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【摘要】现代教育理念是让学生学会学习，学会学习的关键之一在于学会反思。在学习中反思可以实现学生的自主学习、自我监控和自我评估。作为教师应该努力创设反思氛围，在数学教学中对学生进行反思意识的培养，对于民族预科生的学习能力和思维品质的提高尤为重要。本文简要阐述培养民族预科生反思意识的重要性，就如何在数学教学中培养民族预科生的反思意识介绍了几点做法。
【关键词】数学课堂教学 ； 民族预科生 ； 反思意识 ； 培养
【中图分类号】G64 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2015）23-0246-02 “反思”是指主动地对已完成的思维过程、思维结果进行检验且具有批判性的再思考、再探索、再创造的过程，是对已经形成的数学思想方法和知识从不同角度、以不同方式进行再认识以求得新的更深刻认识的过程，是学生调控学习的基础，是强化自我意识、进行自我监控和自我调节的主要形式。反思普遍存在于数学学习中，但在数学中学习反思却没有引起师生们的足够重视，甚至可以说是目前数学教学中最薄弱的环节之一。作为数学教师在数学教学中应该高度关注学生的学习反思，有意识地引导学生进行反思，培养学生的反思意识。
一、培养民族预科生反思意识的重要性
1.学情分析
随着高校的不断扩招和民族预科招生的特殊性，预科生源质量普遍较差，学生学习素养低。笔者在近几年的数学教学中发现，预科生普遍存在学生兴趣不浓，学习习惯不好，学习自主性不强，学习动机不明显，学习方法不当，学习能力薄弱，数学意识差等等问题，而学习习惯不好、数学意识差显得尤为突出，反思意识就更谈不上了。经过一年的预科学习，如果学生未能较好地改进自己的情感态度、提高自己的学习能力，那么，这一年反而会加深甚至扩大他们原有的坏习性。
2.民族预科生反思意识培养的重要性
反思过程是一种有效的学习方式，是探究性学习的基本特征之一，是自主性学习的重要表现，是自我教育的开端。荷兰数学家弗莱登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力。”在数学教学中，引导学生反思能促使学生从不同方面多角度、多层次地观察、分析和思考问题及解决问题的思维过程，从而进一步深刻理解问题，提示问题的本質，探索出其一般规律，并使之产生新的发现。通过反思可以提高学生的数学意识、拓宽思路、优化思维品质、增强学习的自主性，促进学生的学习动机成为一种有目标、有策略的主动行为，不断地发现问题、提出问题，从而有效地培养学生的学习能力、思维能力和创新意识。
二、培养民族预科生反思意识的几点做法
课堂教学是培养学生反思意识的主渠道，学生反思意识的培养渗透在教学内容中，需要在平时的概念教学、解题教学中逐步逐步地培养。
1.通过数学概念的教学，培养民族预科生的反思意识
教材中的概念、定理、公式等是学生学习的主要知识点，也是学生思维的核心。靠死记硬背是很难牢固掌握概念、定理和公式的深刻含义的。因此，教师在教学中不仅要引导学生参与到概念、公式、定理、法则的形成过程中来，更重要地还要引导学生运用已有的数学知识、思想方法和经验对其形成的过程进行反思，要多问几个为什么。
2.通过解题的教学，培养民族预科生的反思意识
美籍匈牙利数学家波利亚在《怎样解题》一书中指出：“即使是相当好的学生，当他得到问题的解答，并且很干净利落地写下论证后，就会合上书本，找点别的事来做，这样他们就错过了解题的一个重要而有益处的方面。通过回顾所完成的解答，通过重新检查这个结果和得出这一结果的路子，学生们可以巩固他们的知识和发展他们的能力。”其中“回顾”就是解题后的反思，它是解题思维过程中的深化和提高。在解题教学中，学生做完一道题后，引导学生进行反思，这不仅是解题的回顾或体验，而是引导学生根据问题的结构特点，通过对解题的思路、解题规律、解题结果等的反思，来进一步提示问题的思维过程，开发学生的智力，掌握规律，形成知识的正迁移，达到举一反三、触类旁通的目的。
