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心理学家盖耶认为：“谁不允许学生犯错误，谁就将错过最富成效的学习时刻。”课堂中，学生出现错误是学生最朴实的思想、经验，是最真实的暴露。我们应本着以人为本的教育观，善待错误，引导学生分析错误、反思错误，让学生在纠错和改错中感悟道理、领悟方法、发展思维、实现创新，促进学生的全面发展，让“错”使教学更有效。
案例1：一年级的两道图画式数学问题，看似简单，但在学习过程中学生出现了不少错误。
第（1）题，5、6个学生作成6 3=9，个别第一次订正为9-6=3，第二次订正才正确。
第（2）题也有好几个学生出错，作成9-2=7或7-2=5。
从中可以看出，学生出现错误是由于一图四式的负迁移。一图四式是开放的，学生可以从不同的角度对部分、部分和总数进行提问，这是定向分析和审题能力的一种体现，是在熟练计算的基础上了解学生能否根据图意选择计算方法而出现的，然而学生把两者混淆了。
案例2：学校合唱队原有54人，今年有18名同学毕业，又新加入15人，合唱队现在有多少人？学生因不理解“毕业”的意思，看着“又新加入”猜测“毕业”也是加入的意思，而乱列算式为54 18 15=87（人）。对低年级学生来说，文字题太过抽象，读了信息不知其意，也不会反复读题去理解题意。
案例3：（1）一根绳子长100米，第一次剪去20米，第二次剪去30米，这根绳子还剩多少米？
（2）一根绳子长100米，第一次剪去20米，第二次剪去34米，这根绳子短多少米？结果有63％的学生错误地认为第（2）题的结果是100-20-34=46（米）。这显然是学生受到第（1）题的定势干扰，不知不觉地把思维纳入到第（1）题的解法惯性轨道中。另外，还有些 “经验”产生了错误导向。如学生片面认为，看到题目里有“还剩”“拿走”等字眼就用减法，如果有“一共”“飞来”等字眼就用加法计算等。
看来，学生的学习必定会伴有“错误”的存在，但学生的“错误”不能常常直接用无情的“叉叉”进行评价。对学生一而再、再而三出现的“错误”，不能一味地责怪学生没有认真听讲，没有认真做，更不能以大量的练习来巩固知识，加重学生的负担。
“学生的错误是课堂教学的巨大财富。”面对低年级学生在“解决问题”上存在的明显 “错误”，教师要关注学生学习中的“错误”，反思自己的教学，及时了解学生的思维过程，分析学生“错误”的本质问题，顺应学生的认知特点，优化教学策略，以减少错误，提高教学效率。
作为教师，应该如何利用这些错误资源，更好地进行自己的教学呢？
一、正视错误，优化评价
《数学课程标准》指出：“要关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。”由于学生受生理、心理特征及认知水平的限制，出错是不可避免的。可以说，出错是学生的权利。因为学习是从问题开始，甚至是从错误开始的，有的错误往往是学生对既定思维的反思、修正。正因为出错，才会有点拨、引导和解惑，才会有研究、创新和超越。作为教师，要本着以人为本的主体教育观，尊重、理解、宽容出错的学生，不斥责、挖苦学生，保护自尊，这样学生在课堂上才会情绪饱满，积极参与，树立学好数学的信心。
二、探讨错误，引起质疑
教师在教学中可通过典型的例题，让学生暴露错解，师生共同分析出错的原因，学生就能从反面吸取经验教训，迅速从错误中走出来，从而增强辨别错误的能力，同时也提高了分析问题和解决问题的能力。如：（1）一根绳子长100米，第一次剪去20米，第二次剪去34米，这根绳子短多少米？结果有60％的学生错误地认为第（1）题的结果是100-20-34=46（米），这是因为学生遵循机械的联系，按熟悉固定的习惯思路，思维没有随题目性质的变化而灵活地转移。这时，我又出示：（2）一根绳子长100米，第一次剪去20米，第二次剪去30米，这根绳子还剩多少米？让学生对比两道题的相同点与不同点，探讨错误的原因，引起大家的质疑与深思：到底为什么会出现这样的错误？是因为这节课的知识点没掌握好，还是因为粗心？或是因为没认真读题目，还是因为别的原因？把学生的错误，当成研究的一份宝贵的资源。
因此，要想少出错，教学中教师就应该以积极主动的态度对待错误和失败，备课时可适当从错误思路去构思，课堂上应加强对典型歧路的分析，充分暴露错误的思维过程，使学生在纠错的过程中掌握正确的思维方法，促进积极思考。
