论文部分内容阅读
摘要：数学离不开解题，习题教学是知识点的浓缩与升华，是学生纠正偏差、预防错误、巩固基础、强化技能和提高思维能力的过渡，也是教师补救授课中留下缺憾的途径。但是，现在有一种不好的倾向，将习题与数学划上等号，教师在网上拼命地搜题目，学生在试卷上机械地做题目；教师不注意归纳整理反思，学生更是做得一头雾水。其实，数学题目本是一颗颗散落的珍珠，需要我们（教师或学生）寻找一根丝线，将它们合理地串连起来，而这根丝线，正是习题背后展现的问题，并由问题反思提炼出来的专题，是数学的核心思想和基本方法。
关键词：解题；发现问题；相似；提炼；专题
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）03-0065
本文就数学中考题中涉及相似问题的部分题目作一个小视角的梳理，探索如何有效地开展习题数学，如何从习题中发现问题，并将问题提升到专题的高度进行研究的方法。
数学习题教学讲究一题多解，提倡思维的发散性和开放度，但是，学生最终呈现出来的应对某些特定问题的解题策略往往是收敛的，一般可归结为特殊解法和常规解法，也就是说，数学解题策略往往是先散后收的。
然而，事实上，我们的习题教学往往是散而无度的，最终导致学生在解题时无从下手，迈不开关键的第一步，在习题中及时反思发现问题，最终提炼成专题的习惯，教师要有，学生更要有，或者说是教师的习惯成就了学生的习惯。
一、教师要善于从习题中发现问题
数学习题经历过岁月的累加，已经多得汗牛充栋，其中不乏经典好题，但是更多的是雷同题或改编题，即俗话说的“换汤不换药”。因此，教师要善于从纷繁的题海中撷取智慧的浪花，将最重要的教给学生。
案例1. 发现问题——哪里来的相似？
如图1.已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A，B重合），连接CO并延长CO交⊙O与点D，连接AD。
1. 弦长AB等于 ；（结果保留根号）
2. 当∠D=20°时，求∠BOD的度数；
3. 当AC的长度为多少时，以A，C，D为顶点的三角形与以B，C，O为顶点的三角形相似？
反思：学生在解此题时，第1，第2小题尚能够上手，属于中档题，但是到了第3小题，明显感觉无从下手，不知所云了，因为按题目的问法：“以A，C，D为顶点的三角形与以B，C，O为顶点的三角形相似”，必定是对两个三角形的相似情况进行讨论，但是两个三角形又明显不相似，倘若硬要分类讨论，则需要讨论的情况又太多，几乎是不可能实现的……学生陷于纠结之中。
作为教师，从这道试题中需要思考的问题是：要不要讨论，对相似的讨论有哪些情况？本题的突破口在哪里？
事实上，如果不考虑隐含条件，那么相似的讨论需要考查六种情况，这种题目运用于考试中是几乎不可能的，因此，如果涉及两个三角形相似的问题，则必有隐含条件！本题的隐含条件是：由于∠BCO>∠A，∠BCO>∠D，因此∠BCO必与∠ACD对应，如果发现这一隐含条件，则迅速将六种情况减少为两种情况，又由垂径定理得点C必为AB的中点，动点问题转化为定点问题，难度一下子降低，几乎大多数学生都能解决了。
因此，从本题的解答中，我们可以发现一个问题：从怎么可能相似，到不得不相似，其中的奥妙就在于隐含条件的挖掘。
案例2. 发现问题——似曾相识的相似！
如图2，已知抛物线y= x2- （b 1）x （b是实数且b>2）与轴的正半轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C。
（1）点B的坐标为 ，点C的坐标为 ；（用含b的代数式表示）
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）。如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。
反思：考查第（3）题，显然又是一个相似的讨论问题，学生面对“点Q在第一象限”犯愁了“茫茫第一象限，哪里才是点Q该去的地方？
由此，问题就出现了：从怎么可能相似，到不得不相似，这种思维方式在哪里经历过？这就是习题背后的问题。三角形相似必有隐含条件，并且这个隐含条件是好像不成立而又不得不成立的：点Q必在过点A且垂直于X轴的第一象限内的射线上，且∠OQA必与∠ABQ对应！这么多不得不成立的“必”字，将在第一象限内“跑动”的点Q一下子固定住了，下面只要讨论△OCQ与△OAQ的相似情况，显然已经将复杂题目转化为了常规题目，中等水平的学生都能解决了。
