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变分法是以临界点理论为理论基础的，将微分方程边值问题化为变分问题，来证明解的存在性，多重性，及求近似解的方法.本文主要运用变分方法研究两类有强大物理背景的椭圆微分方程，即带有临界指数的薛定谔泊松方程和带有p-拉普拉斯算子的基尔霍夫方程. 第二章研究以下带有临界指数的薛定谔泊松方程{-△u+φu=λf(x)ur+ g(x)u5，x∈Ω,-△φ=u2，x∈Ω，u＞0，x∈Ω，u=φ=0，x∈(a)Ω，Ω是R3中具有光滑边界的有界区域，r∈(0，1)，f，g为C((Ω))上的非负函数.通过引入Nehari流形，运用Ekeland变分原理和集中紧性原理得到常数M4，说明对于0＜λ＜M4，此方程至少有一个正解uλ，uλ∈N+λ. 第三章研究以下带有p-拉普拉斯算子的基尔霍夫方程{-(a+b∫Ω|▽u|pdx)△pu=f(x)u-s-λur，x∈Ω,u＞0，x∈Ω，u=0，x∈(a)Ω，Ω是R3中有光滑边界的有界区域.△p=div(|▽u|p-2▽u)是p-拉普拉斯算子，1＜p＜N，且a，b＞0，a+b＞0，λ≥0，0＜s＜1，0＜r≤p*-1.对任意x∈Ω，f∈Lp*/p*+s-1(Ω)且f(x)＞0.另外p*=Np/N-p.通过变分法，勒贝格控制收敛定理以及算子的第一特征值说明此方程具有唯一解.