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物体沿着一条直线，且加速度不变的运动称为匀变速直线运动，对匀变速直线运动的学习，既是高中物理学习的重点和难点，也是高考的重要内容.笔者尝试用函数与图象、等差数列、导数等数学思想从不同角度帮助学生认识这种运动，取得了较好的教学效果.
1用函数和图象思想认识匀变速直线运动
匀变速直线运动的基本规律有瞬时速度与时间的关系：vt=v0 at，位移与时间的关系：x=v0t 12at2，其它公式皆为推导式.对于一个给定匀变速直线运动，v0、a均为常数，其速度关系形如一次函数式y=kx b，作出v-t图象为一条倾斜直线；位移关系形如y=ax2 bx c，作出x-t图象为一条抛物线，这种思想宜在新课教学时介绍，对以后学习诸如探究胡克定律、纸带数据用图象法处理及一些问题中求最值等情况大有好处.
例1某质点的位移随时间的变化规律的关系是x=4t-2t2 4，x与t的单位分别为m和s，则该质点做什么运动？在几秒末正向位移最大，最大为多少？
解析根据函数思想利用对应项系数法知，该质点做初速度为4 m/s，加速度为-4 m/s2的匀减速直线运动，出发点为正向4 m处，依据函数思想配方或画出图象求顶点坐标知在t=1 s时，求出正向位移最大6 m.
2用等差数列思想认识匀变速直线运动
质点做匀变速直线运动时，在任意相等时间内速度的变化量相等.设任意相等时间为t，则任意相等时间内的速度差Δv=at，是一个常数，即间隔相等时间的瞬时速度依次为v0，v0 at，v0 a2t，v0 a3t，…此为一公差为at的等差数列，则由通项公式知vn=v0 （n-1）at，其实（n-1）t表示从v0到vn所经历的时间，这样就和速度关系vt=v0 at意义完全一致了（当然该数列是一特殊的函数，自变量t取正整数，而速度关系中t取自然数集）.物体做匀变速直线运动，仍设任意相等时间设为t，利用位移关系知任意相等时间内位移依次为
x1=v0t 12at2，
x2=v02t 12a（2t）2-（v0t 12at2），
x3=v03t 12a（3t）2-[v02t 12a（2t）2]
等等，则位移之差为
Δx=x2-x1=x3-x2=…=at2，
为一常数，则任意相等时间内的位移x1，x2，x3，x4等构成一公差为at2的等差数列.这样不仅有效降低了学生的理解难度，而且对解决研究匀变速直线运动的纸带问题、研究自由落体运动的频闪拍照问题、研究平抛运动问题等帮助很大.
例2在用打点计时器研究某质点做直线运动的规律实验中，得到一条纸带如图1所示.A、B、C、D、E、F、G为计数点，相邻计数点间还有四个点未画出，打点计时器接50 Hz低压交流电，用刻度尺已量得x1=1.20 cm，x2=1.60 cm，x3=1.98 cm，x4=2.38 cm，x5=2.79 cm，x6=3.18 cm，根据纸带上的数据可以判断：小车做运动，小车运动的加速度为.
解析根据题意质点运动AB、BC、CD、DE、EF、FG所用时间都为0.1 s，考虑实验误差，相邻位移差若接近一个常数，便可说明质点做匀变速直线运动，经计算
x2-x1=0.40 cm，x3-x2=0.38 cm，
x4-x3=0.40 cm，x5-x4=0.41 cm，
x6-x5=0.39 cm，
Δx≈0.40 cm，
质点做匀加速直线运动，又Δx=at2，代入数据得a=0.40 m/s2.
若用逐差法（x4 x5 x6）-（x1 x2 x3）=3d=3at2也可.
3用导数思想认识匀变速直线运动
依据微积分的基本定义可知，速度（关于时间）的函数是位移（关于时间）函数的导数，而加速度（关于时间）函数是关于速度（关于时间）函数的导数，写成式子即dxdt=v，dvdt=a，若质点做匀变速直线运动，其加速度不变，v=∫adt=at v0，v0就是初速度，此为速度关系，进而有
x=∫vdt=∫（at v0）dt=12at2 v0t c，
若开始计时t=0时，质点在位移x=0处，故这个任意常数c=0，于是有x=v0t 12at2，这就是位移公式.简单说积分是函数图象与轴所围成的面积，除a-t图象面积为速度，v-t图象面积为位移，高中内容还有电流I-t图象面积为电荷量，力F-t图象面积为力F在时间t内的冲量等.而导数即为函数图象上该点的斜率，则x-t图象斜率为速度，v-t图象斜率为加速度，高中内容还有U-I图象斜率为电阻，磁通量Φ-t图象斜率为感应电动势等.
例3质点做直线运动的位移x与时间t的关系为x=5t t2 （各物理量均采用国际单位），则该质点做运动，加速度为，2 s末的瞬时速度是.
解析由题意质点位移对时间的一阶导数v=x′=5 2t，二阶导数a=x″=2，则知质点以5 m/s的初速度做匀加速直线运动，加速度为2 m/s2，取时间2秒代入速度公式，2 s末的瞬时速度是9 m/s.
