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摘要：学习数学中三角形三点共线的性质，即梅涅劳斯定理。还有三角形三线共点性质，即塞瓦定理。学习这两个定理可以对初中的数学学习起到很大帮助，可以帮助我们进行几何中共线、共点、平行、比例等等相关定理的证明。
关键词：梅涅劳斯;塞瓦;共线共点
Menelaus和Ceva定理在数学中用处很大！
可以很容易地解决几何中共线，共点，平行，比例，……以及相关定理的证明等问题。
故有必要介绍一下Menelaus（梅涅劳斯）定理和Ceva（赛瓦）定理
Menelaus定理：1直线截△3边（或其延长线）所得（起点到分点线段分点到终点线段）总积=1
Ceva定理：1点与△3顶点所在直线截对边的分点，所得（起点到分点线段分点到终点线段）总积=1
这两个定理表达式惊人的雷同。所以把它们合在一起介绍。
先来介绍起点，终点，分点。
如：线段AB（从A到B）A→B，点A为起点，点B为终点。
线段BA（从B到A）A←B，点B为起点，点A为终点。
当点C在线段AB所在直线上时，把点C叫线段AB的分点。
点C可能在线段AB内（内分），也可能在线段AB外（外分）。
一般不考虑点C与A，B重合的情况。如下图：
情况1
情况2
情况3
在△ABC中，一般按照字母顺序循环排列，如图：
如A→B→C→A，
在线段AB中，点A为起点，点B为终点。
在线段BC中，点B为起点，点C为终点。
在线段CA中，点C为起点，点A为终点。
现在再来看看Menelaus（梅涅劳斯）定理中截△的直线。
该直线可能在三角形外，也可能在△上，还可能在△内。
這三种情况都是差不多的。我们先看看该直线在△内的情况。
该直线在△内可能过顶点，也可能不过顶点。
这两种情况也差不多。现在看该直线在△内不过顶点的情况。
如图：直线DEF截△ABC三边分别于D，E，F。
在线段AB中，点A为起点，点B为终点，点D为分点（内分）。
在线段BC中，点B为起点，点C为终点。点F为分点（外分）。
在线段CA中，点C为起点，点A为终点，点E为分点（内分）。
根据：（起点到分点线段分点到终点线段）的总积=1由此可得：ADDB×BFFC×CEEA=1
有了以上基础，现在再来看看Ceva（赛瓦）定理：
一点与△的三顶点所在直线截对边一分点，所得的（起点到分点线段分点到终点线段）总积=1
这点可能在△内，也可能在△上，还可能在△外。这三种情况都差不多。现在介绍该点在△外的情况。
如图：点D在△ABC外，
AD交BC于E（外分），
BD交CA于G（外分），
CD交AB于F（内分）。
在线段AB中，A为起点B，为终点，F为分点（内分）。
在线段BC中，B为起点C，为终点，E为分点（外分）。
在线段CA中，C为起点A，为终点，G为分点（外分）。
根据（起点到分点线段分点到终点线段）总积=1可以得到：AFFB×BEEC×CGGA=1
现在证明：Menelaus（梅涅劳斯）和Ceva（塞瓦）定理的正确性。
Menelaus（梅涅劳斯）定理：一直线截△3边（或其延长线）
所得（起点到分点线段分点到终点线段）总积=1
如图：直线DFE截△ABC三边分别为D，E，F，
求证：ADDB×BEEC×CFFA=1。
欲证：ADDB×BEEC×CFFA=1，连接BF，DC。由面积公式得：
①S△ADFS△BDF=ADDB②S△CDFS△ADF=CFFA③S△BDFS△CDF=0.5DF×点B到DF距离0.5DF×点C到DF距离=BEEC
由此可得：ADDB×BEEC×CFFA=S△ADFS△BDF×S△BDFS△CDF×S△CDFS△ADF=1
现在来看看Ceva（赛瓦）定理的证明。
Ceva（赛瓦）定理：
一点与△的3顶点所在直线截对边一分点。所得的（起点到分点线段分点到终点线段）的总积=1
如图：点D在△ABC外，AD交BC于E，BD交CA于F，CD交AB于G。
求证：AGGB×BEEC×CFFA=1
证明：由图可知：直线DGC截△ABE于G，C，D三点。
由Menelaus（梅涅劳斯）定理可得：AGGB×BCCE×EDDA=1
再由图可知：直线FDB截△CAE于F，D，B三点。
由Menelaus（梅涅劳斯）定理可得CFFA×ADDE×EDBC=1AGGB×BEEC×CFFA=1
上下两式相乘得：AGGB×BCCE×EDDACFFA×ADDE×EBBC=1
经过化解整理得：AGGB×BEEC×CFFA=1问题得以证明。
现在来看看Menelaus（梅涅劳斯）和Ceva（塞瓦）逆定理
