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【摘 要】高等数学是高职院校重要的基础工具课，教学中通过数形结合、直观事例和案例教学法等方法培养学生的观察、发现、分析归纳和应用等能力。提高学生数学学习的能力和高职数学的教学质量。
【关键词】高职 数学教学 学习能力 培养
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1006-9682（2012）09-0012-02
【Abstract】Higher mathematics is an important basic course in Higher Vocational Colleges tool. Teaching through the combination of number and shape， intuitive examples and case teaching method to cultivate students’ observation， discovery， analysis and application ability. Improving the students’ mathematics learning ability and higher vocational mathematics teaching quality.
【Key words】Higher vocational education Mathematics teaching Learning Training
高等数学是高职院校重要的基础工具课，以微积分教学为主。在困扰当前高职数学教学的问题中，最为突出的是高职学生的数学基础问题和学习信心问题。因此，高职数学教学要加强对学生学习能力的培养，树立学好高等数学的信心，提高高职数学教学的质量。
一、数形结合培养学生的发现能力
数学是研究客观世界数量关系与空间形式的一门科学，数与形相互联系，数中有形，形中有量。教学中数形结合，利用图的直观性，引导学生通过观察分析找到量的變化规律，从而认知所学数学知识，有助于培养学生的观察能力和发现能力，提高数学教学的效率。
例如：极限的教学中，在讲授“当自变量 时，函数f（x）
的极限”的概念时，笔者以函数 为例，提出了“你能通
过观察与分析，寻找到当自变量x无限增大时，函数 的
函数值有什么样的变化趋势吗？”的疑问。引导学生借助幂函数
y=x-2的图形作出函数 的直观图（如图1所示），并在
对图1的观察分析中找到了“曲线
的图形随着自变量x的增
大渐渐向直线y=2逼近、无限逼
近”的感觉。进而得出“自变量x
无限增大时，函数 的函数
值无限地接近于常数2”的结论，
使学生在直观中认知了极限。
又如曲线的曲率是土建类高职生进行“线形设计”时用于研究曲线弯曲度的一个数学工具，在曲线曲率的教学中，我们借助图2，引导学生通过观察曲线弯曲的“形”，去探索曲线弯曲的“度”，从直观上认知曲率。引导学生观察图2（a），对曲线弧MN与MN1进行比较分析，得出曲线弧的弯曲程度与其切线转角成正比的结论；引导观察图2（b），使学生发现曲线弧的弯曲程度还与曲线的长度成反比。进而发现曲线弧MN的平均曲率可用
其切线转角与弧长的比 来描述，曲线在点M处的曲率可用
极限 来描述。
图2
在学习的过程中，善于观察分析，就会有所发现。对一个学习者而言，发现是愉快的，而快乐地学习是高效率的。对教师的教学方法，梁启超先生说过：“教员不是拿所得的结果教人，最要紧的是拿怎样得到结论的方法教人”。在高职数学教学中通过数形结合培养学生的观察力，让学生积极参与知识的发现过程，能更好地体现以教师为主导、学生为主体的教学效果，提高高职数学教学的效率。
二、通过一题多解培养学生的分析能力
