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高一数学新编教材（试验修订本）编入了“研究性课题：分期付款中的有关计算”。它的出现，不仅是为了解决数列的应用问题，更重要的是要我们转变传统的教学观念，改进原有的教学方式和方法。为此，对这一课题的教学，我们进行了大胆的尝试。现写出来和大家一起探讨。
这一课题具有探究和应用的特点，我们紧紧把握教材的这一特点，将教学过程分成四个部分实施。
1、课堂探究
教师活动学生活动
出示问题：在日常生活中，商家为了促销，便于顾客购买一些售价较高的商品，常采用分期付款的方式。例如，顾客购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款，商家要求，在一年内将款全部付清，同时，又提供了下表中的几种付款方案，供顾客选择。见附表。下面我们对每期的付款额和付款总额进行探究，表中要求，每月利息按复利计算，复利计算是指什么？
回答：是指上月的利息要计入下月本金。
出示问题：请以本金为a元，月利息为0.8%，说明复利计算的含义?
回答:本金a元过一个月，就增值为a(1+0.008)=1.008a（元）,再过一个月，本金由1.008元，增值为1.0082 a（元），等等。
出示问题：若顾客选择付款方案2，每期应付款多少元？这是一个列方程解应用题的问题，每期应付款可设为x元，那么到底以什么建立等量关系，列方程呢？
回答:由顾客的分期付款总额与商家的收款额相等列方程。
顾客的分期付款总额怎么计算呢？
回答:求每期付款额的和
出示问题：是6x吗？为什么？
回答:不是，因为每期付款的x元到款付清时，应增值。
出示问题：为了好理解，我们可按第6期、第5期，……，第1期的顺序，去找每期付款x元到款付清时的表达式。第6期付款（最后一次付款）为x元，这时款全部付清，这x元增值吗？为什么？
回答:不增值，因为这x元相当于在银行即存即取。
出示问题：第5期付款的x元到款全部付清时，是否增值？表达式是什么？第4期，……第1期呢？
第5期付款的x元要增值，增值为x(1+0.008)2，第4期，……第1期付款的x元都要增值，分别增值为x(1+0.008)4，……，x(1+0.008)10。
出示问题：到此为止，所需方程能列出吗？方程是什么？
能列出，方程是
x+1.0082x+1.0084x+……+1.00810x=5000*1.00812
出示問题：所列方程正确吗？商品当时的售价为5000元，一年后这5000元是否还是5000元呢?正确方程是什么？
方程不正确，这5000元同样也应增值，增值为
5000*1.00812(元)。正确方程是：
x+1.0082x+1.0084x+…1.00810x=5000*1.00812.
出示问题：观察上述方程，等号左边有何特点，方程怎么解？x等于多少？
等号左边是一个首项为x，公比为1.0082的等比数列前6项的和，由等到比数列求和公式得：
出示问题：经过上面的探究可知，顾客每次付款应为880.8元，6次所付款额共为880.8*6=5285元，它比一次性付款多付285元（将结果填入表中）
将结果填入表中
出示问题：表中还有两种方案，请第一、二组同学采用方案1，第三、四组同学采用方案3继续探究，每期付款额，付款总额以及付款总额与一次性付款额的差各是多少元？
得出结果：
方案1：每期付款额
付款总额为：
1775.8*3≈5327 ，比一次性付款多付327（元）
方案3每期付款额
x=5000*1.00812*0.0081.00812-1≈438.6(元），付款总额为：438.6*12≈5263，比一次性付款多付263（元）
出示问题：下面我们再对一般性问题进行探讨。购买一件售价为a元的商品，采用上述分期付款时，要求在m个月内将款全部付清，月利息率为p，分n（n是m的约数）次付款，那么每次付款的计算公式是什么？
推导出每次付款额的计算公式
x=a(1+p)m［(1+p)mn-1］
(1+p)m-1
出示问题：上面我们对复利计算分期付款的多种方案进行了探究，从中应该明确哪些问题？
（1）每月的利息均按复利计算；（2）每期所付款额相同；（3）计算时，商品售价和每期付款额全部付清时都应增值；（4）增值后的付款总额与售价增值相等间列方程的依据。
附表
方案类别
付款次数
付款方法
每期所付款额
付款总额
与一次性付款差额
1
3次
购买后4个月第1次付款，再过4个月第2次付款，再过4个月第3次付款。
2
6次
购买后2个月第1次付款，再过2个月第2次付款，…购买后12个月第6次付款。
3
12次
购买后1个月第1次付款，再过1个月第2次付款，…购买后12个月第12次付款。
注:规定月利率为0.8%,每月利息按复利计算.
