本文共分为六章,主要来研究来源于微机电系统（MEMS）的负指标问题以及由天体物理学演化而来的Henon型方程.在第一章中,主要介绍相关的背景,历史及研究现状,本文的主要结果,并简要列出与文章有关联的一些基础知识.在第二章中,着重研究从MEMS模型中抽象出来的带有边缘效应的一个抛物问题,即其中λ>0,δ>0为两个参数,Ω是RN中光滑有界区域,g：[0,1)→R+满足如下条件（H）：g是一个C2的光滑递增的凸函数,并且相对应的椭圆型问题是如下形式：首先证明了（2）的可解性事实上是由一个有限的临界值λδ*来分割的,即：当λ<λδ*时（2）有解；而λ>λδ*时（2）无解.同时证明了当λ>λδ*的时候,抛物问题（1）的解u都会在有限时间Tδ*达到1,从而使得方程（1）右端产生奇性.然后就来估计爆破时间Tδ*的大致范围.我们运用了抛物型方程的比较原理来证明当λ→（λδ*）+的时候,只要方程（2）的极值解是正则的,那么有限爆破时间Tδ*和（λ-λδ*）-1/2是同阶无穷大的.在第三章中,我们来研究从MEMS模型中抽象出来的初值为u0（x）∈[0,1)的抛物型问题：其中f为非负有界函数,λ>0,p>1.受到第二章的启发,在u0=0的前提下,当λ>λ*,且λ→λ*时候,我们对方程（3）的解u它的爆破时间T*做了个极限分析.我们把u关于参数λ-λ*做Taylor展开,得到事实上如果Ω是球体,f（x）=f（|x|）,f’≤0,只要方程（3）对应的椭圆问题的极值解是正则的,那么是一个常数.然后通过适当的构造来说明,对任意的A<A*,都存在函数z（x）<1,使得只要||u0||∞＜1,u0（x）≥z（x）且u0（?）z的时候,方程（3）的解u一定会在有限时间T*达到1.随后就证明了如果区域Ω=BR（0）,f（x）≡1,那么尽管方程（3）对应的椭圆问题的极值解是奇异的,但是我们依然可以得到T*≤C（λ-λ*）-1/2.最后我们考察区域Ω=BR（0）,f（x）为常数的情形,我们构造了合适的M0,证明了对任意的只要那么方程（3）的解u一定是整体存在的.第四章主要来考虑下述一类双调和问题：其中f（·）：R→R+是一个C1连续的凸函数.并且ρ（x）为权函数.我们关心的是在权函数,空间维数N,f在什么条件下会导致（4）整体解的不存在性或者不稳定性.经过分部积分的计算,可以得出这样的结果：只要权函数p三1,N<4,那么对任意的非负递增函数f,方程（4）只有常值有界解.在引入这个量之后,我们就给出了当N≥4,ρ（x）=|x|α或者（1+|x|2）α/2时,使得（4）不存在整体解q0和α所要满足的条件,其中更进一步,我们可以用反证法得到这样的结论：当N＞4的时候,只要α,q0满足一定的条件,那么对于任意的属于C4的有界正函数u,总是满足下式的.紧接着我们考虑有关方程（4）的Morse指标的问题.我们通过构造一些合适的测试函数和截断函数来证明当的时候,方程（4）不存在含有有限Morse指标的有界正解,其中q0：=limq（u）.u→0+在第五章中主要考虑如下形式的方程组其中f＞0和g＞0是C2连续凸函数.并且ρi（x）为|x|αi,或者（1+|x|2）αi/2,i=1,2.我们研究正解（u,v）的整体性质,类似地定义,我们将验证在一定条件下,（u,v）是不存在的,并且（u,v）的存在性与不存在是和N,αi,q0,Q0这些参数有关的,其中当考虑（u,v）的稳定性的时候,可以证明在一定条件下方程组（5）的有界正解是不稳定的.在最后一章中,我们将简要介绍一下和本文有关的可以进一步探索考虑的问题.