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【摘要】用本文中的“约束条件法”和“公式法”求二阶线性微分方程的特解，能收到既快又准之效。
【关键词】约束条件法 公式法
【中图分类号】G71 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）37-0126-01
一、求y"+py'+qy=pm（x）e？ x特解y 的“约束条件法”
我们知道，满足上述微分方程的特解形式为y =R（x）e？ x.将其代入原方程得如下约束条件
R"（x）+（2？ +p）R'（x）+（？ 2+p？ +q）R（x）=Pm（x）.
（1）当？ 是特征方程r2+pr+q=0的二重根时，必有？ 2+p？ +q=0，且由韦达定理得？ +？ =-p，此时约束条件简化为；R"（x）=Pm（x）；
（2）当？ 是特征方程r2+pr+q=0的单根时，必有？ 2+p？ +q=0，且 2？ +p≠0. 此时约束条件简化为R"（x）+（2？ +p）R'（x）=Pm（x）.
例1求微分方程y"-6y'+9y=（x+1）e3x的一个特解。
解 由于？ =3是特征方程r2-6r+9=0的二重根，所以特解形式必为y =R（x）e3x=x2Rm（x）e3x=x2（ax+b）e3x=（ax3+bx2）e3x，
此时R（x）=ax3+bx2，且满足约束条件R"（x）=Pm（x）.
將R'（x）=3ax2+2bx，R"（x）=6ax+2b，Pm（x）=x+1，代入上式得6ax+2b=x+1，
即a= ，b= ，所求特解y =（ x3+ x2）e3x.
二、求y"+py'+qy=e？ x（A cos？ +Bsin？ ）特解y 的“公式法”
公式1 當？ ± i是特征方程r2+pr+q=0的根时，特解为
y =xe cos ？ + sin ？ .
证由题设，特解形式y =xe （a cos ？ +b sin ？ ）
由韦达定理2？ =-p？ 2+ 2=q，于是原微分方程变为
y"-2？ y'+（？ 2+ 2）y=e （A cos ？ +B sin ？ ）
将所设特解代入上述变形后的微分方程，整理得
2b cos？ -2a sin？ =Acos？ +Bsin？ ，
比较系数得 a= ，b= .
例2求微分方程y"-2y'+5y=e sin2x的一个特解。
解y"-2y'+5y=e sin 2x=e （0·cos 2x+1·sin 2x），
所以？ =1， =2，且A=0，B=1.
由于？ ± i=1±2i是特征方程r2-2r+5=0的根，
所以特解y =e cos ？ + sin ？ = xe cos 2x.
公式2当？ ± i不是特征方程r2+pr+q=0的根时，特解
y =e （a cos ？ +b sin ？ ），且
a= b=
证 将所设特解代入微分方程，整理得
[a（？ - +p？ +q）+b（2？ +p ）]cos ？
+[-a（2？ +p ）+b（？ - +p？ +q）]sin ？ =Acos ？ +Bsin ？ .
比较系数，得（？ - +p？ +q）a+（2？ +p ）b=A-（2？ +p ）a+（？ - +p？ +q）b=B
由行列式即可解得上述结论。
【关键词】约束条件法 公式法
【中图分类号】G71 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）37-0126-01
一、求y"+py'+qy=pm（x）e？ x特解y 的“约束条件法”
我们知道，满足上述微分方程的特解形式为y =R（x）e？ x.将其代入原方程得如下约束条件
R"（x）+（2？ +p）R'（x）+（？ 2+p？ +q）R（x）=Pm（x）.
（1）当？ 是特征方程r2+pr+q=0的二重根时，必有？ 2+p？ +q=0，且由韦达定理得？ +？ =-p，此时约束条件简化为；R"（x）=Pm（x）；
（2）当？ 是特征方程r2+pr+q=0的单根时，必有？ 2+p？ +q=0，且 2？ +p≠0. 此时约束条件简化为R"（x）+（2？ +p）R'（x）=Pm（x）.
例1求微分方程y"-6y'+9y=（x+1）e3x的一个特解。
解 由于？ =3是特征方程r2-6r+9=0的二重根，所以特解形式必为y =R（x）e3x=x2Rm（x）e3x=x2（ax+b）e3x=（ax3+bx2）e3x，
此时R（x）=ax3+bx2，且满足约束条件R"（x）=Pm（x）.
將R'（x）=3ax2+2bx，R"（x）=6ax+2b，Pm（x）=x+1，代入上式得6ax+2b=x+1，
即a= ，b= ，所求特解y =（ x3+ x2）e3x.
二、求y"+py'+qy=e？ x（A cos？ +Bsin？ ）特解y 的“公式法”
公式1 當？ ± i是特征方程r2+pr+q=0的根时，特解为
y =xe cos ？ + sin ？ .
证由题设，特解形式y =xe （a cos ？ +b sin ？ ）
由韦达定理2？ =-p？ 2+ 2=q，于是原微分方程变为
y"-2？ y'+（？ 2+ 2）y=e （A cos ？ +B sin ？ ）
将所设特解代入上述变形后的微分方程，整理得
2b cos？ -2a sin？ =Acos？ +Bsin？ ，
比较系数得 a= ，b= .
例2求微分方程y"-2y'+5y=e sin2x的一个特解。
解y"-2y'+5y=e sin 2x=e （0·cos 2x+1·sin 2x），
所以？ =1， =2，且A=0，B=1.
由于？ ± i=1±2i是特征方程r2-2r+5=0的根，
所以特解y =e cos ？ + sin ？ = xe cos 2x.
公式2当？ ± i不是特征方程r2+pr+q=0的根时，特解
y =e （a cos ？ +b sin ？ ），且
a= b=
证 将所设特解代入微分方程，整理得
[a（？ - +p？ +q）+b（2？ +p ）]cos ？
+[-a（2？ +p ）+b（？ - +p？ +q）]sin ？ =Acos ？ +Bsin ？ .
比较系数，得（？ - +p？ +q）a+（2？ +p ）b=A-（2？ +p ）a+（？ - +p？ +q）b=B
由行列式即可解得上述结论。