三角函数是初等函数中最具有代表性的一类函数，它蕴含了函数的各种性质.函数y=Asin(ωx+φ)不仅在三角函数中具有重要作用，而且是中学数学中：周期函数的典型代表；有界函数的典型代表；对称函数的典型代表.因此三角函数中的好多问题最后都转化到函数y=sin（ωx+φ）的形式再解决.
　　现将函数y=Asin（ωx+φ）的有关问题做一简单的归纳：
　　一、 解决函数y=Asin（ωx+φ）的有关问题时用到的数学思想
　　函数y=Asin（ωx+φ）的有关问题中设计到的数学思想有：换元的思想、化归的思想、数形结合的思想和分类讨论的思想.
　　二、 关于函数y=Asin（ωx+φ）的几类问题
　　1. 与正、余弦函数有关的一类周期问题
　　中学数学中周期函数的典型代表是三角函数，其中通过函数y=Asin（ωx+φ）来考查函数的周期性又更为频繁.
　　2.函数的最值问题
　　利用三角函数的有界性来求函数的最值是求函数最值的重要方法之一，而其中不少问题的归宿就是函数y=Asin（ωx+φ）.
　　3.函数的对称性问题
　　函数y=Asin(ωx+φ)的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，是中学数学函数对称问题的典型代表.它的对称轴和对称中心又取决于ω和φ的值.
　　4.三角函数的单调性问题
　　以y=sinx为出发点通过换元的方法将问题归结到函数y=Asin（ωx+φ）来考查函数的单调性是三角函数中常考的内容.
　　5. 与三角函数有关的奇偶性问题
　　由于A、ω和φ的不同取值使函数y=Asin（ωx+φ）可能是奇函数、也可能是偶函数、还可能是非奇非偶的函数，这为考查函数的奇偶性增加了丰富的内容.
　　6.函数图象的变换问题
　　从y=sinx的图象到y=Asin（ωx+φ）图象的一系列变换不仅是三角函数的重点内容也是中学数学中图象变换的典型代表，因此是高考的常考题型.
　　三、 函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质
　　1.周期性
　　函数y=Asin(ωx+φ)的周期是Ｔ＝2π|ω|.
　　２.最值
　　函数y=Asin（ωx+φ）当ωx+φ=2kπ+π2（k∈Z）时有最大值且ymax=|A|；当ωx+φ=2kπ-π2（k∈Z）时有最小值且ymin=-|A|.
　　3.对称性
　　函数y=Asin（ωx+φ）的对称轴是x=kπ+π2-φω：对称中心是kπ-φω，0
　　4.奇偶性
　　当φ＝kπ+π2（k∈Z）时函数y=Asin（ωx+φ）为偶函数；
　　当φ≠kπ2（k∈Z）时函数y=Asin（ωx+φ）为奇函数；
　　当φ≠kπ2（k∈Z）时函数y=Asin（ωx+φ）为非奇非偶的函数.
　　5.单调性
　　对于函数y=Asin（ωx+φ）：
　　若A•ω＞0则x∈{x|2kπ-π2≤ωx+φ≤2kπ+3π2，k∈Z}时单调递增；x∈x|2kπ+π2≤ωx+φ≤2kπ+3π2，k∈Z时单调递减；
　　若A•ω＜0则x∈{x|2kπ+π2≤ωx+φ≤2kπ+3π2，k∈Z}单调递增；x∈{x|2kπ-π2≤ωx+φ≤2kπ+π2，k∈Z}单调递减；
　　6.图象
　　（１）“五点法”做图；
　　五个关键点-φω，0，π2-φω，1，π-φω，0，3π2-φω，-1，2π-φω，0.
　　（２） 变换做图：有两条路径
　　① 相位——周期——振幅;
　　② 周期——相位——振幅
　　
　　四、 向y=Asin（ωx+φ）转化的途径和方法
　　此类问题往往以向量的形式或结构较为复杂的函数形式出现，但经过简单的整理之后都可化为关于某一个角α的正余弦的二次齐次式，于是可以用以下变换化为y=Asin（ωx+φ）的形式；
　　y=m.sin2ω2x+n.cos2ω2x+p.sinω2x.cosω2+q
　　降幂（sin2α=1-cos2α2,cos2α=1+cos2α2，sin2α=2sinαcosα）
　　y=a•sinωx+b•cosωx
　　压缩（asinα+bcosα=a2+b2sin(α+φ)）
　　y=Asin（ωx+φ）
　　五、 考题见证
　　例1（2006年湖北卷）设函数f（x）=a•（b+c），其中向量
　　a=（sinx，-cosx），b=（sinx，-3cosx）
　　c=（-cosx，sinx），x∈R
　　（Ⅰ） 求函数f(x)的最大值和最小正周期；
　　（Ⅱ） 将函数y=f(x)的图象按向量d平移，使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d.
　　解：(Ⅰ) 由题意得，f(x)＝a(b+c)=(sinx,－cosx)•(sinx－cosx,sinx－3cosx)
　　＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+2sin2x+3π4.
　　所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是2π2＝π.
　　（Ⅱ） 由sin2x+3π4＝0得2x+3π4＝k.π，即x＝kπ2-3π8,k∈Z，
　　于是d＝kπ2-3π8，－2，
　　|d|=kπ2-3π82+4，k∈Z.
　　因为k为整数，要使|d|最小，则只有k＝1，此时d＝―π8，―2即为所求
　　例2（2006年陕西卷）已知函数f(x)=3sin2x-π6+2sin2x-π12（x∈R）
　　（Ⅰ） 求函数f(x)的最小正周期；
　　（Ⅱ） 求使函数f(x)取得最大值的x集合.
　　解：(Ⅰ)f(x)=3sin2x－π6+1-cos2x-π12
　　=232sin2x-π12－12cos2x-π12+1
　　=2sin2x-π12-π6+1
　　=2sin2x－π3+1
　　∴ T=2π2=π
　　(Ⅱ) 当f(x)取最大值时,sin2x-π3=1,有2x-π3=2kπ+π2
　　即x=kπ+5π12(k∈Z) ∴ 所求x的集合为{x∈R|x= kπ+5π12,(k∈Z)}.
　　
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文