2 社会调查
课堂上,我们对教材中提出的分期付款进行了一般性的探究,明白了分期付款是怎么一回事,弄清了复利计算的含义,理解了售价及每项付款的增值规律,掌握了利用等比数列解决分期付款中求每期付款额的计算方法,等等.分期付款这种运作方式在今天的商业活动中,应用日益广泛,哪些实际问题采用分期比较划算?在分期付款多种方案中,哪种方案最佳?商家采用的分期付款和课本中介绍的分期付款到底有多大的距离?实际问题中的分期付款是否只有复利计算等等.要求同学们带着这些问题，根据自己的兴趣和研究对象组成若干小组，走出课堂，进行社会调查。有的小组来到了汽车城，有的小组来到了电脑专卖店，有的小组来到了商品房售房处，有的小组来到了银行，有的小组来到了保险公司，……通过走访询问，现场考察，索取商家资料等，同学们获得了大量分期付款的信息资料。如“调查购房”小组获得了购房的各种办法付款的各种方式比较方案优劣的鉴别方法等资料；又如“调查购电脑”小组，先后走访了几家有名气的电脑销售商，获得了各商家的销售办法，分期付款的方式及付款的计算公式等。再如到银行调查的同学，不仅获得了贷款的分期付款的方式及公式，而且还间接的从服务员那里得到了存款的利息所得税的计算办法和公式。通过社会调查，同学们学到了课本上学不到的知识，得到了从教师那里得不到的方法。
3 信息处理及成果展示
各调查小组将信息材料提炼、探究、处理后的成果，写成调查报告，输入软盘，借用多媒体，以小组为单位，选定1---2人在全班边讲解边演示，生动地介绍了调查的基本情况、实用性分析、数学模型的建立、分期付款的操作、数学知识的应用、探究的结论及成果，有待进一步探究的问题。在展示中，允许师生提问，并由调查组的同学回答所提出的问题。最后教师总结，充分肯定学生的亲身体验和探究得到的成果，并指出今后努力的方向。
4 教学体会
研究性课题编入教材，是中学数学课程改革的一项重要举措，新教学大纲明确提出了要培养学生的“创新意识”，这应是研究性课题的一个教学目的，即通过研究性课题的教学培养学生不断追求新知，独立思考，会从数学的角度发现和提出问题，进行探索和研究。为了达到这一教学目的，我们的老师的教学观念和教学方法需要更新，一定要以学生探究为主，老师点拨、 答疑难为 辅 。老师的主要任务在于提出问题、介绍情况、启发引导。同时，学生的学习方式也需要由单一接受转变为自觉主动研究学习，使学生被动学习变为主动学习，使学生在主动探究数学知识的过程中，感受到探究的乐趣，感受到什么是有价值的数学和什么是数学的价值！这样才真实的体现了“师傅领进门，修行在个人”的新教与学中师生这种内外因关系。从历史角度来看，正是问题的提出、研究和解决，推动了数学科学的不断发展。从某种意上来说，数学发展的历史，就是数学问题的提出和解决和历史，因此，教师在教学中要注重问题的提出，在设计问题时，一定要注意问题的设计原则：可行性、渐进性、应用性原则。
这一课题具有探究和应用的特点，我们紧紧把握教材的这一特点，将教学过程分成四个部分实施。
1、课堂探究
教师活动学生活动
出示问题：在日常生活中，商家为了促销，便于顾客购买一些售价较高的商品，常采用分期付款的方式。例如，顾客购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款，商家要求，在一年内将款全部付清，同时，又提供了下表中的几种付款方案，供顾客选择。见附表。下面我们对每期的付款额和付款总额进行探究，表中要求，每月利息按复利计算，复利计算是指什么？
回答：是指上月的利息要计入下月本金。
出示问题：请以本金为a元，月利息为0.8%，说明复利计算的含义?
回答:本金a元过一个月，就增值为a(1+0.008)=1.008a（元）,再过一个月，本金由1.008元，增值为1.0082 a（元），等等。
出示问题：若顾客选择付款方案2，每期应付款多少元？这是一个列方程解应用题的问题，每期应付款可设为x元，那么到底以什么建立等量关系，列方程呢？
回答:由顾客的分期付款总额与商家的收款额相等列方程。
顾客的分期付款总额怎么计算呢？
回答:求每期付款额的和
出示问题：是6x吗？为什么？
回答:不是，因为每期付款的x元到款付清时，应增值。
出示问题：为了好理解，我们可按第6期、第5期，……，第1期的顺序，去找每期付款x元到款付清时的表达式。第6期付款（最后一次付款）为x元，这时款全部付清，这x元增值吗？为什么？
回答:不增值，因为这x元相当于在银行即存即取。
出示问题：第5期付款的x元到款全部付清时，是否增值？表达式是什么？第4期，……第1期呢？
第5期付款的x元要增值，增值为x(1+0.008)2，第4期，……第1期付款的x元都要增值，分别增值为x(1+0.008)4，……，x(1+0.008)10。
出示问题：到此为止，所需方程能列出吗？方程是什么？
能列出，方程是
x+1.0082x+1.0084x+……+1.00810x=5000*1.00812
出示問题：所列方程正确吗？商品当时的售价为5000元，一年后这5000元是否还是5000元呢?正确方程是什么？
方程不正确，这5000元同样也应增值，增值为
5000*1.00812(元)。正确方程是：
x+1.0082x+1.0084x+…1.00810x=5000*1.00812.