高职数学课堂教学中，通常是利用一些具体的事例去引入所要学习的数学概念与数学方法。教学中巧设教学情境，通过“一题多解”、“一题多思”等教学方法，引导学生从多角度、多方向、多层次去思考问题，启发效果好，有助于培养学生的探索能力。如隐函数求导是导数运算中的一个教学难点，我们通过例1引导学生在一题多解的教学过程中，探寻隐函数的求导方法。
例1，求由方程3x2-y+5=0所确定的隐函数y=f（x）的导数。
解法一：∵3x2-y+5=0；∴y=3x2+5， =6x。
解法二：∵3x2-y+5=0；∴ =0，6x- =0， =6x。
同一个求导问题，两种不同解法，得到相同的结果。使学生发现由方程F（x，y）=0所确定的隐函数y=f（x），其求导方法有两种：第一种方法是将隐函数化为显函数后求导；第二种方法是通过方程两边对自变量x求导，然后解出 。两种方法相比，学生还会发现第二种方法有无需将隐函数显化的优势，因而更具实用性。隐函数的求导方法是学生在教师的引导下通过一题多解的方式“自己得到”的，因此理解会深刻，应用地更为熟练。另外，教学过程中“一题多思”也是培养学生发散性思维和探索能力的有效工具。如复合函数的求导问题是导数运算教学中的重点问题和难点问题，我们以求复合函数 的导数为例，利用
函数可分别用 和 两种不同形式表示去引导学生进行多思。通过分析对比 和 探索出复合函数 的求导法则是 。
利用具体的事例设置出“一题多解”、“一题多思”的教学情境，引导学生感知所学数学知识，符合高职学生认知过程的一般规律，能有效培养其探索精神，提高学生数学学习能力。
三、利用直观范例培养学生的归纳能力
高职数学教学以微积分为主，教学目的是要学生掌握基本的极限、导数和积分运算，理解极限、导数和积分等数学工具的应用。极限运算中类型多的问题，导数运算中公式多、函数形式多的问题和积分运算中的公式多、方法多的问题等，都是高职微积分教学中的难点。比如形式多变的极限计算往往让初学微积分的许多高职生感到无从下手，以至于对自己学习数学的能力产生怀疑，对学好高等数学没有信心。分析其原因，部分学生一方面没有掌握好极限类型的判别方法，另一方面没有系统掌握各类型极限的解题思路与方法，也就是在极限的学习过程中不善于进行归纳分析。不善于进行归纳分析的高职生，往往只能被动地接受知识，通常会抱怨学习内容太多，抽象乏味，难以消化。因此，高职数学教学中，一定要着重培养学生的归纳分析能力，提高学生学习数学的能力和效率。 归纳是从特殊到一般的推理，也是探索和发现的一种重要方法。对学生归纳能力的培养，教师要做好归纳分析的示范工作，使学生能从中看到数学方法是有规律可循的，通过对具体事例的
归纳分析正是揭示这些规律的重要手段。如在“ ”型极限运算
的教学中，笔者通过例2，引导学生分析归纳极限的类型并掌握其运算方法。
例2，计算极限 。
解： 。
归纳分析：函数形如 ，其中自变量 时，分子
、分母 。因此极限被形象地称为
“ ”型，注意到分子与分母有趋向于0公因式x+3，分解因式
后通过“消去法”可求解。
歸纳结果：极限 ，在给定自变量的变化趋势下，若分
子 、分母 ，则将极限形象地称为“ ”型，若
分子、分母都是多项式，则其常用的解法是因式分解f（x）与g（x），然后消去分母中“趋向于0”的因式。
高职微积分教学中通过具体的事例，可引导学生归纳出高职数学教学中常见极限类型及各类型极限的解法，归纳出函数的求导方法和积分运算的方法，使其能系统地掌握微积分的运算方法，提高其微积分的运算能力，增强学好微积分的信心。
四、通过案例教学法培养学生的应用能力
常言道，要“学以致用”。常有高职生对数学学习产生“学而无用”的困惑，如我院土建专业常有学生提出“我们是学土建的为什么还要学习数学”、“数学有什么用”等疑问。这些疑问从