（1）反思思考过程
在解题活动结束后要尽力去回忆自己从开始解题到结束的每一步的心理活动，分析其中碰到哪些问题，走了弯路没；为什么会走这些弯路，为什么会有这些问题，有没有可吸收的经验；问题得以成功解决的关键在何处；自己的思路与老师或与同学的思路有什么不同，其中的差距在何处，其原因是什么。切勿小看对自己思考过程的反思，因为这是一种学会学习的能力的培养，是可持续发展的人的素质的培养，更是数学教学中素质教育的最重要的体现。
（2）反思数学思想方法
数学思想方法往往蕴涵在数学知识和数学解题活动之中。它的学习常常要靠教师的提示，更要靠学生本人在长期的数学学习过程中去领悟、吸收并加以灵活运用。数学思想方法与数学活动是形影不离的。因此，在数学教学中，要引导学生在数学解题结束后要进行如下的反思活动：解题中运用了哪些数学思想方法？它们起了什么作用、如何起作用的？这些思想方法我以前在哪些地方用过？现在的运用与以前的运用有区别和联系么？有规律可循么？我对这些思想方法有无更新的认识、能否推广运用？另外，在一题多解的数学活动结束后，可引导学生比较几种不同解法，总结它们所运用的数学思想方法的异同之处等等。
（3）反思解题思路
在解完一道题后，不能停留在所得出的结论上，教师应引导学生进行反思，看看能否根据题目的基本特征进行多角度的思考、联想，运用不同的思维方式探求不同的解题方法。
【例题】 已知x2+y2=2，求x+y的最大值。
思路：把 x，y看成两个实数，在条件x2+y2=2下，求两个数的和的最值。于是联想到基本不等式法：
解法一：因 （x+y）2=x2+2xy+y2≤ x2+（x2+y2）+y2=2（x2+y2）=4，所以|x+y|≤2， 故x+y的最大值是2。 反思1：用函数思想来解决此题，不过要注意函数的定义域，注意到≥-（|x|≤），所以只需求函数f（x）=x+的最大值，于是得到解法二（求法从略）。
反思2：把x2+y2=2看成一个平面区域（圆域），可用线性规划思想解决问题，得到第三种解法（即线性规划法。求法从略）。
反思3：用方程思想解决问题设x+y=k，由y= k-x代入x2+y2=2 得到一个关于x的一元二次方程，利用判别式Δ≥0求解 ，这就是第四种解法（判别式法。求法从略）。
反思4：由已知条件联想到：sin2θ+cos2θ=1，可设x=cosθ，y=sinθ，利用换元法把问题转化为三角函数问题的求解，这样就得到了第五种解法（即换元法。求法从略）。
解题时仔细分析题目的条件与结论的关系，引导学生多角度观察、联想，寻求一题多解，从中选择最基本、最典型或最佳解法。通过一题多解，反思解题思路，可以优化学生的思维，有利于培养学生思维的广阔性、灵活性和深刻性。
（4）反思解题规律
同一类型的数学问题，其解法往往有其内在的规律性。因此，当解完一道题后，教师应不失时机地引导学生反思解题方法，认真总结解题规律，力求从中找出普遍适用的东西作一般性推广和引申，这样学生能解决的就不是一个问题而是一连串的问题了。
比如，把上述“【例题】”中的题解完后，可进一步引导学生分析和思考：
反思1：在条件不变的情况下变换结论
如：x-y， xy， x/y有最大值吗？
反思2：只变更条件
①已知x2+y2-4x-6y+12=0，求x+y的最大值。
②已知2x2+3y2=6，求x+y的最大值。
反思3：互换条件和结论
已知x+y=2， 求x2+y2的最大值。
在数学课堂教学中，引导学生利用多题一解、一题多变，促使学生反思解题规律，有利于提高学生的整理、归纳能力。
