数字几何处理作为新兴的交叉学科,既继承了传统数学中的很多理论和方法,同时又呈现出该学科别具一格的地方。尤其是数值优化理论与几何方法的相互融合,为数字几何处理中的系列核心问题提供了极为实用和有效的解决方案,并成功应用于几何造型和几何处理中的若干重要场合。本文以几何造型中的几何迭代法和几何处理中的圆盘覆盖问题这两个关键问题作为突破口,立足于问题本身的几何属性,结合经典的数值优化理论,探索数字几何处理领域中具有一般性的算法加速技巧,并用大量的数值实验验证其实用性和有效性。(1)考虑到传统的几何迭代法仅有一阶的收敛性,提出一个二阶可导的能量函数来刻画当前曲线与目标点集之间的差异。首先根据初始的控制顶点和相应的基函数生成初始的样条曲线,然后求差异函数关于各个控制顶点的梯度,最后采用L-BFGS算法快速寻找最优的插值或者逼近曲线。实验结果表明,文中算法具有超线性的收敛速度,在同样的精度要求下比原来的几何迭代法快出数十倍甚至上百倍;既可用于插值问题,也可用于逼近问题;甚至也能适用于数据点参数可变的情形。(2)覆盖/填充问题无论是在理论领域还是计算领域都带来了科学的挑战。即使优化的目标区域是2D空间的平面,覆盖/填充的优化问题依然是NPcomplete问题。在本文中,我们针对更一般的情形,提出了一种新的优化算法实现覆盖/填充,并且该算法在理论上可以扩展到非欧式空间(如紧致黎曼流形)。本文算法的思想主要根据下面两大基本技术:第一点,圆盘覆盖问题(对应的问题,圆盘填充问题)和Voronoi图紧密相关,即覆盖问题(相应的,圆盘填充问题)的局部最优解可通过重复的更新候选中心到对应的Voronoi cells的外接圆盘(相应的,内接圆盘)圆心;第二点,外接圆盘(相应的,内接圆盘)可通过对目标区域Ω的ε-dense的采样集合近似表示。本文的实验结果证明了本文的算法的可行性和正确性。