本文主要用直接形式的移动平面法研究分数阶Laplace方程和p-Laplace方程组正解的单调性及对称性问题,并简单介绍f-Laplace方程的梯度估计问题.本文的结构安排如下:第一章,简单介绍分数阶Laplace方程,p-Laplace方程和f-Laplace方程的研究背景和本文问题的提出过程.第二章,主要介绍分数阶Laplace方程的预备知识以及相关结论的证明.首先,给出分数阶Laplace算子的几种定义.然后,介绍以往研究分数阶Laplace方程的两种方法—延拓法和等价的积分方程法.接着,陈列几个在移动平面过程中起着重要作用的极值原理.最后,运用相应的极值原理在全空间上证明有奇异性的分数阶Laplace方程正解的单调性和对称性问题.第三章,主要介绍分数阶p-Laplace方程的预备知识以及相关结论的证明.首先,给出分数阶p-Laplace算子的定义.然后,陈列几个重要的极值原理.最后,在单位球上用直接形式的移动平面法研究分数阶p-Laplace方程组正解的单调性和对称性问题.第四章,主要介绍梯度估计的研究背景及f-Laplace方程的相关结论.简单介绍梯度估计相应的基础知识,并在光滑度量空间上研究非线性椭圆方程的梯度估计问题.