（5）反思解题的错误和疏漏
民族预科生解题出现错误或疏漏的现象尤其普遍和突出。解完一道题后，首先要考虑的是：解题过程中是否有错误和疏漏的地方，教学中应引导学生总结应该注意的方面：答案是否合理，解题过程是否有疏漏。
【例题】从1～9的九個数字中，取出5个数作排列，并把五个位置自右向左编号，则奇数数字必在奇数位置上的排列有多少个？
解法一：由1，3，5，7，9五个奇数数字中取3个排在奇数位置上，有A种方法，再由2，4，6，8四个偶数数字取2个排列在偶数位置上有A种方法，故符合题意的方法共有AA=720个。
解法二：从四个偶数中选取2个排列在2个偶数位置上，有A种排列，再从剩下的7个数字中选取3个排在其余位置上，有A种排法，故适合题意的排列个数是AA=2520个。
对比以上两种方法，促使学生反思解题过程中的错误和疏漏，找出解法一的病根：没有仔细审题，误以为“奇数位置上必排奇数”，而题意“奇数数字必在奇数位置”是指（1）如果有奇数数字，则它们必须排在奇数位置上；（2）如果奇数数字不是3个，甚至没有时，则奇数位置上也可以不是奇数；（3）偶数位置上一定是偶数。
反思是改进错误和疏漏的最佳途经，反思解题错误和疏漏有利于培养学生思维的严谨性。
综上所述，教师在解题教学中可以从下列问题引导学生进行反思：
（1）是否达到了通过解题训练掌握了知识的目的；（2）有关的概念、公式、法则应用的是否合理；（3）解题方法是否得当、合理；（4）解题思路中的关键在何处；（5）还有无别的解法或更好的解法；（6）解题中运用了哪些数学思想方法；（7）此题与以前的哪些题类似，能否有规律可循；能否进行变式、引伸和推广等。
学生的反思意识是由教师在教学中长期地、持续地逐步培养起来的。在数学教学中，教师应不失时机地引导学生进行反思，培养学生的反思意识，在反思中真正领悟数学的思想方法，优化他们的认知结构，提高思维能力、解决问题的能力。
参考文献
[1]曾岳生主编. 普通高等学校少数民族预科教材.中国铁道出版社.2012.08
[2]尤俊桥主编. 中学数学.湖北大学中学数学杂志社.2009.04
【关键词】数学课堂教学 ； 民族预科生 ； 反思意识 ； 培养
【中图分类号】G64 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2015）23-0246-02 “反思”是指主动地对已完成的思维过程、思维结果进行检验且具有批判性的再思考、再探索、再创造的过程，是对已经形成的数学思想方法和知识从不同角度、以不同方式进行再认识以求得新的更深刻认识的过程，是学生调控学习的基础，是强化自我意识、进行自我监控和自我调节的主要形式。反思普遍存在于数学学习中，但在数学中学习反思却没有引起师生们的足够重视，甚至可以说是目前数学教学中最薄弱的环节之一。作为数学教师在数学教学中应该高度关注学生的学习反思，有意识地引导学生进行反思，培养学生的反思意识。
一、培养民族预科生反思意识的重要性
1.学情分析
随着高校的不断扩招和民族预科招生的特殊性，预科生源质量普遍较差，学生学习素养低。笔者在近几年的数学教学中发现，预科生普遍存在学生兴趣不浓，学习习惯不好，学习自主性不强，学习动机不明显，学习方法不当，学习能力薄弱，数学意识差等等问题，而学习习惯不好、数学意识差显得尤为突出，反思意识就更谈不上了。经过一年的预科学习，如果学生未能较好地改进自己的情感态度、提高自己的学习能力，那么，这一年反而会加深甚至扩大他们原有的坏习性。
2.民族预科生反思意识培养的重要性
