非线性动力系统可能存在特定几何结构,如哈密顿结构与对称性等.由确定性微分方程刻画的哈密顿系统广泛地出现在天体力学、统计力学、地球物理和化学物理等应用领域中,并具有诸多周知的有趣性质,如系统相流保持相体积等.而在复杂的实际环境中,这类具有特定结构的动力系统不可避免地受到随机扰动（噪声）的作用,会呈现出更为丰富也更为复杂的动力学性态.本文聚焦于非高斯L（?）vy噪声影响下的随机哈密顿系统,致力于从保辛性,哈密顿准则,平均原理,Lyapunov指数等几何及分析的角度探究其动力学性态,并进一步延伸探索随机切触哈密顿系统的研究框架建立问题.本文主要分为以下几个章节.在第一章中,我们简要介绍了本文的研究背景、发展现状以及主要的研究内容.在第二章中,我们回顾了确定性哈密顿系统、L（?）vy过程以及随机分析相关的概念和后文将会应用到的重要定理.在第三章中,我们考虑了一类Marcus随机微分意义下的非高斯L（?）vy过程驱动的随机哈密顿系统.在给出系统解过程的存在性及唯一性结果后,我们论证了该系统满足保辛性,即,其相流是保持辛结构的.接着,通过将系统视为一类特殊的非保守系统,其中随机力L（?）vy噪声视为非保守力,我们推导了L（?）vy型随机作用积分泛函和Euler-Lagrange方程的表达式,进而得到了相应的随机情形的哈密顿准则.在第四章中,我们关注于非高斯随机完全可积哈密顿系统受到额外的小的横向扰动时所呈现的有效动力学行为,建立了相应的随机平均原理.我们首先就未扰动系统的不变流形及不变测度进行了分析.然后阐明在作用–角度坐标下,扰动系统等价于一个以角度分量为快速过程、作用分量为慢速过程的随机快慢系统.通过对L（?）vy测度的可积性及系统的遍历性等提出合理假设,结合非高斯随机理论,我们推导出平均化系统是一个仅依赖于作用分量的随机微分方程.此外,我们还分析了当尺度参数趋于零,扰动系统慢速过程收敛到平均化方程解的收敛速率.最后,我们以受扰动的随机谐振子为示范例子对所得研究成果的进行验证.在第五章中,我们侧重于研究一类L（?）vy型小噪声驱动的随机哈密顿系统的（最大）Lyapunov指数估计问题.通过交替技术（interlacing）,我们集中考虑由布朗运动和有界跳过程共同驱动的情形.考虑原系统沿着解轨道的线性化方程,通过引入合适的运动框架,我们分析了该线性化方程本质是一个扰动的幂零系统.其后,我们借助不改变系统Lyapunov指数的L（?）vy型Pinsky-Wihstutz变换,分析系统漂移及扩散部分关于小参数的主导项.再对系统不变测度的存在性等提出合理的假设,得到了线性化系统的Lyapunov指数估计.该估计可以表征出原系统在哈密顿结构与非高斯噪声交互作用下的演化增长或衰减速率.在第六章中,我们将辛流形意义下的偶数维经典哈密顿结构进行延伸,考虑切触流形意义下奇数维广义哈密顿结构,致力于推导切触哈密顿系统的一个随机版本.鉴于随机切触哈密顿系统的研究尚处于起步阶段,即使是高斯情形,也鲜有结果.我们在该章将以布朗噪声驱动的情形为主导进行陈述,并说明了相应结果可推广至非高斯情形.我们证明了这类系统的相流是保持切触几何结构的,进一步提供这类系统满足切触型完全可积性的条件.该工作可以为研究随机切触哈密顿系统建立合适的框架.在第七章中,我们对本文研究工作进行了概括性总结,并就可进一步开展的研究问题加以探讨.