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本文主要研究一类带梯度项的非线性椭圆方程（系统）Dirichlet边值问题解的存在性.由于梯度项的存在,这类问题通常没有变分结构,导致变分方法不再适用.我们采用了一系列简单有效的逼近技术来处理这类问题.具体地说,首先构造相应的辅助问题,然后利用Galerkin逼近方法得到辅助问题相应解的存在性,最后借助比较定理和逼近技术,得到原问题相应解的存在性,同时对解的正则性也进行了说明.值得一提的是,相关文献往往只研究问题正解的存在性.在本文中除了正解,我们还得到了问题负解的存在性,这些结果是对[6,28,29]等相关文献的很好补充.本文的具体研究结果如下.首先本文研究了下面一类带梯度项的扰动问题其中Ω是R2中的一个有界光滑凸区域,λ＞0是一个参数,r ∈（0,1）,s ∈（0,2）,a ∈ R,f∈ C（Ｏ × R）.假设f满足条件（F）0≤tf（x,t）≤C|t|p+1exp（αt2）,（x,t）∈ Ω × R,其中p＞1,C＞0,α＞0.则函数f在无穷远处可以是指数临界增长的.假设条件（F）成立,本文证明了存在常数λ*＞0,使得对于每一个λ ∈(0,λ*],当a≥ 0时,问题有一个正解u;当a ≤0时,问题有一个负解v.并且u,v∈H01（Ω）∩W2,2/s（Ω）.接着本文考虑了下面的非线性椭圆系统其中Ω（?） R2是一个有界光滑凸区域,λ,μ＞0是参数,a,b ∈ R,r1,r2 ∈（0,1）,s1,s2 ∈（0,2）,f,g∈C（R）.假设f和g满足条件（H1）0≤tf（t）,tg（t）≤C|t|p+1exp（αt2）,t ∈ R,其中C＞0,α＞0,p＞1;或者条件（H2）tf（t）,tg（t）≤0,（H3）|tf（t）|,|tg（t）|≤C|t|p+1exp（αt2）,t ∈ R,其中C＞0,α＞0,p＞1.则函数f和g在无穷远处都可以是指数临界增长的.本文证明了存在常数λ*,μ*＞0,使得对每一个数组（λ,μ）∈(0,λ*]×(0,μ*],在条件（H1）成立情况下:当a,b≥ 0时,系统有一组正解（u,v）;当a,b≤0时,系统有一组负解（ū,v）;在条件（H2）-（H3）成立情况下:当a≥0,b≤0时,系统有一组解（u,v）且在Ω上u＞0,v＜0;当a≤0,b≥0时,系统有一组解（（?）,v）且在Ω上（?）＜0,v＞0.进一步,u,ū,u,v∈H01（Ω）∩ W2,2/s1（Ω）,v,v,v,v∈H01（Ω）∩ W2,2/s2（Ω）.进一步,我们研究了如下的非线性椭圆问题其中Ω（?）RN（N≤3）是一个有界光滑凸区域,λ＞0是一个参数,a ∈ R,r ∈（0,1）,如果N=1或2,s ∈（1,2）,如果N=3,s ∈（1,4/3）,f∈C（Ω × R）.假设函数f满足条件（f1）0≤tf（x,t）,（x,t）∈ × R;（f2）limt→0 f（x,t）/t=0 关于x∈Ω一致成立;（f3）存在常数C＞0使得|f（x,t）| ≤C（1+|t|p-1）,（x,t）∈ Ω ×R,其中如果N=1 或2,p ∈（2,2*）,如果N=3,p ∈(2,3s+1].本文在第四章中证明了存在常数λ*＞0,使得对每一个λ ∈(0,λ*],当a≥0时,问题有一个正解u ∈ H01（Ω）∩ W2,2/s（Ω）;当a ≤0时,问题有一个负解v ∈H01（Ω）∩ W2,2/s（Ω）.最后,假设函数f与位置变量无关且满足局部条件（F1）存在δ＞0,使得f∈ C（[-δ,δ]）且tf（t）≥0t,∈[-δ,δ].（F2）limt→0 f（t）/t=0.本文证明了存在常数λ*＞0,使得对每一个λ ∈(0,λ*],当a≥ 0时,问题有一个正解u ∈ H01（Ω）∩W2,2/s（Ω）;当a ≤0时,问题有一个负解v ∈ H01（Ω）∩ W2,2/s（Ω）.这个结果更深刻的揭示了这类方程存在正解和负解只与f在零点附近的取值有关,大大提升了前面研究的结果.
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