Menelaus（梅涅劳斯）逆定理：在△三边上取三分点（要求1或3个外分点）。
如果所得的（起点到分点线段分点到终点线段）的总积=1那么：这三分点共线。
关键词：梅涅劳斯;塞瓦;共线共点
Menelaus和Ceva定理在数学中用处很大！
可以很容易地解决几何中共线，共点，平行，比例，……以及相关定理的证明等问题。
故有必要介绍一下Menelaus（梅涅劳斯）定理和Ceva（赛瓦）定理
Menelaus定理：1直线截△3边（或其延长线）所得（起点到分点线段分点到终点线段）总积=1
Ceva定理：1点与△3顶点所在直线截对边的分点，所得（起点到分点线段分点到终点线段）总积=1
这两个定理表达式惊人的雷同。所以把它们合在一起介绍。
先来介绍起点，终点，分点。
如：线段AB（从A到B）A→B，点A为起点，点B为终点。
线段BA（从B到A）A←B，点B为起点，点A为终点。
当点C在线段AB所在直线上时，把点C叫线段AB的分点。
点C可能在线段AB内（内分），也可能在线段AB外（外分）。
一般不考虑点C与A，B重合的情况。如下图：
情况1
情况2
情况3
在△ABC中，一般按照字母顺序循环排列，如图：
如A→B→C→A，
在线段AB中，点A为起点，点B为终点。
在线段BC中，点B为起点，点C为终点。
在线段CA中，点C为起点，点A为终点。
现在再来看看Menelaus（梅涅劳斯）定理中截△的直线。
该直线可能在三角形外，也可能在△上，还可能在△内。
這三种情况都是差不多的。我们先看看该直线在△内的情况。
该直线在△内可能过顶点，也可能不过顶点。
这两种情况也差不多。现在看该直线在△内不过顶点的情况。
如图：直线DEF截△ABC三边分别于D，E，F。
在线段AB中，点A为起点，点B为终点，点D为分点（内分）。
在线段BC中，点B为起点，点C为终点。点F为分点（外分）。
在线段CA中，点C为起点，点A为终点，点E为分点（内分）。
根据：（起点到分点线段分点到终点线段）的总积=1由此可得：ADDB×BFFC×CEEA=1
有了以上基础，现在再来看看Ceva（赛瓦）定理：
一点与△的三顶点所在直线截对边一分点，所得的（起点到分点线段分点到终点线段）总积=1
这点可能在△内，也可能在△上，还可能在△外。这三种情况都差不多。现在介绍该点在△外的情况。
如图：点D在△ABC外，
AD交BC于E（外分），
BD交CA于G（外分），
CD交AB于F（内分）。
在线段AB中，A为起点B，为终点，F为分点（内分）。
在线段BC中，B为起点C，为终点，E为分点（外分）。
在线段CA中，C为起点A，为终点，G为分点（外分）。
根据（起点到分点线段分点到终点线段）总积=1可以得到：AFFB×BEEC×CGGA=1
现在证明：Menelaus（梅涅劳斯）和Ceva（塞瓦）定理的正确性。
Menelaus（梅涅劳斯）定理：一直线截△3边（或其延长线）
所得（起点到分点线段分点到终点线段）总积=1
如图：直线DFE截△ABC三边分别为D，E，F，
求证：ADDB×BEEC×CFFA=1。
欲证：ADDB×BEEC×CFFA=1，连接BF，DC。由面积公式得：
①S△ADFS△BDF=ADDB②S△CDFS△ADF=CFFA③S△BDFS△CDF=0.5DF×点B到DF距离0.5DF×点C到DF距离=BEEC
由此可得：ADDB×BEEC×CFFA=S△ADFS△BDF×S△BDFS△CDF×S△CDFS△ADF=1
现在来看看Ceva（赛瓦）定理的证明。
Ceva（赛瓦）定理：
一点与△的3顶点所在直线截对边一分点。所得的（起点到分点线段分点到终点线段）的总积=1
如图：点D在△ABC外，AD交BC于E，BD交CA于F，CD交AB于G。
求证：AGGB×BEEC×CFFA=1
证明：由图可知：直线DGC截△ABE于G，C，D三点。
由Menelaus（梅涅劳斯）定理可得：AGGB×BCCE×EDDA=1
再由图可知：直线FDB截△CAE于F，D，B三点。
由Menelaus（梅涅劳斯）定理可得CFFA×ADDE×EDBC=1AGGB×BEEC×CFFA=1
上下两式相乘得：AGGB×BCCE×EDDACFFA×ADDE×EBBC=1
经过化解整理得：AGGB×BEEC×CFFA=1问题得以证明。
现在来看看Menelaus（梅涅劳斯）和Ceva（塞瓦）逆定理
Menelaus（梅涅劳斯）逆定理：在△三边上取三分点（要求1或3个外分点）。
如果所得的（起点到分点线段分点到终点线段）的总积=1那么：这三分点共线。