各学科之间相互联系，物理学科本身和数学联系紧密，我们在物理教学中强化数学思想，并从多角度帮助学生认识物理概念和规律，必将拓宽学生思维，为学生的未来发展增彩添色.
1用函数和图象思想认识匀变速直线运动
匀变速直线运动的基本规律有瞬时速度与时间的关系：vt=v0 at，位移与时间的关系：x=v0t 12at2，其它公式皆为推导式.对于一个给定匀变速直线运动，v0、a均为常数，其速度关系形如一次函数式y=kx b，作出v-t图象为一条倾斜直线；位移关系形如y=ax2 bx c，作出x-t图象为一条抛物线，这种思想宜在新课教学时介绍，对以后学习诸如探究胡克定律、纸带数据用图象法处理及一些问题中求最值等情况大有好处.
例1某质点的位移随时间的变化规律的关系是x=4t-2t2 4，x与t的单位分别为m和s，则该质点做什么运动？在几秒末正向位移最大，最大为多少？
解析根据函数思想利用对应项系数法知，该质点做初速度为4 m/s，加速度为-4 m/s2的匀减速直线运动，出发点为正向4 m处，依据函数思想配方或画出图象求顶点坐标知在t=1 s时，求出正向位移最大6 m.
2用等差数列思想认识匀变速直线运动
质点做匀变速直线运动时，在任意相等时间内速度的变化量相等.设任意相等时间为t，则任意相等时间内的速度差Δv=at，是一个常数，即间隔相等时间的瞬时速度依次为v0，v0 at，v0 a2t，v0 a3t，…此为一公差为at的等差数列，则由通项公式知vn=v0 （n-1）at，其实（n-1）t表示从v0到vn所经历的时间，这样就和速度关系vt=v0 at意义完全一致了（当然该数列是一特殊的函数，自变量t取正整数，而速度关系中t取自然数集）.物体做匀变速直线运动，仍设任意相等时间设为t，利用位移关系知任意相等时间内位移依次为
x1=v0t 12at2，
x2=v02t 12a（2t）2-（v0t 12at2），
x3=v03t 12a（3t）2-[v02t 12a（2t）2]
等等，则位移之差为
Δx=x2-x1=x3-x2=…=at2，
为一常数，则任意相等时间内的位移x1，x2，x3，x4等构成一公差为at2的等差数列.这样不仅有效降低了学生的理解难度，而且对解决研究匀变速直线运动的纸带问题、研究自由落体运动的频闪拍照问题、研究平抛运动问题等帮助很大.
例2在用打点计时器研究某质点做直线运动的规律实验中，得到一条纸带如图1所示.A、B、C、D、E、F、G为计数点，相邻计数点间还有四个点未画出，打点计时器接50 Hz低压交流电，用刻度尺已量得x1=1.20 cm，x2=1.60 cm，x3=1.98 cm，x4=2.38 cm，x5=2.79 cm，x6=3.18 cm，根据纸带上的数据可以判断：小车做运动，小车运动的加速度为.
解析根据题意质点运动AB、BC、CD、DE、EF、FG所用时间都为0.1 s，考虑实验误差，相邻位移差若接近一个常数，便可说明质点做匀变速直线运动，经计算
x2-x1=0.40 cm，x3-x2=0.38 cm，
x4-x3=0.40 cm，x5-x4=0.41 cm，
x6-x5=0.39 cm，
Δx≈0.40 cm，
质点做匀加速直线运动，又Δx=at2，代入数据得a=0.40 m/s2.
若用逐差法（x4 x5 x6）-（x1 x2 x3）=3d=3at2也可.
3用导数思想认识匀变速直线运动
依据微积分的基本定义可知，速度（关于时间）的函数是位移（关于时间）函数的导数，而加速度（关于时间）函数是关于速度（关于时间）函数的导数，写成式子即dxdt=v，dvdt=a，若质点做匀变速直线运动，其加速度不变，v=∫adt=at v0，v0就是初速度，此为速度关系，进而有
x=∫vdt=∫（at v0）dt=12at2 v0t c，
若开始计时t=0时，质点在位移x=0处，故这个任意常数c=0，于是有x=v0t 12at2，这就是位移公式.简单说积分是函数图象与轴所围成的面积，除a-t图象面积为速度，v-t图象面积为位移，高中内容还有电流I-t图象面积为电荷量，力F-t图象面积为力F在时间t内的冲量等.而导数即为函数图象上该点的斜率，则x-t图象斜率为速度，v-t图象斜率为加速度，高中内容还有U-I图象斜率为电阻，磁通量Φ-t图象斜率为感应电动势等.
例3质点做直线运动的位移x与时间t的关系为x=5t t2 （各物理量均采用国际单位），则该质点做运动，加速度为，2 s末的瞬时速度是.
解析由题意质点位移对时间的一阶导数v=x′=5 2t，二阶导数a=x″=2，则知质点以5 m/s的初速度做匀加速直线运动，加速度为2 m/s2，取时间2秒代入速度公式，2 s末的瞬时速度是9 m/s.
各学科之间相互联系，物理学科本身和数学联系紧密，我们在物理教学中强化数学思想，并从多角度帮助学生认识物理概念和规律，必将拓宽学生思维，为学生的未来发展增彩添色.