三、利用错误，引导反思
教师在教学中，可能有这样的感觉，这个错误已经讲了好几遍了，可还是有学生出现同样的错误，即使改正后还是出现同样的错误。我觉得是学生在改正错误的时候还是没有从根本上理解这部分知识的算理，没有真正弄明白错误在哪里，只是表面已经懂了，因此还是会出现同样类型的错误。首先，要让学生真正地改正出现的错误，就需要让他们面对错误，认真地反思，通过自己的反思，自己认识到错误到底出现在哪里，自己能找到解决问题的办法，比教师一遍又一遍的讲解效果也许更好。如学习除法应用题时，我曾让学生做了这样一道题：爸爸今年32岁，他的年龄是儿子的8倍，儿子今年几岁？三个学生由于审题不清，是这样做的：32×8=256（岁）。答：儿子今年256岁。我把这种错误算法板书在黑板上，让做错的学生说一说当时是怎么想的，或者让其他学生猜一猜他为什么会这样做。这样，在反思中学生找到了自己的错误点，避免了在同一个地方再次跌倒。其次，要求学生及时更正作业中的错误，督促他们做到有错必究，自觉反思，可以让学生将错误的原因写出来。在这一过程中，学生真正找到了错误的原因，强化了认识。针对基础较差、学习不够用功的学生作业中出现的错误，则可采取“面批”的形式让其当面反思。教师以诲人不倦的态度，面对面地对学生予以启发、点拨，剖析错误的原因，是增强学生自信心、巩固其基础知识、全面提高学生解题能力的有效方法。
四、累计错误，防患未然
每个单元测试，对于每类题目，学生可能都会出现错误。过去有不少教师在单元测试后，让学生把错题改正，再用本子重新做一次，以加深学生对这类题的印象。这样学生虽然重复做了一次，但效果甚微，而且加重学生的负担。可建立一个纠错案例分析本，让学生把测试中这些典型出错的题目记录下来，在整理的同时认真分析，寻找问题的症结。主要有四个部分组成：（1）错误原形。（2）分析原因。（3）标明解题的正确方法（最好有完整的分析过程）。（4）提出改进的措施。在复习的时候，或者遇到同样问题不会的时候，翻翻看看，这样一看就会明白了，也不用练习大量的习题，还可以减轻学生的课外负担，又起到事半功倍的复习效果。每次测试让学生把错误资源累计起来，形成一种学习习惯，使之成为一种新的学习方法。
总之，数学错误随着数学学习的开始产生。对于错误，我们要站在数学价值的角度上重新审视，灵活地运用于数学教学当中，减轻学生负担，提高教学效率，为学生的成长与发展提供新的教育契机。
（责编杜华）
案例1：一年级的两道图画式数学问题，看似简单，但在学习过程中学生出现了不少错误。
第（1）题，5、6个学生作成6 3=9，个别第一次订正为9-6=3，第二次订正才正确。
第（2）题也有好几个学生出错，作成9-2=7或7-2=5。
从中可以看出，学生出现错误是由于一图四式的负迁移。一图四式是开放的，学生可以从不同的角度对部分、部分和总数进行提问，这是定向分析和审题能力的一种体现，是在熟练计算的基础上了解学生能否根据图意选择计算方法而出现的，然而学生把两者混淆了。
案例2：学校合唱队原有54人，今年有18名同学毕业，又新加入15人，合唱队现在有多少人？学生因不理解“毕业”的意思，看着“又新加入”猜测“毕业”也是加入的意思，而乱列算式为54 18 15=87（人）。对低年级学生来说，文字题太过抽象，读了信息不知其意，也不会反复读题去理解题意。
案例3：（1）一根绳子长100米，第一次剪去20米，第二次剪去30米，这根绳子还剩多少米？
（2）一根绳子长100米，第一次剪去20米，第二次剪去34米，这根绳子短多少米？结果有63％的学生错误地认为第（2）题的结果是100-20-34=46（米）。这显然是学生受到第（1）题的定势干扰，不知不觉地把思维纳入到第（1）题的解法惯性轨道中。另外，还有些 “经验”产生了错误导向。如学生片面认为，看到题目里有“还剩”“拿走”等字眼就用减法，如果有“一共”“飞来”等字眼就用加法计算等。
看来，学生的学习必定会伴有“错误”的存在，但学生的“错误”不能常常直接用无情的“叉叉”进行评价。对学生一而再、再而三出现的“错误”，不能一味地责怪学生没有认真听讲，没有认真做，更不能以大量的练习来巩固知识，加重学生的负担。
“学生的错误是课堂教学的巨大财富。”面对低年级学生在“解决问题”上存在的明显 “错误”，教师要关注学生学习中的“错误”，反思自己的教学，及时了解学生的思维过程，分析学生“错误”的本质问题，顺应学生的认知特点，优化教学策略，以减少错误，提高教学效率。
