近些年，可靠性理论己被广泛应用到众多领域，不仅在生产、生活方面，而且在军事、科研领域都有着重大作用.因此，对可靠性及其相关问题的研究，无论从实际上还是从理论上都具有重要意义.　　在可靠性理论中，对可修复系统的研究是其重要的组成部分.自上世纪五、六十年代以来，国内外众多学者己经对各种可修复系统做了大量研究，在研究方法上也做出了许多革新，取得了丰硕的成果.早前，通过引入增补变量法，解决了维修分布服从一般分布的可修复硬件系统的可靠性问题.此后，利用半群理论，解决了可修系统解的存在唯一性、渐近性等相关问题.　　然而，对于可修复系统，指数稳定性方面的结论较少.另外，各种最优问题是可修复系统的另一个主要研究方向，并且关于系统的最优维修率的研究具有很大的发展空间.此外，作为系统分析的一种有用工具，系统的离散化极大方便了可修复系统尤其是复杂可修复系统的研究和处理，对于可修系统的研究具有重要的意义.　　基于以上原因，我们以一类修理工可休假且带预警装置的可修复系统为研究对象，利用C0半群理论和泛函分析方法，讨论系统解的指数稳定性.利用Banach空间的相关理论，研究系统的最优控制问题.最后利用半群理论和积分方程理论，探讨系统解的半离散化问题.　　全文共分六章，具体包含以下研究内容：　　第一章为绪论部分，分析可修复系统的研究现状及存在问题，介绍本文研究问题的理论和实际意义，以及本文研究的内容和方法.　　第二章，给出本文所研究系统的具体模型，并利用概率分析的方法，将系统转化为一组积微分方程.　　第三章，介绍本文所需要的一些预备知识.它们是讨论系统的指数稳定性、最优化、及离散化问题的理论基础.　　第四章，讨论系统的指数稳定性问题.主要利用C0半群理论和泛函分析方法，证明系统算子生成一个正压缩C0半群，进而通过分析其拟紧性来讨论系统解的指数稳定性.　　第五氧利用Banach空间的相关理论，研究系统在稳定状态下的两种最优问题，即最优稳态可用度，和使得系统可用度最大且系统花费最小的最优维修率.　　第六章，研究系统解的半离散化问题.通过将系统模型转化成Volterra积分方程，以及选取恰当阶梯函数逼近修复率的方法，得到系统的半离散化模型，进而利用半群理论和积分方程理论证明这种离散化方法的合理性.