反思过程是一种有效的学习方式，是探究性学习的基本特征之一，是自主性学习的重要表现，是自我教育的开端。荷兰数学家弗莱登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力。”在数学教学中，引导学生反思能促使学生从不同方面多角度、多层次地观察、分析和思考问题及解决问题的思维过程，从而进一步深刻理解问题，提示问题的本質，探索出其一般规律，并使之产生新的发现。通过反思可以提高学生的数学意识、拓宽思路、优化思维品质、增强学习的自主性，促进学生的学习动机成为一种有目标、有策略的主动行为，不断地发现问题、提出问题，从而有效地培养学生的学习能力、思维能力和创新意识。
二、培养民族预科生反思意识的几点做法
课堂教学是培养学生反思意识的主渠道，学生反思意识的培养渗透在教学内容中，需要在平时的概念教学、解题教学中逐步逐步地培养。
1.通过数学概念的教学，培养民族预科生的反思意识
教材中的概念、定理、公式等是学生学习的主要知识点，也是学生思维的核心。靠死记硬背是很难牢固掌握概念、定理和公式的深刻含义的。因此，教师在教学中不仅要引导学生参与到概念、公式、定理、法则的形成过程中来，更重要地还要引导学生运用已有的数学知识、思想方法和经验对其形成的过程进行反思，要多问几个为什么。
2.通过解题的教学，培养民族预科生的反思意识
美籍匈牙利数学家波利亚在《怎样解题》一书中指出：“即使是相当好的学生，当他得到问题的解答，并且很干净利落地写下论证后，就会合上书本，找点别的事来做，这样他们就错过了解题的一个重要而有益处的方面。通过回顾所完成的解答，通过重新检查这个结果和得出这一结果的路子，学生们可以巩固他们的知识和发展他们的能力。”其中“回顾”就是解题后的反思，它是解题思维过程中的深化和提高。在解题教学中，学生做完一道题后，引导学生进行反思，这不仅是解题的回顾或体验，而是引导学生根据问题的结构特点，通过对解题的思路、解题规律、解题结果等的反思，来进一步提示问题的思维过程，开发学生的智力，掌握规律，形成知识的正迁移，达到举一反三、触类旁通的目的。
（1）反思思考过程
在解题活动结束后要尽力去回忆自己从开始解题到结束的每一步的心理活动，分析其中碰到哪些问题，走了弯路没；为什么会走这些弯路，为什么会有这些问题，有没有可吸收的经验；问题得以成功解决的关键在何处；自己的思路与老师或与同学的思路有什么不同，其中的差距在何处，其原因是什么。切勿小看对自己思考过程的反思，因为这是一种学会学习的能力的培养，是可持续发展的人的素质的培养，更是数学教学中素质教育的最重要的体现。
（2）反思数学思想方法
数学思想方法往往蕴涵在数学知识和数学解题活动之中。它的学习常常要靠教师的提示，更要靠学生本人在长期的数学学习过程中去领悟、吸收并加以灵活运用。数学思想方法与数学活动是形影不离的。因此，在数学教学中，要引导学生在数学解题结束后要进行如下的反思活动：解题中运用了哪些数学思想方法？它们起了什么作用、如何起作用的？这些思想方法我以前在哪些地方用过？现在的运用与以前的运用有区别和联系么？有规律可循么？我对这些思想方法有无更新的认识、能否推广运用？另外，在一题多解的数学活动结束后，可引导学生比较几种不同解法，总结它们所运用的数学思想方法的异同之处等等。
（3）反思解题思路
在解完一道题后，不能停留在所得出的结论上，教师应引导学生进行反思，看看能否根据题目的基本特征进行多角度的思考、联想，运用不同的思维方式探求不同的解题方法。
【例题】 已知x2+y2=2，求x+y的最大值。
思路：把 x，y看成两个实数，在条件x2+y2=2下，求两个数的和的最值。于是联想到基本不等式法：
解法一：因 （x+y）2=x2+2xy+y2≤ x2+（x2+y2）+y2=2（x2+y2）=4，所以|x+y|≤2， 故x+y的最大值是2。 反思1：用函数思想来解决此题，不过要注意函数的定义域，注意到≥-（|x|≤），所以只需求函数f（x）=x+的最大值，于是得到解法二（求法从略）。
