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题目：（2012年包头市中考试题） 如图，已知AB为圆O的直径，过圆O上的点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D且交圆O于点F，连结BC、CF、AC.
（1）求证：BC=CF；
（2）若AD=6，DE=8，求BE的长.
（3）求证：AF+2DF=AB.
解析：
命题者把四个直角三角形有机地组合在一个圆上，提出三个问题，考查学生综合计算与证明的能力、添加辅助线的能力.第一问证明线段相等，在圆中别忘了寻求弧的相等.角的相等和全等三角形；第二问求线段BE的长，若仔细观察分析图形便会发现：求出圆的半径是求解BE长的关键所在，且有多种解法；第三问证明“AF+2AD=AB”，因为结论是线段和差问题，所以自然会想到用接长法或截短法证之.然而，结论中含有有系数2，观察图形使我们想到把“2DF”分解为“DF+DF”.用其中的一个“DF”去接长或截短证之.另外因为圆中有无数条直径，所以使我们还想到用特殊位置的直径，即与线段AD平行的直径去探索证法.同时还可把结论中的系数2变移为“12
AF+DF=12AB”去探索证法.可见：此问亦可用圆的半径证之.下面就分别研究三问的多种解证方法.
（1）证明BC=CF：
证1：如图1，连结OC.因为ED切圆O于点C，所以OC⊥ED，
又AD⊥ED，所以OC∥AD，
所以∠OCA=∠CAD.因为OC=OA.
所以∠OAC=∠OCA，所以∠OAC=∠CAD，
所以BC=CF，所以BC=CF.
证法2：如图2，连结并延长CO交圆O于H，
因为∠BOC=∠AOH，所以BC
=AH.
因为HC⊥ED，AD⊥ED，所以HC∥AD，
所以AH=CF，所以BC=
CF，所以BC=CF.
证法3：如图3，过点B作BH⊥ED于H，连结OC.
因为ED切圆O于C，所以OC⊥ED，BH⊥ED，AD⊥ED，所以BH∥OC∥AD，
所以BC=CF，所以BC=CF.
证法4：如图4，连结BF.
因为AB是圆O的直径，∠AFB=90°，所以BF⊥AD，又
ED⊥AD，所以BF∥ED，
所以BC=CF，所以BC=CF.
证法5：如图5，过点C作CH⊥AB于H.由证法1知AC平分∠BAD，CD⊥AD，CH⊥AB，所以CD=CH，∠CDF=∠CHB=90°.
因为ABCF是圆O内接四边形，所以∠CFD=∠CBH，
所以Rt△CDF≌Rt△CHB，所以CF=BC，
所以BC=CF.
证法6：
如图6，过点B作BH
⊥ED于H，连结OC、BF.
因为BH⊥ED，OC⊥ED，AD⊥ED，
所以BH∥OC∥AD，因为BO=OA，所以HC=CD，
因为AB是圆O的直径，所以∠AFB=90°，
∠BHD=∠HDF=∠DFB=90°.
所以四边形BHDF是矩形，所以BH=FD.
所以Rt△BHC≌Rt△FDC，所以BC=CF.
证法7：
如图7，连BF与OC相交于K，
因为ED是圆O的切线，所以OC
⊥ED，
因为AB是圆O的直径，所以∠AFD=90°，
所以BF⊥AD，ED⊥AD，所以BF∥ED，
所以OC⊥BF于K，所以BK=KF，
因为OC是BF的中垂线，所以BC=CF.
（2）求BE的长.
解法1：如图8，连结OC.
在Rt△ADE中，AD=6，DE=8，由勾股定理得AE=10.
因为OC∥AD，所以△EOC∽△EAD，所以EOEA=
OCAD，
设圆O的半径为r，则EO=10-r，
所以10-r10=
r6，所以r=
154，
所以BE=10-2r=52.
解法2：如图8，过点C作CQ⊥AE于Q，
因为∠AQC=∠ADC=90°，由证法1知∠QAC=∠DAC，AC=AC，
所以△AQC≌△ADC，
所以AQ=AD=6，所以EQ=EA-AQ=10-6=4.
因为Rt△EQC∽Rt△EDA，所以 EQED=
CQAD，
所以48=CQ6，
所以CQ=3，
在Rt△CQE中，EC2=EQ2+CQ2=42+32，所以EC=5，
因为EC是圆O的切线，所以EC2=EB·EA，
所以52=EB·10，所以BE=52.