二、教师要善于将问题提炼成专题
能够把题目讲清楚的教师是合格的，能够把题目讲透的教师才是优秀的，怎样才算“透”？能够从题目中发现问题只是“透”的第一步，关键是能够将问题串联起来形成专题，编织一张相关题型、相关数学知识的大网，这样才是真正的“透”。
相似的讨论问题，完全可以作为一个专题重点研究，将历年的试题串连起来，明确解题策略和应对方法。
例如，从是否需要讨论的角度而言，我们要观察题目的问法，如果出现了形如“△ABC∽△DEF”，那么不必讨论，除此之外一般都需要讨论（讨论并不代表必有多解）。从讨论的分类情况而言，没有隐含条件的讨论是几乎不可能出现的。所以有必要对隐含条件的情况做一个梳理。
隐含条件通常是角相等（少数也会涉及边的情况），可以分为已经相等和不得不相等两种情况，我们常见的题型是已经相等而不明确相等的情况，可以表示为： 案例3. 形成专题——从原来如此到无非如此
设抛物线y=ax2 bx-2与x轴交于两个不同的点A（-1，0），B（m，0），与y轴交于点C，且∠ACB=90°。
①求m的值和抛物线的解析式；
②已知点D（1，n）在抛物线上，过点A的直线y=x 1交抛物线于另一点E，若点P在x轴上，以点P，B，D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标：
③在②的条件下，△BDP外接圆半径等于 。
反思：第②题是关于相似讨论的题型，可以发现△AEB与△PBD有一对角始终相等，不随点P的运动而变化，即∠EAB=∠PBD=45°。这个条件是已经相等但隐含在题目中的，是需要我们去发现的，而一旦发现了这个隐含条件，那么相似的讨论就转化为对两个基本图形的研究：A字形和斜A字形，立得问题就变得轻而易举了。
类似的习题很多，但是倘若我们仅仅止步于此，不能从习题中发现问题，不能推广到“不得不相等”的情形，那么难免有“坐井观天”之嫌疑，我们为学生编织的数学之网也是有漏洞的。
三、“习题·问题·专题”对数学教学的指导意义
从习题中发现问题，并将问题提炼成专题，这不仅是一种教学方式，更是一种良好的思维方式。从教师角度而言，自觉地养成这种习惯，一方面可以有效地将数学习题进行归类、整理，提高教师把握学科的能力，促进教师的专业成长；另一方面，这种方法可以扩大教师认识数学的视角，使教师能够居高临下地对待数学问题，从而引导学生养成这种归纳、反思、整理的优秀品质。
从学生角度而言，目前的数学学习不缺乏题目，而缺失的就是对题目的再认识，缺少回头望的过程，缺少从习题中发现问题的过程，更不用说提炼出数学思想、解题策略，形成相关题型的专题。事实上，通过习题这一载体，学生真正要学习的，恰恰正是这种良好的思维习惯和思维品质，对学生的可持续发展、终身发展都是大有裨益的。
从教学角度而言，良好的数学教学不应该只是简单的知识传授和习题解答，更多的是对学生学习内驱的激发和学习素养的唤醒，我们不仅要教给学生“原来如此”也要教会学生思考“为何如此”，更要引导学生明白“无非如此”。其实，这也正好体现了不同能力、不同素养的教师对数学教学的不同认识，也由此造就出不同数学视野的学生。
从习题中发现问题，将问题提炼成专题，是需要过程的，如果学生做不到，那么教师就要努力去引导；但是，如果连教师也做不到，那我们怎么去奢求学生呢？
著名数学家G·波利亚说：“一个专心钻研教材的老师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。”那么，我们不妨推而广之，一个专心研究习题的教师拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，通过这道题，就好像通过一道门户，将学生引入一个完整的专题领域。
如果说，数学习题是山脚下的一棵棵树木，我们教师领着学生在树林里转，那么学生的眼中只有树木；倘若我们能够领着学生走上山坡，那么，我们看到的将是一片树林；如果我们还能往上走，那么，我们看到的将是一个森林！