反思2：把x2+y2=2看成一个平面区域（圆域），可用线性规划思想解决问题，得到第三种解法（即线性规划法。求法从略）。
反思3：用方程思想解决问题设x+y=k，由y= k-x代入x2+y2=2 得到一个关于x的一元二次方程，利用判别式Δ≥0求解 ，这就是第四种解法（判别式法。求法从略）。
反思4：由已知条件联想到：sin2θ+cos2θ=1，可设x=cosθ，y=sinθ，利用换元法把问题转化为三角函数问题的求解，这样就得到了第五种解法（即换元法。求法从略）。
解题时仔细分析题目的条件与结论的关系，引导学生多角度观察、联想，寻求一题多解，从中选择最基本、最典型或最佳解法。通过一题多解，反思解题思路，可以优化学生的思维，有利于培养学生思维的广阔性、灵活性和深刻性。
（4）反思解题规律
同一类型的数学问题，其解法往往有其内在的规律性。因此，当解完一道题后，教师应不失时机地引导学生反思解题方法，认真总结解题规律，力求从中找出普遍适用的东西作一般性推广和引申，这样学生能解决的就不是一个问题而是一连串的问题了。
比如，把上述“【例题】”中的题解完后，可进一步引导学生分析和思考：
反思1：在条件不变的情况下变换结论
如：x-y， xy， x/y有最大值吗？
反思2：只变更条件
①已知x2+y2-4x-6y+12=0，求x+y的最大值。
②已知2x2+3y2=6，求x+y的最大值。
反思3：互换条件和结论
已知x+y=2， 求x2+y2的最大值。
在数学课堂教学中，引导学生利用多题一解、一题多变，促使学生反思解题规律，有利于提高学生的整理、归纳能力。
（5）反思解题的错误和疏漏
民族预科生解题出现错误或疏漏的现象尤其普遍和突出。解完一道题后，首先要考虑的是：解题过程中是否有错误和疏漏的地方，教学中应引导学生总结应该注意的方面：答案是否合理，解题过程是否有疏漏。
【例题】从1～9的九個数字中，取出5个数作排列，并把五个位置自右向左编号，则奇数数字必在奇数位置上的排列有多少个？
解法一：由1，3，5，7，9五个奇数数字中取3个排在奇数位置上，有A种方法，再由2，4，6，8四个偶数数字取2个排列在偶数位置上有A种方法，故符合题意的方法共有AA=720个。
解法二：从四个偶数中选取2个排列在2个偶数位置上，有A种排列，再从剩下的7个数字中选取3个排在其余位置上，有A种排法，故适合题意的排列个数是AA=2520个。
对比以上两种方法，促使学生反思解题过程中的错误和疏漏，找出解法一的病根：没有仔细审题，误以为“奇数位置上必排奇数”，而题意“奇数数字必在奇数位置”是指（1）如果有奇数数字，则它们必须排在奇数位置上；（2）如果奇数数字不是3个，甚至没有时，则奇数位置上也可以不是奇数；（3）偶数位置上一定是偶数。
反思是改进错误和疏漏的最佳途经，反思解题错误和疏漏有利于培养学生思维的严谨性。
综上所述，教师在解题教学中可以从下列问题引导学生进行反思：
（1）是否达到了通过解题训练掌握了知识的目的；（2）有关的概念、公式、法则应用的是否合理；（3）解题方法是否得当、合理；（4）解题思路中的关键在何处；（5）还有无别的解法或更好的解法；（6）解题中运用了哪些数学思想方法；（7）此题与以前的哪些题类似，能否有规律可循；能否进行变式、引伸和推广等。
学生的反思意识是由教师在教学中长期地、持续地逐步培养起来的。在数学教学中，教师应不失时机地引导学生进行反思，培养学生的反思意识，在反思中真正领悟数学的思想方法，优化他们的认知结构，提高思维能力、解决问题的能力。
参考文献
[1]曾岳生主编. 普通高等学校少数民族预科教材.中国铁道出版社.2012.08
[2]尤俊桥主编. 中学数学.湖北大学中学数学杂志社.2009.04