[摘 要] 在近年的中考试题中，出现了和平面镶嵌有关的问题，本文主要探究了一种正多边形的镶嵌问题以及两种正多边形组合的镶嵌问题.
　　[关键词] 正多边形；镶嵌
　　探索一种正多边形的镶嵌问题
　　能够镶嵌的条件之一是，拼接点处的几个角的和为360°，用单一正多边形进行镶嵌时，应满足360°是该正多边形每一个内角的整数倍，因此，正三角形、正四边形、正六边形均能镶嵌平面.
　　例1 下列正多边形中，不能铺满地面的是（ ）
　　A. 正三角形
　　B. 正四边形
　　C. 正五边形
　　D. 正六边形
　　解析：正三角形、正四边形、正五边形、正六边形的每一个内角分别是60°、90°、108°、120°，显然，360°是60°、90°、120°的整数倍，不是108°的整数倍，所以正三角形、正四边形、正六边形能够铺满地面，而正五边形不能铺满地面，答案为C.
　　探索两种正多边形的镶嵌问题
　　解答两种正多边形的镶嵌问题，只要判断是否存在正整数x和y，使其中一种正多边形的每个内角α的x倍与另一种正多边形每个内角β的y倍的和等于360°即可. 例如，用正三角形和正六边形的组合进行镶嵌，设在一个顶点周围有m个正三角形的角，有n个正六边形的角，由于正三角形的每一个内角是60°，正六边形的每一个内角是120°，所以有m·60° n·120°=360°，即m 2n=6. 这个方程的正整数解是m=4，n=1或m=2，n=2.
　　？摇可见，用正三角形和正六边形镶嵌时，有两种类型，一种是在一个顶点的周围有4个正三角形和1个正六边形，另一种是在一个顶点的周围有2个正三角形和2个正六边形.
　　因此，根据以上探索两种正多边形进行平面镶嵌时有以下六种情形：①1个正三角形，2个正十二边形；②2个正三角形，2个正六边形；③3个正三角形，2个正四边形；④4个正三角形，1个正六边形；⑤1个正四边形，2个正八边形；⑥2个正五边形，1个正十边形，图略.
　　例2 小明家准备选用两种形状的地板砖铺地，现在家中已有正六边形地板砖，下列形状的地板砖能与正六边形的地板砖共同使用的是（ ）
　　A. 正三角形
　　B. 正四边形
　　C. 正五边形
　　B. 正八边形
　　解析：正六边形、正三角形、正四边形、正五边形、正八边形的每个内角分别是120°、60°、90°、108°、135°，不难发现，360°=120°×2 60°×2；不存在正整数x，y，使360°=120°x 90°y或360°=120° x 108°y或360°=120°x 135°y成立，所以仅正三角形可与正六边形共同使用，答案为A.
　　假如读者感兴趣，可继续探究用三种正多边形或三种以上的正多边形进行镶嵌的问题.