“不畏浮云遮望眼，只缘身在最高层。”这是我们学习数学的最高境界。而我们教师进行数学教学的最高境界则是：将难题教简单了。我们相信，在习题中反思发现问题，并将问题提炼成专题，是将难题教简单的一种行之有效的方法，也能有效地促进教师的成长！
（作者单位：安徽师范大学附属外国语学校 241000）
关键词：解题；发现问题；相似；提炼；专题
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）03-0065
本文就数学中考题中涉及相似问题的部分题目作一个小视角的梳理，探索如何有效地开展习题数学，如何从习题中发现问题，并将问题提升到专题的高度进行研究的方法。
数学习题教学讲究一题多解，提倡思维的发散性和开放度，但是，学生最终呈现出来的应对某些特定问题的解题策略往往是收敛的，一般可归结为特殊解法和常规解法，也就是说，数学解题策略往往是先散后收的。
然而，事实上，我们的习题教学往往是散而无度的，最终导致学生在解题时无从下手，迈不开关键的第一步，在习题中及时反思发现问题，最终提炼成专题的习惯，教师要有，学生更要有，或者说是教师的习惯成就了学生的习惯。
一、教师要善于从习题中发现问题
数学习题经历过岁月的累加，已经多得汗牛充栋，其中不乏经典好题，但是更多的是雷同题或改编题，即俗话说的“换汤不换药”。因此，教师要善于从纷繁的题海中撷取智慧的浪花，将最重要的教给学生。
案例1. 发现问题——哪里来的相似？
如图1.已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A，B重合），连接CO并延长CO交⊙O与点D，连接AD。
1. 弦长AB等于 ；（结果保留根号）
2. 当∠D=20°时，求∠BOD的度数；
3. 当AC的长度为多少时，以A，C，D为顶点的三角形与以B，C，O为顶点的三角形相似？
反思：学生在解此题时，第1，第2小题尚能够上手，属于中档题，但是到了第3小题，明显感觉无从下手，不知所云了，因为按题目的问法：“以A，C，D为顶点的三角形与以B，C，O为顶点的三角形相似”，必定是对两个三角形的相似情况进行讨论，但是两个三角形又明显不相似，倘若硬要分类讨论，则需要讨论的情况又太多，几乎是不可能实现的……学生陷于纠结之中。
作为教师，从这道试题中需要思考的问题是：要不要讨论，对相似的讨论有哪些情况？本题的突破口在哪里？
事实上，如果不考虑隐含条件，那么相似的讨论需要考查六种情况，这种题目运用于考试中是几乎不可能的，因此，如果涉及两个三角形相似的问题，则必有隐含条件！本题的隐含条件是：由于∠BCO>∠A，∠BCO>∠D，因此∠BCO必与∠ACD对应，如果发现这一隐含条件，则迅速将六种情况减少为两种情况，又由垂径定理得点C必为AB的中点，动点问题转化为定点问题，难度一下子降低，几乎大多数学生都能解决了。
因此，从本题的解答中，我们可以发现一个问题：从怎么可能相似，到不得不相似，其中的奥妙就在于隐含条件的挖掘。
案例2. 发现问题——似曾相识的相似！
如图2，已知抛物线y= x2- （b 1）x （b是实数且b>2）与轴的正半轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C。
（1）点B的坐标为 ，点C的坐标为 ；（用含b的代数式表示）
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）。如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。
反思：考查第（3）题，显然又是一个相似的讨论问题，学生面对“点Q在第一象限”犯愁了“茫茫第一象限，哪里才是点Q该去的地方？
由此，问题就出现了：从怎么可能相似，到不得不相似，这种思维方式在哪里经历过？这就是习题背后的问题。三角形相似必有隐含条件，并且这个隐含条件是好像不成立而又不得不成立的：点Q必在过点A且垂直于X轴的第一象限内的射线上，且∠OQA必与∠ABQ对应！这么多不得不成立的“必”字，将在第一象限内“跑动”的点Q一下子固定住了，下面只要讨论△OCQ与△OAQ的相似情况，显然已经将复杂题目转化为了常规题目，中等水平的学生都能解决了。
二、教师要善于将问题提炼成专题