解法3：如图8，过点C作CQ⊥AE于Q，
因为CD是圆O的切线，
所以CD2=DF·AD，
所以32=DF·6，
所以DF=96=32，由证法1知BC=CF.
因为ABCF是圆O内接四边形，所以∠CBQ=∠CFD，
∠BQC=∠FDC=90°，所以△BQC≌△FDC，
所以BQ=DF=32，
所以BE=EQ-BQ=4-32=52.
解法4：
如图9，过B作BH
⊥ED于H，过C作CQ⊥AE于Q， 因为∠BEH=∠CEQ，∠BHE=∠CQE，
所以Rt△EHB∽Rt△EQC，所以
BEEC=BHCQ，
因为EC=5，BH=FD=
32，CQ=CD=3，所以BE5=
323，所以BE=52.
解法5：如图9，过B作BH⊥ED于H，又AD⊥ED，所以BH∥
AD，所以Rt△BHE∽Rt△ADE，所以
BEAE=
BHAD，
因为AE=10，BH=FD=32，AD=6，
所以BE10
=326.
所以BE=32×106
=52.
解法6：
如图9，过B作BH
⊥ED于H，
因为EH=EC-HC=5-3=2，BH=FD=32，
在Rt△BHE中，BE2=EH2+BH2=22+（32）2.
所以BE2=4+94=254，所以BE=52.
（3）证明AF+2DF=AB
证法1：如图10，延长AD至N使DN=DF.连结CN.
因为∠FDC=∠NDC=90°，DN=DF，CD=CD，所以
Rt△CDF≌Rt△CDN，
所以CF=CN=BC，所以∠CND=∠CFD，
因为ABCF是圆O内接四边形，所以∠CFD=∠CBA，所以∠CNA=∠CBA，
由前证知∠BAC=∠NAC.
AC=AC.所以Rt△ACB≌Rt△ACN，所以AB=AN
因为AN=AD+DN，所以AB=AN=AF+DF+DN，
所以AB=AF+2DF.
证法2：
如图11，连结并延长CO交圆O于Q，过点Q作圆O的切线交DA的延长线于K，连结AQ，
因为DC是圆O的切线，所以DC⊥QC，
因为QK是圆O的切线，所以QK⊥QC，
又AD⊥CD，所以∠KQC=∠QCD=∠CQK=90°.
所以四边形KQCD是矩形，所以KD=QC.
QC=AB，所以AB=KD=KA+AF+FD.
因为AQ=FC，所以AQ=FC，QK=CD，∠QKA=∠
CDF=90°，所以Rt△QKA≌Rt△CDF，所以AK=DF，
所以AB=AD+2DF.
证法3：
如图12，在AB上截取AQ=AF，连结CQ，过C作CH
⊥AB于H，
因为AQ=AF，AC=AC，
由前证知∠QAC=∠FAC，所以△AQC≌△AFC，
所以CQ=CF，由结论一知BC=CF，
所以BC=CQ，所以△CBQ是等腰三角形，
因为AC是∠BAD的平分线，CD⊥AF，CH⊥AB，
所以CD=CH，Rt∠CDF=Rt△∠CHQ，
所以Rt△CDF≌Rt△CHQ，
所以DF=HQ，所以HQ=12BQ，所以DF=
12BQ，
所以BQ=2DF，所以AB=AQ+QB=AF+2DF.
证法4：如图13，过点B作BM⊥ED于M与AC的延长线交于N.
由前证知∠BAC=∠
DAC.
所以BN⊥ED，AD⊥ED，所以BN∥AD，
所以∠BNC=∠DAC，所以∠BAC=∠BNC，
所以AB=BN=BM+MN.
因为∠MCN=∠DCA，由前证6知MC=CD.
所以△MCN≌△ACD，所以MN=AD，又BM=DF，
所以AB=DF+AF+DF=AF+2DF.
证法5：
如图14，过点O作OH⊥AF于H.
因为ED是圆O的切线，所以OC⊥ED，AD⊥ED，OH⊥AD，所以
∠OCD=∠CDH=∠DHO=90°.所以四边形OCDH是矩形，所以OC
=HD=12
AF+FD，因为OC=12AB，HF=12AF，
所以12AB=12AF+DF，
所以AB=AF+2DF.
