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赋范空间是泛函分析中的一个很基本的概念，同时又是一个不可或缺的概念。许多研究都是以赋范空间为基础的。而单位球面在整个空间性质的研究中经常发挥着非常重要的作用。人们想知道单位球面上的性质到底在何种程度上决定整个空间的性质。1987年D.Tingley提出了下面的问题：
令E和F都是赋范空间，他们的单位球面分别记为S1(E)和S1(F)。如果存在一个从S1(E)到S1(F)的满等距Vo，那么是否存在一个从E到F的线性等距映射V使得V|s1(E)=Vo?
许多数学家对这个问题进行了研究并得到很多结论，尤其是对一些经典巴拿赫空间得到了简洁的肯定回答。随着该问题的研究，一些更深入的问题被提了出来，比如令E和F都是赋范空间，他们的单位球面分别记为S1(E)和1S(F)。如果存在一个从S1(E)到S1(F)的非满等距（或1-Lipschti映射）Vo，那么是否存在一个从E到F的线性等距映射V使得Vls1(E)=Vo?
数学家们对这些问题也进行了很多研究并得到了一些很好的结论。
在第2章，我们对赋范空间E和F单位球面S1(E)和S1(F)间的等距映射和l-Lipschti映射的延拓问题进行了研究。
作为准备工作，我们在2.2节给出了一个充分条件，在该条件下，我们证明了两个ALP空间(12的时候，从Alp空间的单位球面到任何巴拿赫空间单位球面之间的满等距映射一定可以线性等距延拓到整个空间上去。也即：
E是任意的巴拿赫空间，Vo是一个从单位球面S1(Lp(Ω1，μ1))到单位球面S1(E)的满等距映射，并且2>=Vo。
在2.4节中我们证明了在1
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