作为教师，应该如何利用这些错误资源，更好地进行自己的教学呢？
一、正视错误，优化评价
《数学课程标准》指出：“要关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。”由于学生受生理、心理特征及认知水平的限制，出错是不可避免的。可以说，出错是学生的权利。因为学习是从问题开始，甚至是从错误开始的，有的错误往往是学生对既定思维的反思、修正。正因为出错，才会有点拨、引导和解惑，才会有研究、创新和超越。作为教师，要本着以人为本的主体教育观，尊重、理解、宽容出错的学生，不斥责、挖苦学生，保护自尊，这样学生在课堂上才会情绪饱满，积极参与，树立学好数学的信心。
二、探讨错误，引起质疑
教师在教学中可通过典型的例题，让学生暴露错解，师生共同分析出错的原因，学生就能从反面吸取经验教训，迅速从错误中走出来，从而增强辨别错误的能力，同时也提高了分析问题和解决问题的能力。如：（1）一根绳子长100米，第一次剪去20米，第二次剪去34米，这根绳子短多少米？结果有60％的学生错误地认为第（1）题的结果是100-20-34=46（米），这是因为学生遵循机械的联系，按熟悉固定的习惯思路，思维没有随题目性质的变化而灵活地转移。这时，我又出示：（2）一根绳子长100米，第一次剪去20米，第二次剪去30米，这根绳子还剩多少米？让学生对比两道题的相同点与不同点，探讨错误的原因，引起大家的质疑与深思：到底为什么会出现这样的错误？是因为这节课的知识点没掌握好，还是因为粗心？或是因为没认真读题目，还是因为别的原因？把学生的错误，当成研究的一份宝贵的资源。
因此，要想少出错，教学中教师就应该以积极主动的态度对待错误和失败，备课时可适当从错误思路去构思，课堂上应加强对典型歧路的分析，充分暴露错误的思维过程，使学生在纠错的过程中掌握正确的思维方法，促进积极思考。
三、利用错误，引导反思
教师在教学中，可能有这样的感觉，这个错误已经讲了好几遍了，可还是有学生出现同样的错误，即使改正后还是出现同样的错误。我觉得是学生在改正错误的时候还是没有从根本上理解这部分知识的算理，没有真正弄明白错误在哪里，只是表面已经懂了，因此还是会出现同样类型的错误。首先，要让学生真正地改正出现的错误，就需要让他们面对错误，认真地反思，通过自己的反思，自己认识到错误到底出现在哪里，自己能找到解决问题的办法，比教师一遍又一遍的讲解效果也许更好。如学习除法应用题时，我曾让学生做了这样一道题：爸爸今年32岁，他的年龄是儿子的8倍，儿子今年几岁？三个学生由于审题不清，是这样做的：32×8=256（岁）。答：儿子今年256岁。我把这种错误算法板书在黑板上，让做错的学生说一说当时是怎么想的，或者让其他学生猜一猜他为什么会这样做。这样，在反思中学生找到了自己的错误点，避免了在同一个地方再次跌倒。其次，要求学生及时更正作业中的错误，督促他们做到有错必究，自觉反思，可以让学生将错误的原因写出来。在这一过程中，学生真正找到了错误的原因，强化了认识。针对基础较差、学习不够用功的学生作业中出现的错误，则可采取“面批”的形式让其当面反思。教师以诲人不倦的态度，面对面地对学生予以启发、点拨，剖析错误的原因，是增强学生自信心、巩固其基础知识、全面提高学生解题能力的有效方法。
四、累计错误，防患未然
每个单元测试，对于每类题目，学生可能都会出现错误。过去有不少教师在单元测试后，让学生把错题改正，再用本子重新做一次，以加深学生对这类题的印象。这样学生虽然重复做了一次，但效果甚微，而且加重学生的负担。可建立一个纠错案例分析本，让学生把测试中这些典型出错的题目记录下来，在整理的同时认真分析，寻找问题的症结。主要有四个部分组成：（1）错误原形。（2）分析原因。（3）标明解题的正确方法（最好有完整的分析过程）。（4）提出改进的措施。在复习的时候，或者遇到同样问题不会的时候，翻翻看看，这样一看就会明白了，也不用练习大量的习题，还可以减轻学生的课外负担，又起到事半功倍的复习效果。每次测试让学生把错误资源累计起来，形成一种学习习惯，使之成为一种新的学习方法。
总之，数学错误随着数学学习的开始产生。对于错误，我们要站在数学价值的角度上重新审视，灵活地运用于数学教学当中，减轻学生负担，提高教学效率，为学生的成长与发展提供新的教育契机。
（责编杜华）