能够把题目讲清楚的教师是合格的，能够把题目讲透的教师才是优秀的，怎样才算“透”？能够从题目中发现问题只是“透”的第一步，关键是能够将问题串联起来形成专题，编织一张相关题型、相关数学知识的大网，这样才是真正的“透”。
相似的讨论问题，完全可以作为一个专题重点研究，将历年的试题串连起来，明确解题策略和应对方法。
例如，从是否需要讨论的角度而言，我们要观察题目的问法，如果出现了形如“△ABC∽△DEF”，那么不必讨论，除此之外一般都需要讨论（讨论并不代表必有多解）。从讨论的分类情况而言，没有隐含条件的讨论是几乎不可能出现的。所以有必要对隐含条件的情况做一个梳理。
隐含条件通常是角相等（少数也会涉及边的情况），可以分为已经相等和不得不相等两种情况，我们常见的题型是已经相等而不明确相等的情况，可以表示为： 案例3. 形成专题——从原来如此到无非如此
设抛物线y=ax2 bx-2与x轴交于两个不同的点A（-1，0），B（m，0），与y轴交于点C，且∠ACB=90°。
①求m的值和抛物线的解析式；
②已知点D（1，n）在抛物线上，过点A的直线y=x 1交抛物线于另一点E，若点P在x轴上，以点P，B，D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标：
③在②的条件下，△BDP外接圆半径等于 。
反思：第②题是关于相似讨论的题型，可以发现△AEB与△PBD有一对角始终相等，不随点P的运动而变化，即∠EAB=∠PBD=45°。这个条件是已经相等但隐含在题目中的，是需要我们去发现的，而一旦发现了这个隐含条件，那么相似的讨论就转化为对两个基本图形的研究：A字形和斜A字形，立得问题就变得轻而易举了。
类似的习题很多，但是倘若我们仅仅止步于此，不能从习题中发现问题，不能推广到“不得不相等”的情形，那么难免有“坐井观天”之嫌疑，我们为学生编织的数学之网也是有漏洞的。
三、“习题·问题·专题”对数学教学的指导意义
从习题中发现问题，并将问题提炼成专题，这不仅是一种教学方式，更是一种良好的思维方式。从教师角度而言，自觉地养成这种习惯，一方面可以有效地将数学习题进行归类、整理，提高教师把握学科的能力，促进教师的专业成长；另一方面，这种方法可以扩大教师认识数学的视角，使教师能够居高临下地对待数学问题，从而引导学生养成这种归纳、反思、整理的优秀品质。
从学生角度而言，目前的数学学习不缺乏题目，而缺失的就是对题目的再认识，缺少回头望的过程，缺少从习题中发现问题的过程，更不用说提炼出数学思想、解题策略，形成相关题型的专题。事实上，通过习题这一载体，学生真正要学习的，恰恰正是这种良好的思维习惯和思维品质，对学生的可持续发展、终身发展都是大有裨益的。
从教学角度而言，良好的数学教学不应该只是简单的知识传授和习题解答，更多的是对学生学习内驱的激发和学习素养的唤醒，我们不仅要教给学生“原来如此”也要教会学生思考“为何如此”，更要引导学生明白“无非如此”。其实，这也正好体现了不同能力、不同素养的教师对数学教学的不同认识，也由此造就出不同数学视野的学生。
从习题中发现问题，将问题提炼成专题，是需要过程的，如果学生做不到，那么教师就要努力去引导；但是，如果连教师也做不到，那我们怎么去奢求学生呢？
著名数学家G·波利亚说：“一个专心钻研教材的老师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。”那么，我们不妨推而广之，一个专心研究习题的教师拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，通过这道题，就好像通过一道门户，将学生引入一个完整的专题领域。
如果说，数学习题是山脚下的一棵棵树木，我们教师领着学生在树林里转，那么学生的眼中只有树木；倘若我们能够领着学生走上山坡，那么，我们看到的将是一片树林；如果我们还能往上走，那么，我们看到的将是一个森林！
“不畏浮云遮望眼，只缘身在最高层。”这是我们学习数学的最高境界。而我们教师进行数学教学的最高境界则是：将难题教简单了。我们相信，在习题中反思发现问题，并将问题提炼成专题，是将难题教简单的一种行之有效的方法，也能有效地促进教师的成长！
（作者单位：安徽师范大学附属外国语学校 241000）