侧面反映了部分学生数学学习目的不明确，学习兴趣不浓，动力不足。是我们在教学中要高度重视与认真对待的问题。解决这些问题的一种有效方法就是加强数学的应用性教学，如通过案例教学法设置与学生的现实生活、所学专业等有关的教学情境，让学生切身地感受到数学、特别是他们正在学习的数学内容在众多领域中有着广泛的应用，数学与他们的生活、学习和将来的工作及发展有着密切的联系。教学中应注意将数学问题设计成生活的、专业的或热点的教学案例，以强化数学的应用性训练。如笔者以学生熟悉的手机资费为案例介绍分段函数，在三角函数的教学中将“解三角形”的问题设计成“工程测量”问题，在极限应用性教学中将“求无穷递减等比数列所有项和”的问题设计成“投资融资”问题等，通过案例教学法，培养学生的数学应用能力，激发学生的学习兴趣和求知欲。
例3，如图3所示，A、B两点间隔着小山和小河，为测量AB的长，需选择一点C，使得AC可直接丈量，B、C两点可通视，在AC上取一点D，使B和D两点可通视。现测得AC=180m，CD=60m，∠ACB=45°，∠ADB=60°，求AB的长。
解：在△BCD中，根据正弦定理，得：
所以： 。
在△ABD中，根据余弦定理，得：
（m）
这是一个解三角形的问题，更是一个工程测量问题。问题的求解使学生感受到了数学所具有的魅力。如善解三角形，能使我们不用过河可以确定河宽、不用穿山也可以测出隧道的长。更让学生感觉到数学是其专业学习与专业应用的重要工具。
例4，国家向某企业投资200万元，这家企业将投资作为抵押品向银行贷款，得到相当于抵押品90%的贷款，该企业将这笔贷款再次进行投资，并且又将投资作为抵押品向银行贷款，得到相当于抵押品90%的贷款，该企业又将这笔新贷款进行再投资，这样贷款—投资—再贷款—再投资，如此反复扩大再投资。问其实际效果相当于国家投资多少万元所产生的直接效果？
解：设Tn表示前n次投资总额、T表示所有的投资总额，则：
∵
∴ （万元）
这一教学案例，使学生对极限的应用有了感性认识。认识到利用极限这一数学工具可研究和解决某些“无限”的问题。且解决问题的方法是先求出所求量的近似值，然后通过极限这一工具求出其精确值。
高职数学教学所面对的学生，一部分是高考最后批次录取的学生，一部分是中职学校升上来的学生，且高职工科专业还实行文理兼招。因此，客观上存在学生数学基础差、水平参差不齐等问题。教学中巧设教学情境，通过数形结合、直观事例和案例教学法等培养学生的观察、发现、分析归纳和应用等能力。有助于提高学生数学学习的能力，增强学习信心，提高高职数学的教学质量。
【关键词】高职 数学教学 学习能力 培养
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1006-9682（2012）09-0012-02
【Abstract】Higher mathematics is an important basic course in Higher Vocational Colleges tool. Teaching through the combination of number and shape， intuitive examples and case teaching method to cultivate students’ observation， discovery， analysis and application ability. Improving the students’ mathematics learning ability and higher vocational mathematics teaching quality.
【Key words】Higher vocational education Mathematics teaching Learning Training
高等数学是高职院校重要的基础工具课，以微积分教学为主。在困扰当前高职数学教学的问题中，最为突出的是高职学生的数学基础问题和学习信心问题。因此，高职数学教学要加强对学生学习能力的培养，树立学好高等数学的信心，提高高职数学教学的质量。
一、数形结合培养学生的发现能力
数学是研究客观世界数量关系与空间形式的一门科学，数与形相互联系，数中有形，形中有量。教学中数形结合，利用图的直观性，引导学生通过观察分析找到量的變化规律，从而认知所学数学知识，有助于培养学生的观察能力和发现能力，提高数学教学的效率。
