四元数是由爱尔兰数学家威廉.罗恩.哈密尔顿于1843年创立的。一百多年来，许多科学工作者对四元数进行广泛和深入的研究，同时四元数也在电磁学、控制论、航空航天、人工智能等领域得到广泛的应用。本文共分五章，第一章介绍了四元数的定义和运算规则，第二章根据四元数的基本运算规则，引进四元数三种不同的实表示，并将这些实表示延伸到四元数体上的向量和矩阵。通过轮换使用三种实表示，在实表示的形式上交换四元数及向量和矩阵之间乘积，这在相当程度上克服了由于不可交换乘积造成的计算困难。本文第三章借助四元数向量和矩阵实表示，将四元数体上的一些矩阵代数表达式，转换为实数域上的等价表达式，在实数域上解决了若干类四元数矩阵的计算问题。本文第四章以幂级数的形式定义了四元数体上的一些初等函数，这些初等函数是利用四元数与复数的相似性并参照复函数的麦克劳林展开式而确定的，通过和复函数比较，不难得出这些四元数初等函数的基本性质。最后，本文第五章根据第二章、第三章、第四章的主要结论，编辑相关的MATLAB程序。借助这些程序，可以用计算机存储四元数数据和处理四元数、四元数向量和矩阵之间的运算，实现了本文的最终目的。