出示问题：观察上述方程，等号左边有何特点，方程怎么解？x等于多少？
等号左边是一个首项为x，公比为1.0082的等比数列前6项的和，由等到比数列求和公式得：
出示问题：经过上面的探究可知，顾客每次付款应为880.8元，6次所付款额共为880.8*6=5285元，它比一次性付款多付285元（将结果填入表中）
将结果填入表中
出示问题：表中还有两种方案，请第一、二组同学采用方案1，第三、四组同学采用方案3继续探究，每期付款额，付款总额以及付款总额与一次性付款额的差各是多少元？
得出结果：
方案1：每期付款额
付款总额为：
1775.8*3≈5327 ，比一次性付款多付327（元）
方案3每期付款额
x=5000*1.00812*0.0081.00812-1≈438.6(元），付款总额为：438.6*12≈5263，比一次性付款多付263（元）
出示问题：下面我们再对一般性问题进行探讨。购买一件售价为a元的商品，采用上述分期付款时，要求在m个月内将款全部付清，月利息率为p，分n（n是m的约数）次付款，那么每次付款的计算公式是什么？
推导出每次付款额的计算公式
x=a(1+p)m［(1+p)mn-1］
(1+p)m-1
出示问题：上面我们对复利计算分期付款的多种方案进行了探究，从中应该明确哪些问题？
（1）每月的利息均按复利计算；（2）每期所付款额相同；（3）计算时，商品售价和每期付款额全部付清时都应增值；（4）增值后的付款总额与售价增值相等间列方程的依据。
附表
方案类别
付款次数
付款方法
每期所付款额
付款总额
与一次性付款差额
1
3次
购买后4个月第1次付款，再过4个月第2次付款，再过4个月第3次付款。
2
6次
购买后2个月第1次付款，再过2个月第2次付款，…购买后12个月第6次付款。
3
12次
购买后1个月第1次付款，再过1个月第2次付款，…购买后12个月第12次付款。
注:规定月利率为0.8%,每月利息按复利计算.
2 社会调查
课堂上,我们对教材中提出的分期付款进行了一般性的探究,明白了分期付款是怎么一回事,弄清了复利计算的含义,理解了售价及每项付款的增值规律,掌握了利用等比数列解决分期付款中求每期付款额的计算方法,等等.分期付款这种运作方式在今天的商业活动中,应用日益广泛,哪些实际问题采用分期比较划算?在分期付款多种方案中,哪种方案最佳?商家采用的分期付款和课本中介绍的分期付款到底有多大的距离?实际问题中的分期付款是否只有复利计算等等.要求同学们带着这些问题，根据自己的兴趣和研究对象组成若干小组，走出课堂，进行社会调查。有的小组来到了汽车城，有的小组来到了电脑专卖店，有的小组来到了商品房售房处，有的小组来到了银行，有的小组来到了保险公司，……通过走访询问，现场考察，索取商家资料等，同学们获得了大量分期付款的信息资料。如“调查购房”小组获得了购房的各种办法付款的各种方式比较方案优劣的鉴别方法等资料；又如“调查购电脑”小组，先后走访了几家有名气的电脑销售商，获得了各商家的销售办法，分期付款的方式及付款的计算公式等。再如到银行调查的同学，不仅获得了贷款的分期付款的方式及公式，而且还间接的从服务员那里得到了存款的利息所得税的计算办法和公式。通过社会调查，同学们学到了课本上学不到的知识，得到了从教师那里得不到的方法。
3 信息处理及成果展示
各调查小组将信息材料提炼、探究、处理后的成果，写成调查报告，输入软盘，借用多媒体，以小组为单位，选定1---2人在全班边讲解边演示，生动地介绍了调查的基本情况、实用性分析、数学模型的建立、分期付款的操作、数学知识的应用、探究的结论及成果，有待进一步探究的问题。在展示中，允许师生提问，并由调查组的同学回答所提出的问题。最后教师总结，充分肯定学生的亲身体验和探究得到的成果，并指出今后努力的方向。
4 教学体会
研究性课题编入教材，是中学数学课程改革的一项重要举措，新教学大纲明确提出了要培养学生的“创新意识”，这应是研究性课题的一个教学目的，即通过研究性课题的教学培养学生不断追求新知，独立思考，会从数学的角度发现和提出问题，进行探索和研究。为了达到这一教学目的，我们的老师的教学观念和教学方法需要更新，一定要以学生探究为主，老师点拨、 答疑难为 辅 。老师的主要任务在于提出问题、介绍情况、启发引导。同时，学生的学习方式也需要由单一接受转变为自觉主动研究学习，使学生被动学习变为主动学习，使学生在主动探究数学知识的过程中，感受到探究的乐趣，感受到什么是有价值的数学和什么是数学的价值！这样才真实的体现了“师傅领进门，修行在个人”的新教与学中师生这种内外因关系。从历史角度来看，正是问题的提出、研究和解决，推动了数学科学的不断发展。从某种意上来说，数学发展的历史，就是数学问题的提出和解决和历史，因此，教师在教学中要注重问题的提出，在设计问题时，一定要注意问题的设计原则：可行性、渐进性、应用性原则。