（1）求证：BC=CF；
（2）若AD=6，DE=8，求BE的长.
（3）求证：AF+2DF=AB.
解析：
命题者把四个直角三角形有机地组合在一个圆上，提出三个问题，考查学生综合计算与证明的能力、添加辅助线的能力.第一问证明线段相等，在圆中别忘了寻求弧的相等.角的相等和全等三角形；第二问求线段BE的长，若仔细观察分析图形便会发现：求出圆的半径是求解BE长的关键所在，且有多种解法；第三问证明“AF+2AD=AB”，因为结论是线段和差问题，所以自然会想到用接长法或截短法证之.然而，结论中含有有系数2，观察图形使我们想到把“2DF”分解为“DF+DF”.用其中的一个“DF”去接长或截短证之.另外因为圆中有无数条直径，所以使我们还想到用特殊位置的直径，即与线段AD平行的直径去探索证法.同时还可把结论中的系数2变移为“12
AF+DF=12AB”去探索证法.可见：此问亦可用圆的半径证之.下面就分别研究三问的多种解证方法.
（1）证明BC=CF：
证1：如图1，连结OC.因为ED切圆O于点C，所以OC⊥ED，
又AD⊥ED，所以OC∥AD，
所以∠OCA=∠CAD.因为OC=OA.
所以∠OAC=∠OCA，所以∠OAC=∠CAD，
所以BC=CF，所以BC=CF.
证法2：如图2，连结并延长CO交圆O于H，
因为∠BOC=∠AOH，所以BC
=AH.
因为HC⊥ED，AD⊥ED，所以HC∥AD，
所以AH=CF，所以BC=
CF，所以BC=CF.
证法3：如图3，过点B作BH⊥ED于H，连结OC.
因为ED切圆O于C，所以OC⊥ED，BH⊥ED，AD⊥ED，所以BH∥OC∥AD，
所以BC=CF，所以BC=CF.
证法4：如图4，连结BF.
因为AB是圆O的直径，∠AFB=90°，所以BF⊥AD，又
ED⊥AD，所以BF∥ED，
所以BC=CF，所以BC=CF.
证法5：如图5，过点C作CH⊥AB于H.由证法1知AC平分∠BAD，CD⊥AD，CH⊥AB，所以CD=CH，∠CDF=∠CHB=90°.
因为ABCF是圆O内接四边形，所以∠CFD=∠CBH，
所以Rt△CDF≌Rt△CHB，所以CF=BC，
所以BC=CF.
证法6：
如图6，过点B作BH
⊥ED于H，连结OC、BF.
因为BH⊥ED，OC⊥ED，AD⊥ED，
所以BH∥OC∥AD，因为BO=OA，所以HC=CD，
因为AB是圆O的直径，所以∠AFB=90°，
∠BHD=∠HDF=∠DFB=90°.
所以四边形BHDF是矩形，所以BH=FD.
所以Rt△BHC≌Rt△FDC，所以BC=CF.
证法7：
如图7，连BF与OC相交于K，
因为ED是圆O的切线，所以OC
⊥ED，
因为AB是圆O的直径，所以∠AFD=90°，
所以BF⊥AD，ED⊥AD，所以BF∥ED，
所以OC⊥BF于K，所以BK=KF，
因为OC是BF的中垂线，所以BC=CF.
（2）求BE的长.
解法1：如图8，连结OC.
在Rt△ADE中，AD=6，DE=8，由勾股定理得AE=10.
因为OC∥AD，所以△EOC∽△EAD，所以EOEA=
OCAD，
设圆O的半径为r，则EO=10-r，
所以10-r10=
r6，所以r=
154，
所以BE=10-2r=52.
解法2：如图8，过点C作CQ⊥AE于Q，
因为∠AQC=∠ADC=90°，由证法1知∠QAC=∠DAC，AC=AC，
所以△AQC≌△ADC，
所以AQ=AD=6，所以EQ=EA-AQ=10-6=4.
因为Rt△EQC∽Rt△EDA，所以 EQED=
CQAD，
所以48=CQ6，
所以CQ=3，
在Rt△CQE中，EC2=EQ2+CQ2=42+32，所以EC=5，
因为EC是圆O的切线，所以EC2=EB·EA，
所以52=EB·10，所以BE=52.