例如：极限的教学中，在讲授“当自变量 时，函数f（x）
的极限”的概念时，笔者以函数 为例，提出了“你能通
过观察与分析，寻找到当自变量x无限增大时，函数 的
函数值有什么样的变化趋势吗？”的疑问。引导学生借助幂函数
y=x-2的图形作出函数 的直观图（如图1所示），并在
对图1的观察分析中找到了“曲线
的图形随着自变量x的增
大渐渐向直线y=2逼近、无限逼
近”的感觉。进而得出“自变量x
无限增大时，函数 的函数
值无限地接近于常数2”的结论，
使学生在直观中认知了极限。
又如曲线的曲率是土建类高职生进行“线形设计”时用于研究曲线弯曲度的一个数学工具，在曲线曲率的教学中，我们借助图2，引导学生通过观察曲线弯曲的“形”，去探索曲线弯曲的“度”，从直观上认知曲率。引导学生观察图2（a），对曲线弧MN与MN1进行比较分析，得出曲线弧的弯曲程度与其切线转角成正比的结论；引导观察图2（b），使学生发现曲线弧的弯曲程度还与曲线的长度成反比。进而发现曲线弧MN的平均曲率可用
其切线转角与弧长的比 来描述，曲线在点M处的曲率可用
极限 来描述。
图2
在学习的过程中，善于观察分析，就会有所发现。对一个学习者而言，发现是愉快的，而快乐地学习是高效率的。对教师的教学方法，梁启超先生说过：“教员不是拿所得的结果教人，最要紧的是拿怎样得到结论的方法教人”。在高职数学教学中通过数形结合培养学生的观察力，让学生积极参与知识的发现过程，能更好地体现以教师为主导、学生为主体的教学效果，提高高职数学教学的效率。
二、通过一题多解培养学生的分析能力
高职数学课堂教学中，通常是利用一些具体的事例去引入所要学习的数学概念与数学方法。教学中巧设教学情境，通过“一题多解”、“一题多思”等教学方法，引导学生从多角度、多方向、多层次去思考问题，启发效果好，有助于培养学生的探索能力。如隐函数求导是导数运算中的一个教学难点，我们通过例1引导学生在一题多解的教学过程中，探寻隐函数的求导方法。
例1，求由方程3x2-y+5=0所确定的隐函数y=f（x）的导数。
解法一：∵3x2-y+5=0；∴y=3x2+5， =6x。
解法二：∵3x2-y+5=0；∴ =0，6x- =0， =6x。
同一个求导问题，两种不同解法，得到相同的结果。使学生发现由方程F（x，y）=0所确定的隐函数y=f（x），其求导方法有两种：第一种方法是将隐函数化为显函数后求导；第二种方法是通过方程两边对自变量x求导，然后解出 。两种方法相比，学生还会发现第二种方法有无需将隐函数显化的优势，因而更具实用性。隐函数的求导方法是学生在教师的引导下通过一题多解的方式“自己得到”的，因此理解会深刻，应用地更为熟练。另外，教学过程中“一题多思”也是培养学生发散性思维和探索能力的有效工具。如复合函数的求导问题是导数运算教学中的重点问题和难点问题，我们以求复合函数 的导数为例，利用
函数可分别用 和 两种不同形式表示去引导学生进行多思。通过分析对比 和 探索出复合函数 的求导法则是 。
利用具体的事例设置出“一题多解”、“一题多思”的教学情境，引导学生感知所学数学知识，符合高职学生认知过程的一般规律，能有效培养其探索精神，提高学生数学学习能力。
三、利用直观范例培养学生的归纳能力
高职数学教学以微积分为主，教学目的是要学生掌握基本的极限、导数和积分运算，理解极限、导数和积分等数学工具的应用。极限运算中类型多的问题，导数运算中公式多、函数形式多的问题和积分运算中的公式多、方法多的问题等，都是高职微积分教学中的难点。比如形式多变的极限计算往往让初学微积分的许多高职生感到无从下手，以至于对自己学习数学的能力产生怀疑，对学好高等数学没有信心。分析其原因，部分学生一方面没有掌握好极限类型的判别方法，另一方面没有系统掌握各类型极限的解题思路与方法，也就是在极限的学习过程中不善于进行归纳分析。不善于进行归纳分析的高职生，往往只能被动地接受知识，通常会抱怨学习内容太多，抽象乏味，难以消化。因此，高职数学教学中，一定要着重培养学生的归纳分析能力，提高学生学习数学的能力和效率。 归纳是从特殊到一般的推理，也是探索和发现的一种重要方法。对学生归纳能力的培养，教师要做好归纳分析的示范工作，使学生能从中看到数学方法是有规律可循的，通过对具体事例的
