矩阵计算和矩阵分析在计算数学，经济学，控制理论，计算机图形图像处理等领域有着广泛的应用.本文主要研究了矩阵数值特征的估计和正定矩阵的性质及判别法，主要内容和创新点如下：　　 1.对于任意的复矩阵M∈Mn(C)，我们可以将他写成如下形式M=(Ak×kB(n-k)C(n-k)×kD(n-k)×(n-k),(1≤k≤n-1),其中Ak×k表示M的k阶顺序主子阵.为方便，我们用A，B，C和D分别代表Ak×k，Bk(n-k),C(n-k)×k和D(n-k)×(n-k),如果其满足T(M)=｜trM｜2-(n-1)·min(‖A‖2F+D‖2F+2‖BF‖F‖C‖F)＞0，则我们称M为TD矩阵，记TD矩阵的全体为TDn.对于TD矩阵，证明了其所有特征值都位于一个圆盘之中，较经典的结果有计算方便的特点.　　 2.进一步研究发现，对于任意的复矩阵M∈Mn(C)，其也被写成如上形式，可得其所有特征值都位于如下一个圆盘之中｛z∈C:｜z-trM/n≤√n-1/n〔‖M‖2F-｜trM｜2/n-max1≤k≤n-1(‖Bk×k(n-k)‖F-‖C(n-k)×k‖F)〕}并将之用于控制理论当中，得到了系统稳定的简捷判据，给出了数值算例.　　 3.基于一些线性代数的基本理论，得到了矩阵最小奇异值的两个估计，第一个估计计算简单，且较为准确.第二个估计计算稍微复杂，但较其它关于最小奇异值估计的结果要精确些.　　 4.基于一些正定矩阵的理论，推广或改进了一些经典的正定矩阵的性质，给出了正定矩阵谱半径，特征值实部，行列式的估计。同时基于最优化理论，得到了一个判断矩阵正定性的算法，较经典算法而言，大大减少了计算量，而且易于编程实现.　　 5.针对四元数乘法的不可交换性，结合四元数矩阵右特征值的性质和一些经典的不等式，得到了四元数矩阵右特征值的几个分布区域.