependent claims，assuming a particular dependence structure among the interclaim time and the subsequent claim size . By recursive techniques， an upper bound for the deficit distribution at ruin in the model was given. Supposing that the parameters are exponential， we can much more understand the upper bound for the deficit distribution.
Keywordsprobability theory； deficit distribution； recursive techniques； Sparre Andersen model； dependence structure
1引言
在保险实践中，保险公司的大部分盈余主要来源于投资收入，因此考虑具有固定利率的风险模型受到很多精算理论和实践者的关注. Sundt和Teugels[1]最早提出常利率下的复合泊松模型，并利用更新技巧给出了破产概率满足的分析表达式及上下界估计；Yang和Zhang[2，3]则利用Sundt和Teugels[1]中的方法分别解决了该模型的破产前的盈余以及破产后的赤字分布；Cai和Dickson[4]研究了罚金折现期望，得到了它满足的积分表达式，并且通过LS变换对它进行了估计.进一步，Cai和Dickson[5]利用递归技巧及鞅方法研究了带有常利率Sparre Andersen模型概率的上界估计；而Bao和Ye[6]则同样应用递归方法给出了关于赤字分布的不同形式的上界.
需要指出的是，上述带有常利率的模型中都假设索赔间隔时间和索赔额是相互独立的.然而，在保险实务中，独立性假设可能导致对风险估计的较大偏离.因此在风险过程中考虑相依结构是非常必要的.
考虑一类具有常值利率和索赔相依的风险过程，相依结构由文献[7]提出.采用递归技巧得到了赤字分布的上界估计.
2模型的结构
索赔间隔时间{Wn，n≥1}和索赔额{Yn，n≥1}为两个独立同分布的随机变量序列， W和Y分别为对应的遗传变量. 假设{（Yn，Wn），n≥1}为独立同分布的随机向量序列，而Yk与Wk不再相互独立，两者之间具有一定的相依关系：在已知时间间隔Wk条件下索赔额Yk的条件密度函数为：
4结论
相较于索赔额与索赔间隔时间的独立假设，相依问题的研究更具有实际意义.考虑了常利率下一类具有相依结构的Sparre Andersen模型，利用递归方法，得到该模型破产赤字分布的函数型不等式.作为应用，还得到了指数型上界以及一系列的推论.
参考文献
[1]Bjrn SUNDT，Jozef L TEUGELS.Ruin estimates under interest force[J].Insurance Mathematics and Economics，1995，16（1）：7-22.
[2]Hailiang YANG，Lihong ZHANG.On the distribution of surplus immediately before ruin under interest force[J].Statistics and Probability Letters，2001，55（3）：329-338.
[3]Hailiang YAN，Lihong ZHANG.On the distribution of surplus immediately after ruin under interest force[J].Insurance：Mathematics and Economics，2001，29（2）：247–255.
[4]Jun CAI，David C M DICKSON.On the expected discounted penalty function at ruin of a surplus process with interest[J].Insurance Mathematics and Economics，2002，30（3）：389-404.
[5]Jun CAI，David C M DICKSON.Upper bounds for ultimate ruin probabilities in the Sparre Andersen model with interest[J].Insurance Mathematics and Economics，2003，32（1）：61-71.
[6]Zhenhua BAO，Zhongxing YE.The deficit at ruin in the Sparre Andersen model with interest[J]. Journal of Applied Mathematics and Computing，2007，23（1/2）：87-99.
[7]Mathieu BOUDREAULT，Hélène COSSETTE，David LANDRIAULT，et al.On a risk model with dependence between interclaim arrivals and claim sizes.Scandinavian Actuarial Journal，2006，（5）：265-285.
[8]盖维丹.常利率下相依复合泊松风险模型的破产概率[J].高师理科学刊，2016，36（2）：22-25.