近年来,无网格方法被大量地应用到科学与工程计算中,这类方法的共同特征是已经不再需要网格结构,它们在处理大变形问题,移动边界问题和其它困难问题时都非常有效。单位分解方法是无网格方法的一种,这种方法的特点是它不仅包含了有限元的知识,在解部分偏微分方程的时候,它比一般的有限元方法更有效。本文分为三部分。第一部分我们给出了单位分解方法的基本数学理论,根据问题的不同,局部近似空间的选取是不同的。在这里,我们详细地分析了基于局部多项式近似空间的单位分解方法,并指出局部近似空间的基函数乘上单位分解函数后不一定是单位分解空间的基,它们可能线性相关,随后又给出了几类插值多项式的局部近似空间。第二部分我们首先从有限元方法的误差收敛阶入手,针对一类特殊的单位分解方法(取通常的有限元基函数为单位分解)进行分析,并证明了其误差阶比单位分解中局部空间的逼近阶高一阶。我们所获得的结果对任何次数的局部空间都成立,对L_2范数和L_∞范数也成立。第三部分,作者总结了本文的工作和结合已有的工作得到了一般性的结论,并对误差分析提出了展望。