归纳分析正是揭示这些规律的重要手段。如在“ ”型极限运算
的教学中，笔者通过例2，引导学生分析归纳极限的类型并掌握其运算方法。
例2，计算极限 。
解： 。
归纳分析：函数形如 ，其中自变量 时，分子
、分母 。因此极限被形象地称为
“ ”型，注意到分子与分母有趋向于0公因式x+3，分解因式
后通过“消去法”可求解。
歸纳结果：极限 ，在给定自变量的变化趋势下，若分
子 、分母 ，则将极限形象地称为“ ”型，若
分子、分母都是多项式，则其常用的解法是因式分解f（x）与g（x），然后消去分母中“趋向于0”的因式。
高职微积分教学中通过具体的事例，可引导学生归纳出高职数学教学中常见极限类型及各类型极限的解法，归纳出函数的求导方法和积分运算的方法，使其能系统地掌握微积分的运算方法，提高其微积分的运算能力，增强学好微积分的信心。
四、通过案例教学法培养学生的应用能力
常言道，要“学以致用”。常有高职生对数学学习产生“学而无用”的困惑，如我院土建专业常有学生提出“我们是学土建的为什么还要学习数学”、“数学有什么用”等疑问。这些疑问从
侧面反映了部分学生数学学习目的不明确，学习兴趣不浓，动力不足。是我们在教学中要高度重视与认真对待的问题。解决这些问题的一种有效方法就是加强数学的应用性教学，如通过案例教学法设置与学生的现实生活、所学专业等有关的教学情境，让学生切身地感受到数学、特别是他们正在学习的数学内容在众多领域中有着广泛的应用，数学与他们的生活、学习和将来的工作及发展有着密切的联系。教学中应注意将数学问题设计成生活的、专业的或热点的教学案例，以强化数学的应用性训练。如笔者以学生熟悉的手机资费为案例介绍分段函数，在三角函数的教学中将“解三角形”的问题设计成“工程测量”问题，在极限应用性教学中将“求无穷递减等比数列所有项和”的问题设计成“投资融资”问题等，通过案例教学法，培养学生的数学应用能力，激发学生的学习兴趣和求知欲。
例3，如图3所示，A、B两点间隔着小山和小河，为测量AB的长，需选择一点C，使得AC可直接丈量，B、C两点可通视，在AC上取一点D，使B和D两点可通视。现测得AC=180m，CD=60m，∠ACB=45°，∠ADB=60°，求AB的长。
解：在△BCD中，根据正弦定理，得：
所以： 。
在△ABD中，根据余弦定理，得：
（m）
这是一个解三角形的问题，更是一个工程测量问题。问题的求解使学生感受到了数学所具有的魅力。如善解三角形，能使我们不用过河可以确定河宽、不用穿山也可以测出隧道的长。更让学生感觉到数学是其专业学习与专业应用的重要工具。
例4，国家向某企业投资200万元，这家企业将投资作为抵押品向银行贷款，得到相当于抵押品90%的贷款，该企业将这笔贷款再次进行投资，并且又将投资作为抵押品向银行贷款，得到相当于抵押品90%的贷款，该企业又将这笔新贷款进行再投资，这样贷款—投资—再贷款—再投资，如此反复扩大再投资。问其实际效果相当于国家投资多少万元所产生的直接效果？
解：设Tn表示前n次投资总额、T表示所有的投资总额，则：
∵
∴ （万元）
这一教学案例，使学生对极限的应用有了感性认识。认识到利用极限这一数学工具可研究和解决某些“无限”的问题。且解决问题的方法是先求出所求量的近似值，然后通过极限这一工具求出其精确值。
高职数学教学所面对的学生，一部分是高考最后批次录取的学生，一部分是中职学校升上来的学生，且高职工科专业还实行文理兼招。因此，客观上存在学生数学基础差、水平参差不齐等问题。教学中巧设教学情境，通过数形结合、直观事例和案例教学法等培养学生的观察、发现、分析归纳和应用等能力。有助于提高学生数学学习的能力，增强学习信心，提高高职数学的教学质量。