压缩感知(Compressed sensing, CS)是最近的研究中一个非常活跃的领域,在信号处理、医学成像、雷达系统和图像压缩等领域有着广泛的应用. CS理论突破了传统Nyquist–Shannon采样定理的限制,使得信号的采样与压缩同时进行.因此,压缩感知在实际应用中可以降低信号采集和存储的成本,近年来受到广泛关注.在压缩感知中一个核心的目标是提出一种快速算法从相对较少的线性测量中恢复稀疏信号.本文主要研究联合稀疏信号恢复(也称为多重测量向量, MMV)问题和在有噪声的情况下低秩与稀疏矩阵分解(LRSD)问题,其中联合稀疏信号恢复问题是单测量向量(SMV)问题的推广.同时,本文对求解MMV问题和LRSD问题的算法和理论进行了深入的研究,主要工作和创新点表现在以下几个方面.　　首先,由于MMV问题的理论分析研究较少,多重测量向量的稀疏表示引起了广泛的关注.正交匹配追踪算法(OMP)可以找到信号的稀疏表示,并且在一定条件下OMP算法能够精确恢复稀疏信号.本文给出了一个与非对的等距约束常数(ARIP)有关的充分条件,在这个条件下OMP算法在第k次迭代可以从给定的线性测量中精确恢复联合稀疏信号.特别地,对于单测量向量问题如果感知矩阵的等距约束常数(RIP)满足某一条件,那么所有的稀疏信号通过OMP算法也可以被精确恢复.　　其次,基于对称的RIP常数,本文改进了OMP算法精确恢复联合稀疏信号的充分条件.此外,一个特殊的感知矩阵被构造,并且使得OMP算法不能从这个矩阵所对应的测量中在k次迭代恢复联合稀疏信号.类似的结论对于k稀疏信号恢复也成立.本文的结论也进一步改进了由Mo等提出的不能保证OMP算法精确恢复k稀疏信号的条件.　　再次,由于MMV问题是一个组合优化问题,它的凸放缩问题可以被更有效的求解.经典的交替方向乘子法(ADMM)是一种比较流行的凸优化算法,并且可以求解大规模或离散的优化问题. Lu等提出MMV-ADMM算法来求解MMV问题,但并未给出由该算法生成的矩阵迭代序列收敛的理论分析.本文基于向量2-范数次微分的性质给出了一个与矩阵相关的收缩算子.利用这个算子本文得到了一个收敛性定理,那么MMV-ADMM算法可以恢复联合稀疏信号.　　最后,本文提出3块的交替方向乘子法(3b-ADMM)求解LRSD问题.3b-ADMM实际上是经典的ADMM算法的推广并可以成功地被应用到含有3块变量的凸优化问题,但保证3b-ADMM算法收敛的充分条件通常要求罚参数满足某一边界条件,这就可能会影响在实际应用中求解大规模问题时的数值效果.然而,本文证明当罚参数满足一个更弱的条件时3b-ADMM算法也收敛,且由3b-ADMM算法生成的函数值序列收敛到最优值.此外,通过与其他方法的比较分析数值实验表明求解LRSD问题的3b-ADMM算法是有效的并可以达到很高的精度.