解法3：如图8，过点C作CQ⊥AE于Q，
因为CD是圆O的切线，
所以CD2=DF·AD，
所以32=DF·6，
所以DF=96=32，由证法1知BC=CF.
因为ABCF是圆O内接四边形，所以∠CBQ=∠CFD，
∠BQC=∠FDC=90°，所以△BQC≌△FDC，
所以BQ=DF=32，
所以BE=EQ-BQ=4-32=52.
解法4：
如图9，过B作BH
⊥ED于H，过C作CQ⊥AE于Q， 因为∠BEH=∠CEQ，∠BHE=∠CQE，
所以Rt△EHB∽Rt△EQC，所以
BEEC=BHCQ，
因为EC=5，BH=FD=
32，CQ=CD=3，所以BE5=
323，所以BE=52.
解法5：如图9，过B作BH⊥ED于H，又AD⊥ED，所以BH∥
AD，所以Rt△BHE∽Rt△ADE，所以
BEAE=
BHAD，
因为AE=10，BH=FD=32，AD=6，
所以BE10
=326.
所以BE=32×106
=52.
解法6：
如图9，过B作BH
⊥ED于H，
因为EH=EC-HC=5-3=2，BH=FD=32，
在Rt△BHE中，BE2=EH2+BH2=22+（32）2.
所以BE2=4+94=254，所以BE=52.
（3）证明AF+2DF=AB
证法1：如图10，延长AD至N使DN=DF.连结CN.
因为∠FDC=∠NDC=90°，DN=DF，CD=CD，所以
Rt△CDF≌Rt△CDN，
所以CF=CN=BC，所以∠CND=∠CFD，
因为ABCF是圆O内接四边形，所以∠CFD=∠CBA，所以∠CNA=∠CBA，
由前证知∠BAC=∠NAC.
AC=AC.所以Rt△ACB≌Rt△ACN，所以AB=AN
因为AN=AD+DN，所以AB=AN=AF+DF+DN，
所以AB=AF+2DF.
证法2：
如图11，连结并延长CO交圆O于Q，过点Q作圆O的切线交DA的延长线于K，连结AQ，
因为DC是圆O的切线，所以DC⊥QC，
因为QK是圆O的切线，所以QK⊥QC，
又AD⊥CD，所以∠KQC=∠QCD=∠CQK=90°.
所以四边形KQCD是矩形，所以KD=QC.
QC=AB，所以AB=KD=KA+AF+FD.
因为AQ=FC，所以AQ=FC，QK=CD，∠QKA=∠
CDF=90°，所以Rt△QKA≌Rt△CDF，所以AK=DF，
所以AB=AD+2DF.
证法3：
如图12，在AB上截取AQ=AF，连结CQ，过C作CH
⊥AB于H，
因为AQ=AF，AC=AC，
由前证知∠QAC=∠FAC，所以△AQC≌△AFC，
所以CQ=CF，由结论一知BC=CF，
所以BC=CQ，所以△CBQ是等腰三角形，
因为AC是∠BAD的平分线，CD⊥AF，CH⊥AB，
所以CD=CH，Rt∠CDF=Rt△∠CHQ，
所以Rt△CDF≌Rt△CHQ，
所以DF=HQ，所以HQ=12BQ，所以DF=
12BQ，
所以BQ=2DF，所以AB=AQ+QB=AF+2DF.
证法4：如图13，过点B作BM⊥ED于M与AC的延长线交于N.
由前证知∠BAC=∠
DAC.
所以BN⊥ED，AD⊥ED，所以BN∥AD，
所以∠BNC=∠DAC，所以∠BAC=∠BNC，
所以AB=BN=BM+MN.
因为∠MCN=∠DCA，由前证6知MC=CD.
所以△MCN≌△ACD，所以MN=AD，又BM=DF，
所以AB=DF+AF+DF=AF+2DF.
证法5：
如图14，过点O作OH⊥AF于H.
因为ED是圆O的切线，所以OC⊥ED，AD⊥ED，OH⊥AD，所以
∠OCD=∠CDH=∠DHO=90°.所以四边形OCDH是矩形，所以OC
=HD=12
AF+FD，因为OC=12AB，HF=12AF，
所以12AB=12AF+DF，
所以AB=AF+2DF.